一類分數(shù)階微分包含耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性

于鵬艷， 侯成敏

( 延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002 )

0 引言

近年來，分數(shù)階微分方程和微分包含耦合系統(tǒng)受到國內外學者的廣泛關注，并得到了一些很好的研究成果.2017年，H.H.Alsulami等[1]研究了一類帶有不可分的成對邊值條件的Caputo型分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)

解的存在唯一性.其中:CDα和CDβ分別表示α階和β階Caputo型分數(shù)階導數(shù)；f,g∶[0,T]×R×R→R；υi和μi是常實數(shù)，υiμi≠1,i=1,2.

2019年，B.Ahmad等[2]研究了一類帶有邊界條件的分數(shù)階微分包含系統(tǒng)

解的存在性.其中：CDα和CDβ分別表示α階和β階Caputo型分數(shù)階導數(shù)；F,G∶[0,T]×R×R→P(R)是多值映射，P(R)是R的所有非空子集全體；υi和μi是常實數(shù)，υiμi≠1,i=1,2.

2019年,B.Ahmad等[3]研究了一類分數(shù)階混合微分方程系統(tǒng)邊值問題

受以上文獻啟發(fā)，本文考慮一類新的混合Caputo型和Riemann-Liouville的分數(shù)階微分包含耦合系統(tǒng)問題：

(1)

1 預備知識

定義1[4]設G∶X→P(X)為多值映射.多值映射的基本概念如下:

1)若對于所有x∈X，G(x)是凸(閉)的，則稱P(x)為凸(閉)值的.

2)若對于任意的x0∈X，集合G(x0)是X的非空閉子集，且對于X中包含G(x0)的每一個開集N，都存在一個x0的開鄰域N0，使得G(x0)?N,則稱G是上半連續(xù)的.

3)若對于每一個B∈Pb(X)，G(B)是相對緊的，則稱G是完全連續(xù)的.

4)若對于每一個y∈R，函數(shù)t→d(y,G(t))=inf{|y-z|:z∈G(t)}可測，則稱多值映射G∶[a,b]→Pc l(R)可測.

5)若多值映射G是全連續(xù)的，且具有非空緊值，則G是上半連續(xù)的當且僅當G有一個閉圖,即：xn→x*,yn→y*,yn∈G(xn) ?y*∈G(x*).集合Gr(G)={(x,y)∈X×Y,y∈G(X)}表示G的圖像.

定義3[5]定義函數(shù)f∶(0,∞)→R的r階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

其中t>0,r>0,Γ(r)為Gamma函數(shù)，右端積分在R+上逐點有定義.

定義4[5]定義連續(xù)函數(shù)f∶(0,∞)→R的r階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為

其中r>0,n=[r]+1,[r]表示r的整數(shù)部分，等式右端積分在R+上逐點有定義.

定義5[5]連續(xù)函數(shù)f∶(0,∞)→R的r階Caputo型分數(shù)階導數(shù)可寫成

定義6[5]若f(t)∈Cn[0,∞)，則

(2)

的解為

定義7函數(shù)(x,y)∈C2(J,R)×C2(J,R)是系統(tǒng)(1)的解，即該函數(shù)滿足系統(tǒng)(1)中的成對邊值條件，并存在函數(shù)f,g∈L1(J,R)使得f(t)∈F(t,x(t),y(t)),g(t)∈G(t,x(t),y(t))在J上幾乎處處成立，其中:

2 主要結果及其證明

任取(x,y)∈X×X，并將SF,(x,y)={f∈L1([0,1],R):f(t)∈F(t,x(t),y(t)),a.e.t∈[0,1]}和SG,(x,y)={g∈L1([0,1],R):g(t)∈G(t,x(t),y(t)),a.e.t∈[0,1]}分別作為F和G的選擇集.

根據(jù)引理1，將算子Θ1,Θ2∶X×X→P(X×X)定義為如下：

Θ1(x,y)={h1∈X×X:?f∈SF,(x,y),g∈SG,(x,y)使得

h1(x,y)(t)=Q1(x,y)(t),對于?t∈[0,1]},

(3)

Θ2(x,y)={h2∈X×X:?f∈SF,(x,y),g∈SG,(x,y)使得

h2(x,y)(t)=Q2(x,y)(t),對于?t∈[0,1]}.

(4)

其中:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

引理2[4]若G∶X→Pc l(Y)是上半連續(xù)的，則Gr(G)是X×Y的一個閉子集.即：對于任意序列{xn}n ∈N?X和{yn}n ∈N?Y，當n→∞時有xn→x*,yn→y*，yn∈G(xn)，則y*∈G(x*).反之，如果G是完全連續(xù)的且有一個閉圖像，則G是上半連續(xù)的.

在C([0,T],R)×C([0,T],R)上是一個閉圖算子.

定理1系統(tǒng)(1)在[0，1]上至少有一個解，若以下假設成立：

(H1)多值映射F,G∶[0,1]×R2→P(R)是L1-Carathéodory多值映射，且具有非空緊值和凸值.

(H3)存在一個正數(shù)A滿足AL>1，其中Mi(i=1,2,3,4)和L分別由式(5)—(9)給出.

證明取f∈SF,(x,y),g∈SG,(x,y)，則對于(x,y)∈X×X有:

因上式中h1∈Θ1,h2∈Θ2，所以(h1,h2)∈Θ(x,y).下面證明算子Θ滿足Leray-Schauder型非線性選擇定理的假設條件.

令0≤ω≤1，則對于每一個t∈(0,1)有:

(10)

(11)

由于式(10)和式(11)分別是|h1|和|h2|的一個上界，因而可知|hi|(i=1,2)的上確界滿足：

(12)

(13)

將式(12)和式(13)相加得

(14)

3)證Θ是等度連續(xù)的.取0≤t1

類似于上述的證明可得：

由上式可知，算子Θ(x,y)是等度連續(xù)的.再根據(jù)Arzelá-Ascoli定理可知，算子Θ(x,y)是完全連續(xù)的.

考慮連續(xù)線性算子Φ1,Φ2∶L1([0,1],X×X)→C([0,1],X×X),并做如下定義：

5)證明存在一個開集U?C([0,1],R),且對于所有的k∈(0,1)和(x,y)∈?U都有(x,y)?kΘ(x,y).令(x,y)∈kΘ(x,y)，其中k∈(0,1)，則存在f∈SF,(x,y)和g∈SG,(x,y)，且使得:

(15)

(16)

將式(15)和式(16)相加得

(17)