數(shù)學模型方法指導下的高中數(shù)學教學

謝明德

【摘 要】本文論述高中數(shù)學教學中運用數(shù)學建模的策略，提出教師要樹立數(shù)學建模的意識，將數(shù)學建模貫穿于教學的過程中，利用經(jīng)典的數(shù)學建模故事提高學生的學習興趣，從多視角通過一題多解發(fā)散學生的思維，創(chuàng)新和改編課本的例題、習題等，以期使學生掌握高中數(shù)學的學習方法。

【關鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)學建模 一題多解

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）46-0089-02

數(shù)學建?？梢宰鳛椴糠謹?shù)學興趣小組的課外活動，同時也可以作為一種教學思想貫穿于高中數(shù)學教學的全過程。教師作為引領人，要提出合適的、可操作的建模素材，這是數(shù)學建模的突破口。數(shù)學模型方法指導下的數(shù)學教與學，要求盡可能地創(chuàng)設或恢復數(shù)學創(chuàng)造的全過程，也就是說，教與學要從現(xiàn)實原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、比較、分析、綜合、歸納、抽象、概括等基本的數(shù)學思想方法來獲得數(shù)學概念、基本關系，通過推演獲得公式、公理和相應的數(shù)學模型。

一、利用經(jīng)典數(shù)學建模故事

【例1】人教版普通高中數(shù)學教科書在第七章《復數(shù)》中，針對數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念部分，為了解決x2+1=0在實數(shù)系中無解的問題，引入復數(shù)i，規(guī)定i2=-1，并以此為基礎構建了復數(shù)的相關理論。

事實上，復數(shù)首先是由代數(shù)學家卡當（J. Cardan）在求解方程x（10-x）=40時引入的，復數(shù)這個名詞是由德國數(shù)學家高斯給出的。但是，當時數(shù)學家對復數(shù)是不愿意接受的，直到18世紀末19世紀初，挪威測量學家未塞爾根據(jù)自己的測量學知識，憑直覺找到了復數(shù)的幾何表示法：復數(shù)a+bi與平面上的點一一對應。這樣一來，復數(shù)就找到了一個現(xiàn)實模型，而且在測繪學上找到了它的應用。復數(shù)模型找到了立足點后，以歐拉為首的一些數(shù)學家發(fā)展了復變函數(shù)論這一數(shù)學分支。在法國數(shù)學家柯西和德國數(shù)學家黎曼、維爾斯特拉斯等人的不懈努力下，復變函數(shù)論取得了飛躍式的發(fā)展，并實現(xiàn)了廣泛的應用，如19世紀初俄羅斯科學家儒可夫斯基將復變函數(shù)理論運用到航空工程領域，取得了重大成就。

反思：學生在學習復數(shù)相關知識時會感覺虛無縹緲，看不見、用不上，缺乏實踐基礎。教師可以簡單介紹復數(shù)理論的歷史故事，引導學生了解復數(shù)理論的現(xiàn)實用處，讓學生對復數(shù)的知識內容產生濃厚的學習興趣。溝通數(shù)學理論和實踐活動的橋梁是數(shù)學建模。理論突破和實踐突破是數(shù)學發(fā)展的重要推動力，有時候先有數(shù)學理論的突破，需要經(jīng)過長期的生產實踐才能找到數(shù)學理論的用武之地;有時候先有實踐的需求，經(jīng)過數(shù)學家的建?；顒硬拍転閷嵺`指明方向，同時可能誕生出一個嶄新的數(shù)學分支。例如，微積分理論是牛頓和萊布尼茨在研究物理和數(shù)學問題時創(chuàng)立的，圖論是歐拉在研究哥尼斯堡七橋問題時創(chuàng)立的，等等。這樣的數(shù)學建模，高中階段的教師和學生是難以進行的，但是了解相關的故事有助于提高學生的數(shù)學學習興趣，幫助學生樹立遠大的理想。

【例2】俄國數(shù)學家和物理學家伽莫夫（G. Gamow，1904—1968年）曾試圖揭開復數(shù)的奧秘。有一次，他出了一道難題：有一張破舊發(fā)黃的羊皮紙，上面指出了某一無人島上海盜寶藏的位置，同時指示出島上僅有兩棵樹A和B，還有一個斷頭臺;從斷頭臺開始直線走向A樹并記下步數(shù)，到達后向左轉90°繼續(xù)直走相同的步數(shù)，然后在停止處釘下一根長釘;再回到斷頭臺直線走向B樹，到達后右轉90°繼續(xù)直走相同的步數(shù)，同樣在停止處釘下一根長釘;這時只要在兩釘連線的中點處挖掘，就可以找到寶藏。一位年輕的探險家幸運地得到了這張羊皮紙，于是租了一艘船，乘風破浪、披星戴月、滿懷信心地前往該島。他毫不費力地找到了那兩棵樹，然而令他沮喪的是，斷頭臺卻蕩然無存了！斷頭臺所在地的一切痕跡也因年代久遠而消失于荒煙蔓草之中。找不到這個斷頭臺，年輕人無法找到寶藏，只好失望地空手而歸。

分析：第一步，建立模型。建立實際問題與數(shù)學理論和方法的聯(lián)系。將問題中的樹、斷頭臺等抽象為平面上的點，為了確定點的位置可以建立坐標系。第二步，求解模型。問題中牽涉到旋轉，可以用復數(shù)的乘法和向量的相關理論加以求解。第三步，轉化為實際問題的解。

反思：此問題運用了向量和復數(shù)的相關理論，特別是在處理旋轉問題時，使用復數(shù)的乘法處理就十分巧妙;同時，學生也能體驗到對復數(shù)的一個簡單應用，深化對復數(shù)和向量的理解。經(jīng)典的數(shù)學故事往往蘊含著數(shù)學的巨大能量，能體現(xiàn)出數(shù)學的價值。講好經(jīng)典的數(shù)學故事有利于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣以及用數(shù)學知識解決實際問題的意識。

二、多視角下的一題多解

數(shù)學中的各種公式及其運算系統(tǒng)、各類方程及其求解方法等都是由對象間的數(shù)量關系抽象出來的，它們也分別構成數(shù)學模型。人們在解決一類問題的過程中可采用的共同的計策構成的數(shù)學模型，也就是方法型數(shù)學模型。事實上，人教版普通高中數(shù)學教科書選擇性必修1第一章《空間向量與立體幾何》就是一個典型的方法型數(shù)學模型，它用向量的理論解決了立體幾何中的平行、垂直、長度、角度等問題。一題多解，運用不同的理論知識加以闡述，能夠幫助學生找到數(shù)學知識間的聯(lián)系，發(fā)散數(shù)學思維。

反思：此題用了三種不同的方法，其實是建立了三種不同的數(shù)學模型。所用到的數(shù)學知識不同，有利于學生建立知識與知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識。法一和法三用到了關系映射反演方法（如圖5所示），這種方法和建立數(shù)學模型求解是一脈相承的。

三、課本例題、習題的創(chuàng)新和改編

【例4】人教版普通高中數(shù)學教科書（2017年版，2019年修訂）第238頁例題：摩天輪是一種大型轉輪狀機械設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉。摩天輪最高點距離地面120米，轉盤直徑110米，游客在距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30分鐘，游客甲坐上摩天輪的座艙，求開始轉動t分鐘后距離地面的高度H。

反思：學生在建模、求解模型的過程中可以深化對正弦函數(shù)的理解，得到解析式H（t）=Asin（ωx+φ）+b后進一步理解了A、ω、φ、b的物理意義和幾何意義，對往復運動的周期性特點有了更深刻的認識，這也有助于理解物理學中的簡諧振動。

教科書第242—248頁編排了豐富的三角函數(shù)模型的應用案例，為數(shù)學模型方法指導下的數(shù)學教與學提供了豐富的教學素材，同時也體現(xiàn)了教材編寫者對高中數(shù)學建模問題的重視。

總之，數(shù)學模型方法指導下的教學需要教師巧妙地設計問題，提供智力支持和方法指導，而在這個過程中教師也能有所收獲，實現(xiàn)教學相長;同時，教師應鼓勵學生大膽設想，小心求證，充分點燃學生的積極性，讓學生在探索的過程中培養(yǎng)團結合作的精神和求真務實的學習態(tài)度。

【參考文獻】

[1]中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學：普通高中教科書：必修二[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]沈文選，楊清桃.數(shù)學建模嘗試[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2018.

[3]張思明.理解數(shù)學[M].福州：福建教育出版社，2012.

注：本文系廣東省教育研究院立項課題“基于數(shù)學建模素養(yǎng)為導向的高中數(shù)學教學實踐研究”（編號：GDJY-2020-A-s124）研究成果。