基于卡爾曼濾波的交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度實(shí)時(shí)估計(jì)模型

蔣陽(yáng)升，高寬，劉夢(mèng)，王思琛，姚志洪*

(西南交通大學(xué)，a.交通運(yùn)輸與物流學(xué)院；b.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室；c.綜合交通運(yùn)輸智能化國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，成都610031)

0 引言

排隊(duì)長(zhǎng)度是計(jì)算信號(hào)交叉口車輛延誤、停車次數(shù)、排放[1]及優(yōu)化交通信號(hào)配時(shí)方案[2]的關(guān)鍵參數(shù)。在自適應(yīng)信號(hào)控制系統(tǒng)中，均將實(shí)時(shí)的交通流量、交叉口轉(zhuǎn)向比、排隊(duì)長(zhǎng)度等交通狀態(tài)作為其輸入?yún)?shù)[3]。而交叉口的實(shí)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)度作為自適應(yīng)交通信號(hào)控制的主要輸入?yún)?shù)之一，對(duì)信號(hào)控制系統(tǒng)的有效運(yùn)行起著關(guān)鍵作用。因此，準(zhǔn)確實(shí)時(shí)地估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度尤其重要。

目前，對(duì)于排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)已有廣泛的研究，多數(shù)研究集中在固定探測(cè)器上，而固定檢測(cè)系統(tǒng)存在易失效，安裝、維護(hù)和運(yùn)營(yíng)成本高等問題。隨著車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)(Connected Vehicle，CV)的發(fā)展，從車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中可以實(shí)時(shí)獲取車輛位置、速度、加速度等信息。因此，相關(guān)研究提出基于車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法。如姚佼等[4]基于車輛軌跡數(shù)據(jù)分析車輛在隊(duì)列內(nèi)的排隊(duì)位置，建立面向延誤最小的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)模型。代磊磊等[5]采用自適應(yīng)權(quán)重指數(shù)平滑法，基于估計(jì)的流量建立以排隊(duì)論為基礎(chǔ)的排隊(duì)長(zhǎng)度預(yù)測(cè)模型，在飽和交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度預(yù)測(cè)上有較高精度。莊立堅(jiān)等[6]基于低滲透率浮動(dòng)車數(shù)據(jù)，利用隊(duì)尾浮動(dòng)車位置估計(jì)最大排隊(duì)長(zhǎng)度，該方法很大程度上依賴浮動(dòng)車滲透率。王鈺等[7]利用車輛GPS數(shù)據(jù)，建立基于交通波理論的交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度估算模型，實(shí)現(xiàn)排隊(duì)長(zhǎng)度的估計(jì)。CHENG等[8]引入臨界點(diǎn)提取算法，基于識(shí)別的軌跡數(shù)據(jù)臨界點(diǎn)，提出基于改進(jìn)沖擊波理論的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法，實(shí)例分析表明，該方法可實(shí)現(xiàn)逐周期排隊(duì)長(zhǎng)度的估計(jì)。ZHAO 等[9]基于貝葉斯理論，根據(jù)網(wǎng)聯(lián)車在交叉口停車位置分布估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度，并通過仿真數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的有效性。LI 等[10]建立基于數(shù)據(jù)融合的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法，分別構(gòu)建了基于事件和沖擊波理論的卡爾曼濾波排隊(duì)估計(jì)方法，將兩種方法的估計(jì)結(jié)果加權(quán)得到最終的排隊(duì)長(zhǎng)度。但分析結(jié)果表明，該數(shù)據(jù)融合方法有一定的局限性。此外，YIN等[11]提出使用低滲透率車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法。以上研究驗(yàn)證了卡爾曼濾波方法可以用于排隊(duì)長(zhǎng)度的估計(jì)。然而，現(xiàn)有基于卡爾曼濾波的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法僅討論最大排隊(duì)長(zhǎng)度的估計(jì)，不能提供秒級(jí)的實(shí)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)結(jié)果；而且這些方法都是基于歷史軌跡數(shù)據(jù)，沒有充分利用實(shí)時(shí)的車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)。

本文提出基于卡爾曼濾波的實(shí)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)模型，根據(jù)交叉口的輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建卡爾曼濾波的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程，提出排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)流程和性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，并基于實(shí)際數(shù)據(jù)構(gòu)建仿真環(huán)境驗(yàn)證該模型的有效性。

1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法

標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波包括：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程[12]。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程假設(shè)時(shí)間t的狀態(tài)是從時(shí)間(t-1)的狀態(tài)演變而來；觀測(cè)方程可以根據(jù)時(shí)間t的估計(jì)狀態(tài)和噪聲來計(jì)算時(shí)間t的觀察值(或測(cè)量值)，具體為

式中：yt為狀態(tài)向量；D為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；et為控制變量；F為控制輸入矩陣；wt為狀態(tài)隨機(jī)變量，取值為均值為0的多元正態(tài)分布N，噪聲協(xié)方差為Q，即w～N(0,Q)；t為時(shí)刻；zt為觀測(cè)向量；H為觀測(cè)矩陣；λt為取值于協(xié)方差為R的觀察噪聲，即λt～N(0,R)。

2 基于卡爾曼濾波的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法

為準(zhǔn)確估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度，本文假設(shè)在每個(gè)給定的時(shí)間間隔(例如：1，5，10 min)，可以通過感應(yīng)線圈檢測(cè)器或交通視頻監(jiān)控獲得交叉口的車流轉(zhuǎn)向比。此外，交通流量、滲透率和飽和流量等可以通過現(xiàn)有方法進(jìn)行估計(jì)[9]。進(jìn)而，基于這些數(shù)據(jù)構(gòu)建基于卡爾曼濾波方法的秒級(jí)排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)模型。

2.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

根據(jù)式(1)，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程包含：當(dāng)前狀態(tài)，先前狀態(tài)，狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，當(dāng)前輸入變量，控制輸入矩陣，以及當(dāng)前狀態(tài)隨機(jī)變量，分別表示為yt，yt-1，D，et，F(xiàn)和wt，這些變量在不同的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中物理含義各不相同[13]。

在信號(hào)交叉口，當(dāng)前狀態(tài)為交叉口不同相位的排隊(duì)車輛數(shù)。在時(shí)間t處的排隊(duì)車輛數(shù)、t-1 處的排隊(duì)車輛數(shù)和時(shí)間t處加入、離開排隊(duì)隊(duì)列的車輛數(shù)有關(guān)，如圖1所示。

加入排隊(duì)的車輛數(shù)由交叉口的車流到達(dá)率和轉(zhuǎn)向比確定，離開排隊(duì)的車輛數(shù)取決于信號(hào)燈狀態(tài)和飽和流率。因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示為

式中：xi,t為時(shí)間t相位i的排隊(duì)車輛數(shù)；qi,t為時(shí)間t相位i加入隊(duì)列的車輛數(shù)；gi,t為時(shí)間t相位i的信號(hào)燈狀態(tài)(1 或0)；si為相位i的飽和流率；P為相位集合，本文P={1,2,3,4,5,6,7,8} 。

標(biāo)準(zhǔn)交叉口信號(hào)相位如圖2所示。

圖1 信號(hào)交叉口的排隊(duì)Fig.1 Queue at a signalized intersection approach

圖2 標(biāo)準(zhǔn)交叉口信號(hào)相位Fig.2 Definition of a standard NEMA(National Electrical Manufactures Association)signal phase

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)四路交叉口，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的矩陣和向量形式為

式中：xt為時(shí)間t的排隊(duì)長(zhǎng)度狀態(tài)向量，即

ut為時(shí)間t的輸入變量，包含加入排隊(duì)的車輛數(shù)qt和時(shí)間t的信號(hào)狀態(tài)gt，即

A為狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，即

B為控制輸入矩陣，即

2.2 觀測(cè)方程

觀測(cè)方程通過觀測(cè)轉(zhuǎn)換矩陣H最小化觀測(cè)狀態(tài)與從狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程獲得的估計(jì)狀態(tài)之間的差距得到。在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中，如果滲透率為100%，則估計(jì)狀態(tài)等于觀測(cè)狀態(tài)，表示觀測(cè)矩陣為單位矩陣；對(duì)于滲透率不為100%的情況，利用排隊(duì)網(wǎng)聯(lián)車的數(shù)量和時(shí)間t相位i的滲透率獲得。定義所觀測(cè)的排隊(duì)長(zhǎng)度與實(shí)際排隊(duì)長(zhǎng)度之間的關(guān)系為

式中：ρi,t為時(shí)間t相位i的網(wǎng)聯(lián)車滲透率；zi,t為網(wǎng)聯(lián)車觀測(cè)的排隊(duì)車輛數(shù)，計(jì)算公式為

式中：pi,t為在時(shí)間t相位i排隊(duì)的網(wǎng)聯(lián)車數(shù)量，通過網(wǎng)聯(lián)車的實(shí)時(shí)位置和速度獲得。

因此，觀測(cè)方程為

式中：zt為在時(shí)間t處觀測(cè)的隊(duì)列長(zhǎng)度，即

若交叉口各個(gè)相位的滲透率不一樣，則觀測(cè)矩陣為

式中：矩陣對(duì)角線ρi(i=1,2,…,8)為各個(gè)相位的實(shí)際滲透率值。

通常，假設(shè)網(wǎng)聯(lián)車在交通系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)區(qū)域的滲透率為定值[13]，故本文假設(shè)交叉口所有相位的滲透率相同，為ρ。因此，H表示為

2.3 噪聲協(xié)方差

在式(1)和式(2)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程的噪聲協(xié)方差矩陣(Q和R)很難直接獲得。HAO P.[14]開發(fā)的回歸模型通過使用來自仿真實(shí)驗(yàn)的離線數(shù)據(jù)估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣。本文采用該方法估計(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程的噪聲協(xié)方差矩陣。

2.4 隊(duì)列長(zhǎng)度估計(jì)流程

獲得以上參數(shù)后，卡爾曼濾波方法估計(jì)隊(duì)列長(zhǎng)度的流程如圖3所示。

圖3 通過卡爾曼方法估計(jì)排隊(duì)長(zhǎng)度的步驟Fig.3 Step of estimating queue length by Kalman method

圖3中，Kt為在時(shí)間t處卡爾曼增益值；Φ*t為在時(shí)間t處的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差；Φt為在時(shí)間t處觀測(cè)更新后的誤差協(xié)方差；為時(shí)間t處預(yù)測(cè)隊(duì)列長(zhǎng)度；x^t為時(shí)間t處觀測(cè)更新后的隊(duì)列長(zhǎng)度；I為單位矩陣。

由圖3可知，卡爾曼濾波方法估計(jì)隊(duì)列長(zhǎng)度包括兩個(gè)步驟：時(shí)間狀態(tài)更新和觀測(cè)更新。具體地，在步驟1 中估計(jì)前一步狀態(tài)和誤差協(xié)方差；步驟2中計(jì)算卡爾曼增益，估計(jì)結(jié)果和誤差協(xié)方差。

2.5 性能指標(biāo)

本文模型的性能取決于估計(jì)與實(shí)際排隊(duì)車輛數(shù)的差距。因此，為更好地評(píng)估模型性能，選擇平均絕對(duì)誤差(MAE)，平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)和均方根誤差(RMSE)作為評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算公式分別為

式中：li,t、分別為時(shí)間t相位i的實(shí)際、估計(jì)車輛數(shù)；T為總的離散時(shí)間；Li,n、分別為周期為n時(shí)相位i的實(shí)際、估計(jì)的最大排隊(duì)車輛數(shù)；M為總周期數(shù)。

3 案例分析

選擇成都市合適的交叉口收集數(shù)據(jù)，包括：交通量、限速、轉(zhuǎn)向比和交叉口的幾何形狀，交叉口的位置和幾何形狀如圖4所示。

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)交叉口Fig.4 Intersection of simulation experiment

每個(gè)進(jìn)口道包括1 個(gè)左轉(zhuǎn)車道和2 個(gè)直行車道，且交叉口處于非飽和狀態(tài)?；趯?shí)際數(shù)據(jù)，在Vissim 中構(gòu)建車聯(lián)網(wǎng)仿真環(huán)境，驗(yàn)證模型的有效性。

3.1 仿真設(shè)置

3.2 仿真結(jié)果與分析

通過仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，獲得交叉口各個(gè)相位實(shí)際的排隊(duì)長(zhǎng)度數(shù)據(jù)；同時(shí)，采用本文模型對(duì)排隊(duì)長(zhǎng)度進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)滲透率和交叉口飽和度分別為0.5 和0.6 時(shí)，交叉口相位2 的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)值與實(shí)際值的對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)的隊(duì)列長(zhǎng)度動(dòng)態(tài)估計(jì)Fig.5 Dynamics of estimated queue length for simulation experiment

由圖5可知，本文模型能夠?qū)崿F(xiàn)逐秒級(jí)的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)，且估計(jì)值與實(shí)際值基本重合。

為更好地評(píng)估本文模型性能，計(jì)算所有仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。不同隨機(jī)種子仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的MAE，MAPE和RMSE的平均值如表1所示。可知，隨著滲透率的增加，模型的估計(jì)誤差逐漸減小。當(dāng)滲透率大于30%時(shí)，MAE 和RMSE 分別少于2 輛和3 輛；當(dāng)滲透率為40%時(shí)，MAPE 小于17.5%；但當(dāng)滲透率非常低，僅為10%時(shí)，MAPE 高達(dá)70%。結(jié)果表明，模型對(duì)滲透率要求較高(如大于30%)，在滲透率很低(如10%)時(shí)，模型的估計(jì)性能較差。不同滲透率的估計(jì)誤差如圖6所示。

表1 不同滲透率下的估計(jì)性能Table 1 Estimated performance under different penetration rates

由圖6可知，隨著滲透率增加，3個(gè)誤差指標(biāo)均逐漸減??；在滲透率達(dá)到20%時(shí)，3個(gè)誤差指標(biāo)均有明顯的下降。圖6(b)中當(dāng)滲透率達(dá)到20%時(shí)，MAPE下降最為顯著，表明至少需要40%的滲透率才能確保MAPE在20%以內(nèi)，說明模型對(duì)滲透率有較高的要求。

為驗(yàn)證模型有效性，以LI等[10]提出的基于數(shù)據(jù)融合的排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法為基準(zhǔn)，當(dāng)交叉口飽和度時(shí)，本文模型的改進(jìn)百分比如圖7所示。

圖6 不同滲透率下的估計(jì)誤差Fig.6 Estimated errors under different penetration rates

由圖7可知，當(dāng)滲透率小于20%時(shí)，基準(zhǔn)方法預(yù)測(cè)誤差更?。欢?dāng)滲透率大于20%時(shí)，本文方法的性能優(yōu)于基準(zhǔn)模型。表明本文模型和基準(zhǔn)方法的應(yīng)用條件不同，本文模型適用于較高滲透率的環(huán)境。特別地，當(dāng)滲透率為90%時(shí)，與基準(zhǔn)方法相比，本文模型MAE、MAPE 和RMSE 分別減少了10.5%、8.6%和9.8%，證明在高滲透率下本文模型能夠獲得較好的估計(jì)結(jié)果。

圖7 模型的改進(jìn)百分比Fig.7 Percentage improvement of proposed model

4 結(jié)論

本文提出卡爾曼濾波實(shí)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)方法，利用實(shí)時(shí)網(wǎng)聯(lián)車數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對(duì)交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度的秒級(jí)估計(jì)。當(dāng)滲透率為40%時(shí)，MAE、MAPE 和RMSE 分別小于1.5 輛、17.5%和2 輛。這表明該方法對(duì)滲透率有較高的要求。

與基準(zhǔn)模型相比，當(dāng)滲透率大于20%，本文模型對(duì)于排隊(duì)長(zhǎng)度估計(jì)結(jié)果誤差較小，而在高滲透率下，本文模型估計(jì)的效果更優(yōu)。但模型輸入要求較高，后續(xù)研究可以考慮融合多源數(shù)據(jù)開發(fā)新的模型和算法減少本文模型對(duì)輸入數(shù)據(jù)的高要求。