等效剛度法計(jì)算波紋夾層板彎曲變形與應(yīng)力

王小明，魏強(qiáng)，潘曼

1 中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

2 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430064

0 引 言

夾層板由上、下面板和支撐此2 個(gè)面板的中間芯層組成。通常芯層與面板的連接方式可以是激光焊接[1-2]，也可以是粘結(jié)[3]，這樣組成的新結(jié)構(gòu)被稱為結(jié)構(gòu)復(fù)合材料。芯層的結(jié)構(gòu)形式有波紋型（V 型），I 型，Y 型，O 型，Z 型和梯形等。與普通板或加筋板相比，夾層板具有比強(qiáng)度和比剛度高的優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)常被應(yīng)用到船舶工程、航空航天工程、列車車廂和橋梁工程中[4]。由于夾層板芯層具有形式多樣、材料選擇空間大、設(shè)計(jì)范圍寬泛的優(yōu)點(diǎn)，所以得到了廣泛的研究。

在波紋夾層板彎曲問題的研究中，逐漸形成了2 個(gè)研究方向：一個(gè)方向是把波紋夾層板等效成正交異性板，按照正交異性板進(jìn)行求解[5]；另一個(gè)方向則是直接根據(jù)芯層的實(shí)際形狀，忽略面板與芯層連接位置處的剪應(yīng)力連續(xù)條件，上、下面板運(yùn)用經(jīng)典薄板理論，芯層采用一階剪切變形理論求解[6]。

在第一個(gè)研究方向中，等效剛度和等效彈性參數(shù)的確定和計(jì)算方法是重點(diǎn)。1951 年，Libove 等[7]把波紋夾層板整體等效成正交異性板，考慮夾層板拉伸與彎曲耦合，剪切與扭轉(zhuǎn)耦合，并在彎曲問題中考慮了橫向剪切力，運(yùn)用變形等效原理推導(dǎo)了夾層板的等效剛度、等效模量和等效泊松比等彈性常數(shù)。后來，文獻(xiàn)[7] 的研究成果受到很多學(xué)者的重視，紛紛運(yùn)用該方法研究其他結(jié)構(gòu)形式的夾層板彈性常數(shù)，例如，F(xiàn)ung 等[8-10]研究了Z 型和C 型夾層板的彈性常數(shù)計(jì)算方法, Atashipour等[11]推導(dǎo)了正弦波紋芯層的彈性常數(shù),Yu 等[3]和Nilsson 等[12]沿用了文獻(xiàn)[7] 的方法，但是將夾層板的生產(chǎn)工藝一并考慮，即把面板與芯層間的粘結(jié)層或焊縫層的受力狀態(tài)做定量分析，推導(dǎo)了更為精準(zhǔn)的彈性常數(shù)。此外，Shaban[13]采用能量法研究了梯形芯層的等效彈性模量、模量與截面參數(shù)的變化規(guī)律，Bartolozzi[14-15]，Park[16]和Wang[17]分別采用不同方法研究了芯層的等效彈性模量，然而，如何根據(jù)芯層等效彈性模量來計(jì)算夾層板的整體剛度卻未提及，而直接按照文獻(xiàn)[7] 的方法求解夾層板整體彎曲剛度和剪切剛度，其過程非常復(fù)雜。

為了避免推導(dǎo)過程的繁瑣復(fù)雜，本文在求解過程中，將首先求解波紋夾層板的芯層等效彈性參數(shù)，應(yīng)用層合板理論計(jì)算整體彎曲剛度和剪切剛度，然后將結(jié)果代入正交異性板彎曲微分方程中，確定夾層板的彎曲微分方程，最后采用雙傅里葉級(jí)數(shù)法求解該微分方程，從而計(jì)算出面板的位移和應(yīng)力。

1 芯層等效彈性模量

芯層等效彈性模量的計(jì)算原理是變形等效，即在外力相等的條件下波紋芯層實(shí)際的位移和均質(zhì)模型的位移相等。Bartolozzi 等[14]提出了一種計(jì)算正弦波紋板芯層等效彈性模量的方法，本文參考這種方法，推導(dǎo)波紋板的芯層彈性模量。波紋夾層板和坐標(biāo)系如圖1 所示。圖中：x軸沿著芯層的母線方向，y軸沿著芯層的波紋方向，z軸指向下方垂直于xoy平面（xoy平面位于夾層板芯層的中面）；z<0 一側(cè)的面板叫上面板，z>0 一側(cè)的面板叫下面板，其中，上面板厚度為tt，下面板厚度為tb，芯層板厚tc，芯層凈高h(yuǎn)c，芯層周期長度lc，芯層半周期斜面邊長為l，芯層傾斜面與面板夾角為θ。分析時(shí)，以普遍常見的上、下面板和芯層都用同一種材料制造的夾層板為研究對(duì)象，材料的彈性模量為E，剪切彈性模量為G，泊松比為μ；等效彈性模量推導(dǎo)過程中，x方向長度設(shè)為單位長度。

圖1 夾層板與坐標(biāo)系統(tǒng)Fig. 1 Sandwich and coordinate system

1.1 等效模量

在圖2 所示的坐標(biāo)系中，半周期的芯層中心線方程可以表示為

圖2 計(jì)算G cyz 模型與坐標(biāo)系統(tǒng)Fig. 2 Model for calculating G cyz and coordinate system

圖2 所示的芯層任意一點(diǎn)的內(nèi)力力矩M、拉力N和剪切力T分別表示為

根據(jù)卡氏定理（Castigliano's theorem），芯層頂點(diǎn)的位移可以按照式（5）～式（7）計(jì)算。

將式（1）～式（4）代入式（5）～式（7），可以計(jì)算出這3 項(xiàng)位移，用矩陣方式表示如下：

1.2 等效彈性模量

1.3 等效彈性模量

1.4 等效模量和

圖3 計(jì)算G czx 的力學(xué)模型Fig. 3 Mechanics model for calculatingGczx

芯層前部截面的剪應(yīng)力τ4

如圖4 所示，過芯層上邊緣左側(cè)端點(diǎn)P作與力Fxl垂直的平面 Π1， Π1平面的法向量為n，該平面上的剪應(yīng)力（方向垂直于紙面向外）可由剪應(yīng)力互等定理得出也為τ4。芯層的左側(cè)面命名為Π2平 面，則 Π2平 面 與 向 量n平 行，即 Π2平 面 與Π1平 面垂直。在一系列與 Π2平面平行的平面族中，芯層頂部矩形剪切變形 ?x4為

圖4 芯層前端面受力狀態(tài)Fig. 4 Stress state of the core front face

1.5 泊松比和

通過式（17）及式（19）、式（28）及式（30），可以看出泊松比滿足正交異性體的關(guān)系式

由此，驗(yàn)證了以上公式推導(dǎo)的正確性。

2 波紋夾層板的等效參數(shù)

上、下面板是均質(zhì)各向同性彈性體，芯層則當(dāng)作正交異性體，這樣可按照層合板理論來計(jì)算夾層板的整體剛度，這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上就是將各層的離軸折減剛度乘以慣性矩（面積），按各層的貢獻(xiàn)累加[18]。

2.1 波紋夾層板的橫截面參數(shù)

根據(jù)前面的推導(dǎo)，波紋夾層板上、下面板及芯層相當(dāng)于3 層層合板，上、下兩層是各向同性體，中間層是正交異形體。當(dāng)上、下面板厚度不相等，即tb≠tt時(shí)，夾層板的中性層一般并非夾層板的厚度中間層，并且xz面內(nèi)彎曲與yz面內(nèi)彎曲中性層不重合。以下計(jì)算慣性矩，都是相對(duì)于對(duì)應(yīng)的彎曲中性層而言。

定義面板中心間距h

單位寬度夾層梁（桿）的x向拉壓剛度EAx為

xz面內(nèi)彎曲時(shí)，中性層與下面板中芯層的間距hx為

2.2 波紋夾層板的等效剛度

根據(jù)層合板理論[18]，可以將各層的剛度累加計(jì)算夾層板的總體剛度。

xz面內(nèi)彎曲剛度D1為

3 彎曲方程與求解

對(duì)于對(duì)稱的波紋夾層板，其彎曲微分方程可以直接采用一階剪切變形理論為基礎(chǔ)的對(duì)稱層合板彎曲微分方程[19]，即

式中：φx，φy和w分別為夾層板xz平面、yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角和橫向位移；p為橫向載荷。

非對(duì)稱的波紋夾層板彎曲方程比式（43）多2 個(gè)未知函數(shù)，即彎曲方程為5 個(gè)聯(lián)立方程組，并且前述剛度中的慣性矩一般統(tǒng)一定義為相對(duì)于厚度中間層。非對(duì)稱夾層板彎曲方程的推導(dǎo)可以采用最小勢能原理。若波紋夾層板為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，則中性層就是中間層，因此剛度定義可以直接采用式（37）～式（42）進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于x向長為a，y向長為b的四邊簡支的夾層板，邊界條件為

可以設(shè)式（43）的解為雙傅里葉級(jí)數(shù)形式，即

式中：wmn，φxmn和φymn分別為對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)；m，n為傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)序數(shù)。

式（45）～式（47）已經(jīng)滿足了式（44）的邊界條件。

橫向載荷p若為集中力，作用點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），可以把集中力展開成雙傅里葉級(jí)數(shù)。

4 夾層板的彎曲應(yīng)力

求出夾層板的變形之后，還需要繼續(xù)求解夾層板的應(yīng)力，即確定夾層板的應(yīng)力。

根據(jù)層合板理論[18]，夾層板面板的應(yīng)變可以按式（49）～式（51）計(jì)算。

面板x向應(yīng)變?chǔ)舩為

應(yīng)力最大的位置應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在上、下面板上，所以更關(guān)心這些位置的應(yīng)力。應(yīng)用Hookean 定律，由應(yīng)變表達(dá)式（49）～式（51）求應(yīng)力。

面板x向應(yīng)力σx為

將第3 節(jié)求出的變形代入式（52）～式（54），則可計(jì)算出上、下面板的應(yīng)力分布。芯層的x向應(yīng)力σx，可根據(jù)上、下面板的σx插值求得；芯層的y向應(yīng)力σy和剪應(yīng)力τxy一般很小，可以忽略。

5 算例與討論

5.1 等效剛度計(jì)算驗(yàn)證

計(jì)算2 組規(guī)格波紋夾層板的等效剛度。規(guī)格1：tt=2 mm，tb=4 mm，tc=2 mm，hc=40 mm，lc=50 mm，E=2.1×105MPa，μ=0.3；規(guī)格2：tt=tb=3 mm，其余參數(shù)與規(guī)格1 相同。為比較本文所提出的等效計(jì)算方法的精度，分別采用文獻(xiàn)[7] 提供的計(jì)算方法（以下簡稱方法A）和本文的方法（以下簡稱方法B）計(jì)算上述夾層板的等效剛度。

表1 和表2 分別給出了規(guī)格1 和規(guī)格2 夾層板的計(jì)算結(jié)果及其誤差。

表1 和表2 表明，本文提出的剛度計(jì)算方法在計(jì)算對(duì)稱波紋夾層板時(shí)誤差小于?6.98%（該誤差對(duì)波紋夾層板彎曲變形和彎曲應(yīng)力的影響將通過下文計(jì)算算例予以說明）。對(duì)比表1和表2 可以發(fā)現(xiàn)，夾層板的非對(duì)稱性越明顯，計(jì)算得到的誤差也會(huì)越大。

表1 規(guī)格1 夾層板剛度計(jì)算結(jié)果Table 1 The evaluation results of type No.1 sandwich panel stiffness

表2 規(guī)格2 夾層板剛度計(jì)算結(jié)果Table 2 The evaluation results of type No.2 sandwich panel stiffness

5.2 彎曲變形與應(yīng)力計(jì)算驗(yàn)證

夾層板四邊簡支，a=2 000 mm，b=1 500 mm，采用規(guī)格2 夾層板，即tt=tb=3 mm，tc=2 mm，hc=40 mm，lc=50 mm，E=2.1×105MPa，μ=0.3。集中力作用于上面板的中心點(diǎn)，作用點(diǎn)坐標(biāo)為（1 000,750），集中力為p=2×104N。

為驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性，將本文方法計(jì)算結(jié)果與ANSYS 計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比；為驗(yàn)證剛度計(jì)算誤差對(duì)彎曲變形和彎曲應(yīng)力的影響，將本文計(jì)算方法與文獻(xiàn)[7]方法進(jìn)行對(duì)比。采用3 種方法計(jì)算。方法1：不作等效處理，考慮芯層實(shí)際形狀，采用ANSYS 有限元方法。上、下面板和芯層板均采用Shell 181 單元，網(wǎng)格尺寸12.5 mm×12.5 mm，單元總數(shù)為76 800；方法2：本文計(jì)算方法；方法3：剛度計(jì)算方法采用文獻(xiàn)[7]的方法，彎曲變形與應(yīng)力采用本文第3,4 節(jié)的方法（實(shí)際上，對(duì)于夾層板彎曲的計(jì)算方法不能被視為一種新方法，其與方法2 相同，僅其中的剛度計(jì)算方法不同而已，為了便于敘述，也將其稱為一種計(jì)算方法）。由于集中載荷作用點(diǎn)是變形最大的位置，所以提取通過中心點(diǎn)的兩條直線上的變形分布，如圖5 和圖6 所示。拉應(yīng)力最大值出現(xiàn)在下面板的下表面，壓應(yīng)力最大值出現(xiàn)在上面板的上表面，y=b/4，b/3 和x=a/4，a/3 位置處對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)力分布如圖7～圖14 所示。由于通過集中載荷作用點(diǎn)，作用點(diǎn)及附近應(yīng)力為無窮大，因此沒有關(guān)注y=b/2 和x=a/2 位置的應(yīng)力分布。

如圖5～圖6 所示，3 種計(jì)算方法計(jì)算的位移分布幾乎相同，與方法1 對(duì)比，方法2 最大誤差為?2.01%，以方法3 為基準(zhǔn)，方法2 最大誤差為?1.27%。這說明本文關(guān)于夾層板彎曲的計(jì)算方法具有較好的準(zhǔn)確性。

圖5 y=b/2 位置處的位移Fig. 5 Deflection of y=b/2

圖6 x=a/2 位置處的位移Fig. 6 Deflection of x=a/2

圖7 y=b/4 位置處下面板的下表面x 向應(yīng)力Fig. 7 Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/4

圖8 y=b/3 位置處下面板的下表面x 向應(yīng)力Fig. 8 Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/3

圖9 y= b/4 位置處上面板上表面x 向應(yīng)力Fig. 9 Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/4

圖10 y=b/3 位置處上面板上表面x 向應(yīng)力Fig. 10 Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/3

圖11 x=a/4 位置處下面板下表面y 向應(yīng)力Fig. 11 Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/4

圖12 x=a/3 位置處下面板下表面y 向應(yīng)力Fig. 12 Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/3

由圖7～圖14 可以看到，方法2 和方法3 計(jì)算的應(yīng)力非常接近，如果以文獻(xiàn)[7] 的計(jì)算值為基準(zhǔn)，上述圖示中應(yīng)力的最大誤差為?1.36%。結(jié)合表2 的剛度計(jì)算結(jié)果可知，剛度最大誤差接近?7%，僅導(dǎo)致應(yīng)力最大誤差為?1.36%，這說明本文關(guān)于計(jì)算剛度的方法可以用于夾層板的彎曲計(jì)算，不會(huì)因?yàn)閯偠扔?jì)算誤差導(dǎo)致變形和應(yīng)力計(jì)算誤差的放大。

圖13 x=a/4 位置處上面板上表面y 向應(yīng)力Fig. 13 Top facesheet upper surface y direction stress at x= a/4

圖14 x= a/3 位置處上面板上表面y 向應(yīng)力Fig. 14 Top facesheet upper surface y direction stress at x=a/3

方法1 是目前業(yè)內(nèi)公認(rèn)的計(jì)算比較精確的方法。關(guān)于x向應(yīng)力，如圖8 和圖9 所示，3 種方法的計(jì)算結(jié)果極其接近；圖7 和圖10 則不同，方法1 與其余2 種方法的差別較大，且方法2 和方法3 的結(jié)果普遍大于方法1 的計(jì)算結(jié)果（計(jì)算值的絕對(duì)值）。這是因?yàn)椴y夾層板面板應(yīng)力沿著波紋方向（y方向）分布是波紋振蕩的，在芯層與面板結(jié)合的位置（上面板y=klc，下面板y=（k+1/2）lc，k為正整數(shù)），局部剛度最大，應(yīng)力達(dá)到局部極小值；在結(jié)合點(diǎn)中心的位置（上面板為y=（k+1/2）lc，下面板為y=k lc，k為正整數(shù)），局部剛度最小，應(yīng)力達(dá)到局部極大值。這種規(guī)律從圖11～圖14 中可以看出，雖然圖中列出的是y向應(yīng)力，但x向應(yīng)力波動(dòng)規(guī)律與之類似。不僅如此，圖11～圖14 還顯示了一個(gè)規(guī)律，即方法2 和方法3 的計(jì)算值是方法1 波動(dòng)峰值的光滑連線。由于y=b/4=7.5lc正是芯層與下面板的結(jié)合點(diǎn)，y=b/3=10lc正是芯層與上面板的結(jié)合點(diǎn)，應(yīng)力處于波動(dòng)的波谷點(diǎn)，所以方法1 的計(jì)算值普遍偏小。方法2 和方法3 無法捕捉這種波動(dòng)規(guī)律，根本原因是其采用了均勻化處理，將非連續(xù)的芯層等效成連續(xù)介質(zhì)。不過，這并不影響方法2 和方法3 的工程應(yīng)用，因?yàn)榉椒? 和方法3 是方法1 峰值的連線，即方法2 和方法3 在工程計(jì)算上偏于安全。忽略方法1 中應(yīng)力的這種波動(dòng)分布，僅用峰值光滑連線與方法2 比較，方法2（本文方法）的應(yīng)力最大誤差是3.63%。

圖5～圖14 僅展示了少數(shù)幾個(gè)特殊位置的變形及應(yīng)力分布，通過對(duì)其他位置的試算對(duì)比，計(jì)算結(jié)果都吻合得比較好，誤差也沒有明顯偏離上述結(jié)論（應(yīng)力對(duì)比剔除載荷作用點(diǎn)位置）。

本文采用了雙傅里葉級(jí)數(shù)解法，必然涉及到級(jí)數(shù)收斂的檢驗(yàn)。本文關(guān)于變形和應(yīng)力都是累加到m=n=15。關(guān)于變形的收斂性，跟單層板類似，收斂較快，累加到m=n=5 就收斂。而應(yīng)力收斂較慢，因此，為了證明本文的結(jié)果是收斂的計(jì)算值，圖15 列出了下面板下表面點(diǎn)（a/2，b/3）位置的x向應(yīng)力與累加次數(shù)（m=n）的函數(shù)圖。從圖中可以看出，當(dāng)m=n≥15 時(shí)，級(jí)數(shù)和項(xiàng)數(shù)再增加，應(yīng)力差別不超過0.5 MPa。對(duì)于方法1 的收斂性，也通過有限元網(wǎng)格由疏到密做過檢驗(yàn)，上述圖示中的結(jié)果都是處于收斂狀態(tài)的解。

圖15 應(yīng)力收斂性檢驗(yàn)Fig. 15 Stress convergence survey

6 結(jié) 論

本文通過將波紋夾層板的中間芯層等效成正交異性體，應(yīng)用卡氏定理求解了各項(xiàng)等效彈性模量，再采用層合板理論計(jì)算了夾層板的整體剛度。這種先等效再累加計(jì)算整體等效剛度的方法可以避免完全直接采用文獻(xiàn)[7]所述方法計(jì)算剪切剛度時(shí)的復(fù)雜繁瑣計(jì)算，而且在計(jì)算夾層板的彎曲時(shí)誤差很小。

通過算例驗(yàn)證，本文關(guān)于等效剛度的計(jì)算方法與文獻(xiàn)[7] 的計(jì)算方法相比，當(dāng)計(jì)算對(duì)象為對(duì)稱波紋夾層板時(shí)，計(jì)算誤差最小，為?6.98%； 當(dāng)計(jì)算對(duì)象為非對(duì)稱波紋夾層板時(shí)，誤差有所增加。

剛度計(jì)算誤差并不會(huì)導(dǎo)致夾層板位移和應(yīng)力計(jì)算誤差的放大，采用雙傅里葉級(jí)數(shù)求解波紋夾層板彎曲問題時(shí)，計(jì)算誤差明顯縮小。?6.98%的剛度誤差僅產(chǎn)生位移誤差?1.27%和?1.36%的應(yīng)力誤差。

本文所提波紋夾層板變形的計(jì)算方法與有限元法相比，誤差為?2.01%；有限元法計(jì)算結(jié)果顯示，夾層板上、下面板應(yīng)力沿波紋方向的分布表現(xiàn)出了波動(dòng)性，在面板與芯層結(jié)合點(diǎn)的位置，局部剛度達(dá)到極大值，應(yīng)力達(dá)到局部極小值；在結(jié)合點(diǎn)中心位置，局部剛度達(dá)到極小值，應(yīng)力達(dá)到局部極大值。本文方法采用了均勻化處理，應(yīng)力分布沒有波動(dòng)表現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果接近于有限元法波動(dòng)峰值的光滑連線，與其光滑連線相比，最大誤差為3.63%。