基于有限元法對(duì)夾心式換能器徑向振動(dòng)特性的仿真模擬

謝歆鑫

摘 要：文章研究以?shī)A心式換能器為研究目標(biāo)，獲取其機(jī)電等效電路，然后分析共振、反共振頻率，于是得到換能器的徑向振動(dòng)特征和尺寸之間的關(guān)系。并且使用有限元法仿真模擬換能器徑向振動(dòng)特性，計(jì)算共振和反共振頻率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表面，計(jì)算結(jié)果比實(shí)際結(jié)果具有較好的吻合度。

關(guān)鍵詞：有限元法;換能器;徑向振動(dòng)

中圖分類號(hào)：TB565+.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1001-5922（2021）07-0137-04

Simulation of Radial Vibration Characteristics of Sandwich Transducer Based on Finite Element Method

Xie Xinxin

（School of General Education， Xi an Aeronautical Polytechnic Institute，Xi an 710089 ， China ）

Abstract：This paper studies the sandwich transducer as the research goal， obtains its electromechanical equivalent circuit， and then analyzes the resonance and anti-resonance frequencies， so the relationship between the radial vibration characteristics and the size of the transducer is obtained. And the finite element method is used to simulate the radial vibration characteristics of the transducer， and the resonance and anti-resonance frequencies are calculated. The experimental results show that the calculated results have a better agreement than the actual results.

Keywords：finite element method; transducer; radial vibration

縱向振動(dòng)形式的夾心式換能器需要具備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、機(jī)電轉(zhuǎn)化效率高、耦合系數(shù)大，并且還需要具備易于優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)[1-2]。而傳統(tǒng)的夾心式換能器橫向尺寸需要小于輻射聲波波長(zhǎng)的25%，由于橫線尺寸是有限的，所以輻射聲波波長(zhǎng)就會(huì)受到限制;而且，傳統(tǒng)換能器輻射方向不能實(shí)現(xiàn)超聲能量的空間輻射，而是沿著換能器縱軸方向輻射，于是就會(huì)限制超聲波的作用范圍[3-5]。文章為了能夠改善傳統(tǒng)換能器的性能，使得換能器能夠適應(yīng)功率超聲新技術(shù)的要求，于是對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，所設(shè)計(jì)的換能器由徑向極化的內(nèi)外金屬長(zhǎng)圓管和壓電陶瓷長(zhǎng)圓管在徑向復(fù)合而成，使用這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，能夠增加聲波輻射面積，該結(jié)構(gòu)的換能器如圖1所示。結(jié)構(gòu)一共包含內(nèi)金屬管、壓電陶瓷長(zhǎng)圓管和外金屬長(zhǎng)圓管，中間屬于一個(gè)空心狀況，于是3個(gè)管的內(nèi)外徑分別為a和b、b和c、c和d。文章以該夾心式換能器作為研究對(duì)象，研究其徑向振動(dòng)特性，并且使用有限元法進(jìn)行仿真模擬徑向振動(dòng)特征。

1 換能器徑向振動(dòng)的機(jī)電等效電路和頻率方程

當(dāng)換能器中金屬長(zhǎng)圓管的高遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓筒直徑時(shí)，于是就可以將其視為一個(gè)平面應(yīng)變問(wèn)題，那么金屬長(zhǎng)圓管機(jī)電等效電路如圖2所示。其中va和vb代表的是金屬長(zhǎng)管內(nèi)外表面的徑向振動(dòng)速度，F(xiàn)a和Fb表示的是金屬長(zhǎng)管內(nèi)外表面的徑向力。Z代表的是3個(gè)機(jī)械阻抗，其公式分別如下[6]：

公式中：

，，，

，

;

其中，k表示的波數(shù)、Vr表示的是徑向振動(dòng)波速，w表示的角頻率，v表示的是泊松比，E表示的是楊氏模量，其中J1（kr）和Y1（kr）分別表示的是第一類和第二類貝塞爾函數(shù)。

對(duì)于壓電陶瓷長(zhǎng)圓管，其厚壁屬于任意情況下，高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于徑向尺寸，于是能夠得到如圖3所示的三端機(jī)電等效電路，圖中所示的各種機(jī)械阻抗Z的表達(dá)公式如下[6]：

公式中：

Zb=ρ0V3Sb，Zc=P0V3SC，Sb=2πbh，Sc=2πch，V32=b4/p;

k=ω/V3， V 2=b1/b4， τ1=Jv（kb）Yv（kc）-Jv（kc）Yv（kb）;

Sb和Sc分別表示的是壓電陶瓷圓環(huán)內(nèi)外表面積，b1到b4為定義常數(shù)，其大小主要受到彈性常數(shù)、介電常數(shù)和壓電闡述決定。

由于壓電陶瓷長(zhǎng)圓管和金屬長(zhǎng)圓管表面緊密面徑向振動(dòng)速度和徑向力都是連續(xù)的，于是為了得到換能器的機(jī)電等效電路，可以將上述分析的兩種長(zhǎng)圓管的等效電路圖直接相連接，于是得到如圖4所示的換能器機(jī)電等效電路。

圖中也涉及到3個(gè)機(jī)械阻抗，由于上文中已經(jīng)表述過(guò)金屬長(zhǎng)圓管的機(jī)械阻抗公式，公式中涉及到的是金屬長(zhǎng)圓管內(nèi)外徑a和b，換能器的內(nèi)外徑為c和d，于是將上述公式中內(nèi)外徑改為c和d即可作為換能器的機(jī)械阻抗。ZiL和ZoL表示的是換能器內(nèi)外表面的徑向負(fù)載阻抗，如果在計(jì)算機(jī)械阻抗Zm時(shí)忽略負(fù)載抗組，則Zm的公式如下：

其中Ze表示的是輸入電阻抗，當(dāng)時(shí)，于是換能器的共振頻率方程如下：

當(dāng)時(shí)，于是換能器的共振頻率方程如下：

在換能器中還有一個(gè)非常重要的參數(shù)，即有效機(jī)電耦合系數(shù)，該定義如下：

其中，fa和fr表示的是反共振頻率和共振頻率。

2 換能器幾何尺寸對(duì)其振動(dòng)性能的影響

通過(guò)上述分析之后可以根據(jù)相關(guān)公式能夠得到如圖5所示的長(zhǎng)管換能器基頻共振和反共振頻率與之間的關(guān)系。a=20mm，c=30mm，d=40mm，h=320mm，表示的是幾何尺寸，。從圖中可以看出，當(dāng)不斷增加時(shí)，兩種頻率的變化趨勢(shì)為不斷增加的狀態(tài)。因?yàn)楫?dāng)不斷增加時(shí)，就會(huì)使得金屬長(zhǎng)圓管的比例增加，由于其彈性強(qiáng)度比壓電陶瓷圓管大，所以其兩種頻率都不斷上升。

換能器徑向振動(dòng)過(guò)程中，圖6即為和的關(guān)系曲線，從圖中可以看出，和成反比關(guān)系，即當(dāng)不斷增加時(shí)，隨之不斷降低。主要原因在于當(dāng)增加時(shí)，就會(huì)使得壓電陶瓷長(zhǎng)圓管的比例降低，于是其就會(huì)不斷降低。

當(dāng)內(nèi)金屬長(zhǎng)圓管的管壁厚度不變時(shí)，圖7為換能器頻率和幾何尺寸的關(guān)系。其中a=20mm，c=25mm，d=40mm，h=320mm，。從圖中可以看出，當(dāng)不斷增加時(shí)，換能器的兩種頻率隨之不斷降低。是因?yàn)樵黾訒?huì)使得壓電長(zhǎng)圓管的徑向厚度不斷增加，于是其彈性強(qiáng)度就會(huì)降低，就會(huì)降低頻率。

換能器和的關(guān)系曲線如圖8所示。從圖中可以看出和成正比關(guān)系，即當(dāng)不斷增加時(shí)，keffc也不斷增加。

3 基于有限元法的數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)行徑向振動(dòng)特性的仿真模擬，文章設(shè)計(jì)了兩個(gè)夾心式換能器，通過(guò)使用有限元軟件得到共振和反共振頻率，還使用精密阻抗分析儀器得到諧振頻率[7-8]。表1即為夾心式換能器的幾何尺寸。圖9表示的是其中一個(gè)換能器的振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)，從圖中可以看出，壓電陶瓷長(zhǎng)圓換能器的振動(dòng)方式為純徑向振動(dòng)，正好和理論分析的結(jié)果保持一樣。

基于有限元法獲得的換能器頻率值、數(shù)據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)仿真值表2和表3所示。表2表示的共振頻率，表3表示的是反共振頻率。表中fr和fa為兩種不同頻率，并且該頻率是通過(guò)理論進(jìn)行計(jì)算的，而fr-n和fa-n為通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的兩種頻率，表中Δ1到Δ4的計(jì)算如下：

從表中可以看出，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、理論計(jì)算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行比較可知具有較好的吻合度。

通過(guò)上面的公式，能夠計(jì)算出有效機(jī)電耦合系數(shù)，如表4所示。表中涉及到3個(gè)不同的有效機(jī)電耦合系數(shù)，分別為、、，分別代表理論計(jì)算值、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試值。表中Δ5到Δ7的計(jì)算如下：

從表中可以看出，數(shù)值分析的結(jié)果和理論計(jì)算的結(jié)果具有較好的吻合度，但是這兩種計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果卻有比較大的誤差。這種誤差可以與下面幾個(gè)原因有關(guān)：首先是進(jìn)行理論分析和數(shù)據(jù)分析時(shí)，換能器是基于平面應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算，然而實(shí)際情況是不可能為平面應(yīng)變;然后數(shù)值分析時(shí)考慮損耗阻尼，而理論分析時(shí)沒(méi)有考慮機(jī)電損耗;再就是數(shù)據(jù)和理論分析計(jì)算時(shí)使用的是標(biāo)稱值，與實(shí)際參數(shù)值之間會(huì)存在差別;最后就是數(shù)值仿真模擬過(guò)程中，阻尼系數(shù)與實(shí)際之間存在差異。

4 結(jié)語(yǔ)

文章通過(guò)提出一種徑向夾心式還換能器，使用有限元法對(duì)其徑向整棟特征進(jìn)行分析，結(jié)果表明，換能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)、共振和反共振頻率與幾何尺寸之間存在必然聯(lián)系;通過(guò)3種不同計(jì)算方式得到的共振和反共振頻率具有較好的吻合度，另外，使用理論計(jì)算和數(shù)值計(jì)算得到的有效機(jī)電耦合系數(shù)具有較好的吻合度。于是這3種計(jì)算方式獲得的結(jié)果符合較好。

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