全空間上一類Kirchhoff型問題正基態(tài)解的存在性

吳燕林， 錢曉濤

( 陽光學院 基礎教研部，福建 福州 350015 )

并證明了該問題至少存在一個正基態(tài)解.該結果補充了文獻[1-4]關于正基態(tài)解的存在性結果.

0 引言

本文考慮如下Kirchhoff型問題：

(1)

其中：a,b>0;N=2,3;非線性項冪次40,且Q(x)∈L∞(RN).

為了得到問題(1)的正解，本文定義如下泛函：

1 預備知識

給出一些記號：H1(RN)和Ls(RN) (2≤s≤2*)均為標準的Sobolev空間，?和→分別表示弱收斂和強收斂，Br(x0)表示以x0為中心、r為半徑的球.當無特別指出時，默認為收斂是n→∞情況下的.固定p∈(2,2*)，則由H1(RN)的嵌入性質可定義如下：

以下首先證明泛函I具有山路幾何結構.

因此存在t0>ρ，使得I(t0u0)<0.令e=t0u0，由此引理1得證.

引理2{un}在H1(RN)中有界.

證明由{un}是泛函I的一列(PS)c*序列可知

因此un→0于H1(RN).于是有I(un)→0，這與I(un)→c*≥α>0矛盾.引理3證畢.

為了得到方程(1)的基態(tài)解，定義如下的Nehari流形：

Λ={u∈H1(RN){0}:G(u)=0}，

其中G(u)=〈I′(u),u〉.

證明對于任意的u∈Λ，有

令δ=(p-2)σ2，由此即可證得引理4成立.

2 主要結果及其證明

定理1問題(1)至少存在一個正基態(tài)解.

令vn(x)∶=un(x+yn)，則由全空間RN的平移不變性知{vn}也是泛函I的一個有界(PS)c*序列.于是，可以假設v*∈H1(RN)滿足vn?v*于H1(RN)，且vn→v*于L2(BR(0)).又因為

所以v*≠0.

在上式中，取φ=v*，則

(2)

再取t*=t*(v*)∈R+使得t*v*∈Λ，則

其中第2個不等式使用了Fatou引理，故I(v*)=c*.這表明v*≥0是問題(1)的非平凡基態(tài)解.再由標準的正則性提升方法和強極大值原理可知，v*>0.綜上可知，v*是問題(1)的正基態(tài)解，定理1證畢.

注顯然，文獻[1-4]的Q(x)均滿足本文的條件，因此本文的結果可以看作是文獻[1-4]的補充.