帶漂角和輸入飽和的水面船舶航向控制

陸瀟楊，劉志全，高迪駒，褚建新

上海海事大學(xué) 航運(yùn)技術(shù)與控制工程交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201306

0 引 言

航向控制作為船舶控制領(lǐng)域的首要問(wèn)題，一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。隨著控制理論的發(fā)展，從PID[1]、滑模[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]到模糊自適應(yīng)[4-5]等智能優(yōu)化算法，很多控制理論都被應(yīng)用到船舶控制領(lǐng)域并取得了理想的控制效果，但也存在一定的局限性。例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需設(shè)備較昂貴且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，不利于工程實(shí)現(xiàn)，而模糊規(guī)則的制定復(fù)雜且難以推廣。彭秀艷和胡忠輝[6]針對(duì)海浪濾波和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了反步自適應(yīng)輸出反饋控制器，但傳統(tǒng)反步法中易出現(xiàn)“計(jì)算爆炸”情況。林郁[7]提出的一種可減少控制器計(jì)算負(fù)擔(dān)的濾波器能夠有效避免此問(wèn)題，但未考慮該方法在欠驅(qū)動(dòng)水面船舶上的適用性。然而，海上實(shí)際使用的多數(shù)船舶都屬欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即僅利用主推進(jìn)和舵裝置驅(qū)動(dòng)完成船舶操縱任務(wù)。Liu 等[8]利用反步法并結(jié)合改良的視線法，將欠驅(qū)動(dòng)路徑跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了虛擬全驅(qū)動(dòng)控制問(wèn)題，但對(duì)風(fēng)、浪、流等外部干擾因素考慮不周，且忽略了船舶運(yùn)動(dòng)時(shí)非零漂角的影響。漂角是船體受不對(duì)稱水流作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)縱剖面與水流方向形成的夾角，其對(duì)船舶操縱效果有一定的影響，通常很少考慮。Yu 等[9]提出通過(guò)漂角修正來(lái)實(shí)現(xiàn)航向控制，但需要借助全球定位系統(tǒng)(GPS)和速率傳感器。在不借助GPS 的情況下，Hu 等[10]根據(jù)船舶相對(duì)速度進(jìn)一步求得了實(shí)際漂角，Wang 等[11]則利用有限時(shí)間觀測(cè)器并結(jié)合視線法，對(duì)受漂角影響的船舶進(jìn)行了航跡控制設(shè)計(jì)，但未考慮輸入飽和問(wèn)題。作為實(shí)際控制系統(tǒng)中的常見(jiàn)現(xiàn)象，執(zhí)行器飽和會(huì)降低系統(tǒng)性能，甚至導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，因此要解決船舶控制問(wèn)題，就必須考慮受限約束條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lin 等[12]提出了適用于未知時(shí)變環(huán)境擾動(dòng)及輸入飽和情況的自適應(yīng)模糊輸出反饋控制器，Ma 等[13]提出了一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用動(dòng)態(tài)面控制和反步法相結(jié)合的方法，用于處理飽和問(wèn)題，但該方法只能用于單輸入單輸出系統(tǒng)。

針對(duì)以上提到的水面船舶運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)的漂角及輸入飽和問(wèn)題，本文將設(shè)計(jì)一種帶漂角修正和輸入約束的魯棒自適應(yīng)反步航向控制器。首先采用光滑雙曲正切函數(shù)和Nussbaum 函數(shù)逼近約束條件，利用自適應(yīng)技術(shù)處理未知擾動(dòng)，然后引入指令濾波器并結(jié)合反步法設(shè)計(jì)航向控制器，以及通過(guò)Lyapunov 理論證明其有界性，最后進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該控制方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

假設(shè)船舶關(guān)于xz平面對(duì)稱，且垂蕩、橫搖、縱搖方向上的運(yùn)動(dòng)可忽略不計(jì)。為便于設(shè)計(jì)控制器，縱蕩速度u由獨(dú)立控制系統(tǒng)控制，故假設(shè)其為常數(shù)，橫蕩速度v與船舶操縱中其他運(yùn)動(dòng)變量相比較小，故設(shè)其被動(dòng)有界[14]，則水面船舶動(dòng)力學(xué)模型通?？梢院?jiǎn)化為在艏搖和橫蕩方向上的兩自由度運(yùn)動(dòng)，描述如下[15]：

式中： ψ為船舶的實(shí)際航向角，(°)；r為船舶的艏搖角速度， rad/s；mi(i=1, 2, 3)為包含附加質(zhì)量影響的船舶慣性參數(shù)， kg；φ為艏搖力矩，N·m，是唯一的控制輸入； τ(φ)為 飽和執(zhí)行器輸出，N·m； ωr和ωv分別為艏搖和橫蕩方向上有未知界的時(shí)變擾動(dòng)；艏搖和橫蕩方向上的阻尼函數(shù)f1(r)，f2(v)分別表示如下：

在反步法框架下，求解虛擬控制律所涉及到的所有函數(shù)都必須保證是可導(dǎo)的。但飽和執(zhí)行器輸出 τ(φ)存在非線性部分，為解決這一問(wèn)題，引入了雙曲正切函數(shù)g(φ)，即將不連續(xù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，逼近誤差為 μ(φ), 即 τ(φ)=g(φ)+μ(φ)。其中

式 中： ?=ωr+μ(φ)， 由 于 ωr和 μ(φ)均 有 界，則 ?有界，且假設(shè) |?|≤σ ；定義 σ? ， σ?分 別為界值常數(shù) σ的估計(jì)值和估計(jì)誤差，即 σ?= σ??σ ；c為正常數(shù)；由于實(shí)際控制輸入φ難以直接計(jì)算得出，因此定義一個(gè)輔助變量 ?以方便后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)。

針對(duì)受非零漂角和輸入飽和影響的水面船舶，提出一種基于反步法的航向控制方法，目標(biāo)如下：

1) 減小航向輸出誤差；

2) 控制輸入力矩并始終保持在較小值。

2 控制系統(tǒng)

2.1 預(yù)濾波器

為避免船舶航向角突然改變較大導(dǎo)致航速變化明顯，而對(duì)研究時(shí)假設(shè)的條件造成影響，采用了一種預(yù)濾波方法，這樣既可使船舶航向平滑過(guò)渡，又可保證控制器的魯棒性。在期望航向角ψd處加入一個(gè)預(yù)濾波器，輸出光滑、緩慢變化的參考航向角 ψdr及其導(dǎo)數(shù)作為參考輸入。提出的二階預(yù)濾波器可以寫(xiě)為[16]

式中，ni(i=1,2,3,4)為二階預(yù)濾波器的參數(shù)。

2.2 漂角修正

在航向控制設(shè)計(jì)中，通常假設(shè)漂角為0，選擇期望路徑的切線角作為期望航向角 ψd，航向誤差e=ψ?ψd。然而，實(shí)際上漂角是存在的，且會(huì)對(duì)航行造成一定的影響，特別是對(duì)欠驅(qū)動(dòng)水面船舶來(lái)說(shuō)，利用一個(gè)輸入來(lái)控制橫蕩和艏搖運(yùn)動(dòng)，使船舶的重力速度方向與航向不一致，將會(huì)導(dǎo)致船舶逐漸偏離航線?？梢岳闷莵?lái)修正所需航向的不合理性。在如圖1 所示的地面坐標(biāo)系OXoYo及船體坐標(biāo)系BXbYb中，由于船舶重心速度方向與期望路徑的切線角相差一個(gè)漂角[10]，所以結(jié)合預(yù)濾波器。漂角修正后的期望航向角 ψda和航向誤差ea如下：

圖1 漂角修正后的期望航向Fig. 1 Desired heading after sideslip angle amendment

2.3 控制器

在設(shè)計(jì)控制器之前，為避免在虛擬控制律求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，引入了一種指令濾波器[17]，可以表示為

將式(29)～式（31）代入式(28)，可得

3） 步驟3。設(shè) ?=?g(φ)/?φ， 對(duì)z3求導(dǎo)，可得

為避免在求解 ?的過(guò)程中出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，引入了Nussbaum 函數(shù)N(η)[19]：

式中： η為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，同時(shí)為Nussbaum 函數(shù)的自變量； γη為函數(shù) η中大于0 的參數(shù)。

選 擇Lyapunov 函 數(shù)V3=V2+0.5z32，對(duì) 其 求導(dǎo)，得

式中，參數(shù)k3>0。

結(jié)合式(35)～ 式（36），得

根據(jù)引理2，可知V3(t)和 η有界。根據(jù)最終一致 有 界(ultimately uniformly bounded，UUB) 穩(wěn) 定性定義，即控制系統(tǒng)的末態(tài)收斂于以原點(diǎn)為圓心的小鄰域內(nèi)，由式(38)可得出V3和zi(i=1,2,3)是最終一致有界的，即對(duì)于任意 δ>0，t>0，|zi(t)|<δ(i=1,2,3)成立[17]。

因此， |ea|=|ψ?ψda|=|ψ?ψd+β|=|z1|<δ,t>T，即航向誤差也是最終一致有界且穩(wěn)定的。

由zi(i=1,2,3)的 有界性可知，控制律 ? 和 ?ˉ、虛擬控制律 αi0(i=1,2) 及其相應(yīng)的 αi、輔助系統(tǒng)狀態(tài)量ei(i=1,2)和 σ的估計(jì)誤差均有界，結(jié)合其他前面所提到的信號(hào)也有界，即閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)均有界。對(duì)于控制器參數(shù)值，除ki(i=1,2,3)外，其他參數(shù)也會(huì)對(duì)控制精度造成影響。例如kei(i=1,2)和 γσ越大，得到的航向誤差越小，但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致控制輸入增大。過(guò)大的控制輸入(艏搖力矩)會(huì)加速舵機(jī)的磨損。因此，需要選擇合適的控制器參數(shù)以保持航向控制性能和控制輸入之間的協(xié)調(diào)。控制器整體控制流程如圖2 所示。

圖2 控制系統(tǒng)Fig. 2 Control system

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提控制器的有效性，選擇垂蕩、橫搖、縱搖忽略不計(jì)，包含艏搖、橫蕩、縱蕩的船舶運(yùn)動(dòng)的兩自由度水面船舶數(shù)學(xué)模型為仿真對(duì)象。式(7)中的相關(guān)參數(shù)具體見(jiàn)文獻(xiàn)[20]，控制輸入約束 τM=1.5×107N·m。 設(shè)置船舶速度為1 5 m/s，期望航向角分別為1 5?， ?30?， 0?， 20?和 ?5?。

仿真結(jié)果如圖3～圖6 所示。為保證仿真結(jié)果的可靠性，分別在3 級(jí)和5 級(jí)海況下，根據(jù)有、無(wú)預(yù)濾波器這2 種情況，對(duì)3 種不同控制器進(jìn)行比較。在無(wú)預(yù)濾波器（ ψdr=ψd）處理情況下，對(duì)帶漂角修正和輸入約束的控制器、僅考慮漂角修正的反步控制器和既不考慮漂角修正也不帶輸入約束的傳統(tǒng)反步控制器進(jìn)行了仿真分析，圖中分別用約束無(wú)濾波、漂角無(wú)濾波和傳統(tǒng)無(wú)濾波表示。在基于預(yù)濾波器處理的情況下（參考航向角 ψdr隨預(yù)濾波器處理變化），對(duì)帶漂角修正和輸入約束的控制器、僅考慮漂角修正的反步控制器和既不考慮漂角修正也不帶輸入約束的傳統(tǒng)反步控制器進(jìn)行了仿真分析，圖中分別用約束預(yù)濾波、漂角預(yù)濾波和傳統(tǒng)預(yù)濾波表示。圖中，飽和極限指舵能正常使用時(shí)的控制輸入極限值。仿真過(guò)程中涉及到的不同控制方法的相關(guān)參數(shù)如表1 所示。在不同海況下，相同的初始條件和相關(guān)參數(shù)值是保持一致的。

圖3 3 級(jí)和5 級(jí)海況下無(wú)預(yù)濾波器控制器的航向角及航向角誤差Fig. 3 The heading angles and their errors of the controllers without pre-filter in sea states 3 and 5

圖4 3 級(jí)和5 級(jí)海況下無(wú)預(yù)濾器控制器的艏搖力矩Fig. 4 The yaw torque of the controllers without pre-filter in sea states 3 and 5

圖5 3 級(jí)和5 級(jí)海況下帶預(yù)濾波器的控制器的航向角及航向誤差Fig. 5 The heading angles and their errors of the controllers with pre-filter in sea states 3 and 5

圖6 3 級(jí)和5 級(jí)海況下帶預(yù)濾波器的控制器艏搖力矩Fig. 6 The yaw torque of the controllers with pre-filter in sea states 3 and 5

表1 不同控制方法的設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Design parameters of different control methods

漂角大小對(duì)航向角的影響不可忽視，未經(jīng)預(yù)濾波處理的3 種不同控制器在3，5 級(jí)海況下輸出的航向角及其相應(yīng)的航向角誤差的仿真結(jié)果如圖3 所示。在不同海況下，無(wú)論是航向角還是航向角誤差，相同控制器的輸出結(jié)果差別很小。相比相同海況下的不同控制器，航向突然改變會(huì)導(dǎo)致超調(diào)量增加，所以3 種控制器的輸出誤差均很大。由圖3(b)和圖3 (d)可見(jiàn)，忽略漂角影響的控制器輸出的航向誤差不能收斂至0。而與其他控制器相比，帶漂角修正和輸入約束的控制器則能有效提高船舶航向控制性能，減小航向角誤差，并能在較短的時(shí)間內(nèi)明顯抑制系統(tǒng)超調(diào)量的增加，即對(duì)于每次航向改變，帶漂角修正和輸入約束的控制器均能保證在 5 ～8 s 內(nèi)使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，相比其他2 種控制器，其達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間縮短了一半甚至是更多，超調(diào)量平均減少了90%以上，且處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，其與傳統(tǒng)控制器相比航向誤差減小了1?～2?。

圖4(a)和圖4 (c)給出了3 級(jí)和5 級(jí)海況下未經(jīng)預(yù)濾波處理的3 種控制器的艏搖力矩仿真結(jié)果。由圖可見(jiàn)，當(dāng)航向發(fā)生變化時(shí)，未考慮輸入飽和控制器的艏搖力矩很大，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出舵能正常使用的極限值，尤其是僅考慮漂角的控制器無(wú)論是在3 級(jí)還是5 級(jí)海況下時(shí)，艏搖力矩不僅大而且變化劇烈。為解決該問(wèn)題，在設(shè)計(jì)帶漂角修正和輸入約束的控制器時(shí)，增加了輸入約束并進(jìn)行了相應(yīng)的處理，使其無(wú)論航向是否改變，艏搖力矩都保持在很小的范圍內(nèi)，即平均位于?3 ～3 N·m范圍內(nèi)，為飽和極限的 2×10?7倍，且在應(yīng)對(duì)更劇烈的海況時(shí)艏搖力矩變化頻率將更穩(wěn)定，如圖4(b)和圖4(d)所示。

基于預(yù)濾波處理的3 種不同控制器在3 級(jí)和5 級(jí)海況下輸出的航向角及其相應(yīng)的航向角誤差仿真結(jié)果如圖5 所示。與圖3 相同，在不同海況下，相同控制器的輸出航向角、航向角誤差無(wú)明顯差別；在相同海況下，帶漂角修正和輸入約束的控制器仍然是3 種控制器中控制性能最好的。與圖3(b)相比，在航向變化時(shí)能夠更加平滑地過(guò)渡，且超調(diào)量幾乎為0，航向誤差不超過(guò) ±8?，與無(wú)預(yù)濾波作用的漂角約束控制器相比航向誤差平均減小了約40%，這也是與圖3(b)相比差別最大處。

圖6(a)和圖6 (c)給出了3 級(jí)和5 級(jí)海況下經(jīng)過(guò)預(yù)濾波處理的3 種控制器的艏搖力矩仿真結(jié)果。圖6 內(nèi)各控制器的比較結(jié)果與圖4的分析基本相同。但在相同海況下，從其與圖4中相同控制器的比較結(jié)果來(lái)看，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)預(yù)濾波處理的3 種不同控制器在航向改變時(shí)艏搖力矩比未處理時(shí)的小，即預(yù)濾波器也能在一定程度上降低較大舵角的要求。

上述2 種工況下不同控制方法的主要性能參數(shù)如表2 所示。通過(guò)比較表中幾種不同的控制方法，可以看出基于預(yù)濾波處理的漂角約束控制器更具優(yōu)越性，不僅響應(yīng)速度快，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的調(diào)節(jié)時(shí)間更短，無(wú)明顯超調(diào)，而且艏搖力矩一直保持在很小的范圍內(nèi)，即使面對(duì)不同的海況，其控制效果依舊表現(xiàn)良好，具有較強(qiáng)的魯棒自適應(yīng)能力。

表2 不同海況下不同控制方法主要性能參數(shù)的對(duì)比Table 2 Performance comparison of control methods in different sea states

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)水面船舶航向運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)的非零漂角和輸入飽和問(wèn)題，結(jié)合反步控制算法提出了一種魯棒自適應(yīng)航向控制器，可有效減小非零漂角對(duì)航向的影響，采用預(yù)濾波方法使船舶航向改變時(shí)能夠平滑過(guò)渡，雙曲正切函數(shù)和指令濾波器的引入有效解決了控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中反步法的應(yīng)用難題。所提出的控制器可以實(shí)現(xiàn)用較小的控制輸入準(zhǔn)確跟蹤期望航向的目標(biāo)，有效改善了水面船舶的航向控制性能。

然而，需要指出的是，本文在建模時(shí)簡(jiǎn)化了模型，沒(méi)有過(guò)多考慮船舶非線性動(dòng)態(tài)和參數(shù)不確定情況，同時(shí)控制精度也有待提高，航向誤差的超調(diào)量還可進(jìn)一步減小，今后將從這幾個(gè)方面開(kāi)展研究。