基于CORDIC算法的單頻激光干涉信號(hào)處理系統(tǒng)半波長(zhǎng)誤差分析與消除

樊宏偉，刁曉飛，張福民，薛 梓，董欣媛，鐵咪咪

(1.天津大學(xué) 精密儀器與光電子工程學(xué)院，天津 300072；2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029；3.北京信息科技大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100192)

1 引 言

激光干涉儀在精密測(cè)量、加工、定位等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1～4]。通過(guò)細(xì)分激光干涉儀輸出信號(hào)，可達(dá)到納米甚至皮米級(jí)的分辨率[5,6]。CORDIC算法具有運(yùn)算簡(jiǎn)單、使用較少硬件資源的同時(shí)能夠保持著較高的分辨率和較快的處理速度等優(yōu)點(diǎn)[7,8]，在激光干涉信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。

在干涉信號(hào)處理系統(tǒng)中，關(guān)于CORDIC算法的研究主要是針對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)該算法時(shí)資源消耗的優(yōu)化、處理速度的提高、迭代次數(shù)對(duì)分辨率的影響等[5,9,10]；但對(duì)于該算法的自身誤差對(duì)激光干涉儀位移測(cè)量的影響的研究較少。王曉娜等[11]對(duì)光柵數(shù)字細(xì)分的CORDIC算法總量化誤差進(jìn)行了分析，對(duì)激光干涉信號(hào)處理系統(tǒng)中由CORDIC算法引入的總量化誤差分析有一定參考意義。本文在對(duì)干涉信號(hào)研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，基于CORDIC算法的單頻激光干涉測(cè)量中存在半波長(zhǎng)誤差，該誤差出現(xiàn)具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，且出現(xiàn)概率較低，即使出現(xiàn)也只在干涉信號(hào)的1個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)1次，極易被忽略，經(jīng)常被誤認(rèn)為環(huán)境噪聲誤差，很少引起研究人員的關(guān)注。在多波長(zhǎng)絕對(duì)測(cè)距領(lǐng)域針對(duì)該半波長(zhǎng)誤差有一定的研究基礎(chǔ)[12,13]，可對(duì)單頻激光干涉測(cè)量中的半波長(zhǎng)誤差研究提供借鑒。

本文針對(duì)該半波長(zhǎng)誤差進(jìn)行了深入研究，首先設(shè)計(jì)了以FPGA為處理器，CORDIC算法為細(xì)分方法的干涉信號(hào)處理系統(tǒng)。通過(guò)分析該誤差的特點(diǎn)，確定了該誤差的來(lái)源，最終提出了一種基于修正表的CORDIC算法相位補(bǔ)償技術(shù)消除該誤差。

2 單頻激光干涉信號(hào)處理原理

2.1 單頻激光干涉測(cè)量原理

單頻激光干涉儀輸出的干涉信號(hào)為2路正、余弦信號(hào)，可表示為[14]：

(1)

由式(1)可得

(2)

在激光干涉測(cè)量系統(tǒng)中，干涉信號(hào)的相位變化Δθ0為：

(3)

則：

(4)

式中：k為光學(xué)細(xì)分因子(本文取k=2)；L為被測(cè)目標(biāo)的位移；λ為光在空氣中的波長(zhǎng)；N和n分別為干涉信號(hào)相位的整數(shù)部分和小數(shù)部分。

由于激光干涉系統(tǒng)為相對(duì)位移測(cè)量系統(tǒng)，被測(cè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向包括靠近和遠(yuǎn)離參考鏡2個(gè)方向，因此在信號(hào)處理時(shí)需要根據(jù)輸入干涉信號(hào)對(duì)被測(cè)位移辨向。

2.2 干涉信號(hào)處理原理

將輸入干涉信號(hào)轉(zhuǎn)換為2路相位差為90°的方波信號(hào)，通過(guò)判別2路方波的變化確定整數(shù)部分N和方向，如圖1所示。當(dāng)2路方波的幅值由[0,1]變?yōu)閇1,1]，干涉信號(hào)變化一個(gè)周期，并規(guī)定此方向?yàn)檎?，N加1；當(dāng)2路方波的幅值由[1,1]變?yōu)閇0,1]時(shí)，方向?yàn)榉聪?，N減1。

圖1 信號(hào)辨向細(xì)分原理圖Fig.1 Signal direction discrimination and subdivision

通過(guò)計(jì)算干涉信號(hào)的相位θ0確定小數(shù)部分n的值，n=θ0/(2 π),θ0∈[0,2 π]。

圖2為干涉信號(hào)經(jīng)AD變換器采樣后輸入到信號(hào)處理系統(tǒng)中。干涉信號(hào)同時(shí)進(jìn)入整數(shù)相位計(jì)算模塊和小數(shù)相位計(jì)算模塊分別計(jì)算N和n。由于2個(gè)模塊的延時(shí)不同，同步模塊使輸出的N和n對(duì)應(yīng)于同一時(shí)刻的干涉信號(hào)，N和n相加為總相位，計(jì)算干涉信號(hào)對(duì)應(yīng)被測(cè)位移值。

圖2 干涉儀信號(hào)處理系統(tǒng)原理圖Fig.2 Schematic of interferometer signal processing system

2.3 CORDIC算法原理與總量化誤差

小數(shù)相位計(jì)算模塊使用CORDIC算法計(jì)算輸入干涉信號(hào)的相位值θ0。

在不同坐標(biāo)系和操作模式下，CORDIC算法能夠?qū)崿F(xiàn)不同的基本初等函數(shù)計(jì)算[15]。其迭代方程為：

(5)

式中：i=0,1,2,…,m-1，m為迭代次數(shù)；θi=arctan(2-i)：di為旋轉(zhuǎn)控制因子，其取值為±1。計(jì)算輸入向量的反正切值時(shí)，使用該算法的圓周系統(tǒng)和向量模式，此時(shí)，di=-sign(xiyi)。

如圖3所示，設(shè)初始向量為A0(x0,y0)，經(jīng)過(guò)m次旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果為A(xm,ym)，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)的角度為θ，則有：

圖3 CORDIC算法實(shí)現(xiàn)反正切函數(shù)示意圖Fig.3 Arctangent function sketch based on CORDIC algorithm

(6)

令z0=0，則zm=arctan(y0/x0)，即為輸入向量的相位，Km稱(chēng)為伸縮因子，取值：

(7)

CORDIC算法計(jì)算向量A0(x0,y0)的角度時(shí)，使初始向量經(jīng)過(guò)多次旋轉(zhuǎn)逼近x軸，旋轉(zhuǎn)的角度為θ。由于在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，使用有限個(gè)θi，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)后向量的角度值θ與真實(shí)角度值θ0之間存在殘余角度dθ[16]，即：

(8)

dθ也稱(chēng)為角度近似誤差，其取值可表示為：

|dθ|≤arctan(2-m+1)

(9)

由角度近似誤差導(dǎo)致的計(jì)算誤差稱(chēng)為近似誤差εa。兩者的關(guān)系為：

εa≤dθ×|A0|≤2-m+1|A0|

(10)

式中|A0|為輸入向量的模長(zhǎng)。

由于FPGA中實(shí)現(xiàn)CORDIC算法是基于定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，因此計(jì)算精度與操作數(shù)的位數(shù)b也有關(guān)系。由b導(dǎo)致的誤差稱(chēng)為舍入誤差εr，其取值為：

(11)

CORDIC算法的總量化誤差OQE為近似誤差和舍入誤差的和：

(12)

由式(12)可知，CORDIC算法的總量化誤差與迭代次數(shù)m、操作數(shù)位數(shù)b和輸入向量的最大模值|A0|max有關(guān)。文獻(xiàn)[11]計(jì)算了FPGA中實(shí)現(xiàn)CORDIC算法|A0|max=1.5時(shí)不同m和b對(duì)應(yīng)的OQE值。為了減小CORDIC算法引入的OQE對(duì)干涉信號(hào)處理系統(tǒng)精度的影響，同時(shí)考慮延時(shí)和資源消耗，系統(tǒng)使用11次迭代和19位的操作數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)相位細(xì)分。此時(shí)OQE為0.000 91 rad。對(duì)應(yīng)位移量化誤差為EL=OQE/(2 π)×λ/2=0.046nm。此誤差值對(duì)干涉系統(tǒng)精度影響較小，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

3 粗大誤差分析與消除

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析與粗大誤差

用Tektronix AFG1062信號(hào)源產(chǎn)生2路標(biāo)準(zhǔn)的正、余弦信號(hào)作為干涉信號(hào)，信號(hào)頻率為100 kHz，幅值為±1 V。信號(hào)處理系統(tǒng)ADC采樣率為120 MHz，16 bit，輸入電壓范圍為±1 V。FPGA使用Xilinx Kintex-325T。信號(hào)處理系統(tǒng)連續(xù)記錄8 000個(gè)采樣周期數(shù)據(jù)存入計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析，測(cè)試該信號(hào)處理系統(tǒng)性能。

圖4為信號(hào)處理系統(tǒng)的輸出位移曲線(xiàn)。由于干涉信號(hào)為理想的正、余弦信號(hào)，其對(duì)應(yīng)位移值應(yīng)是一條直線(xiàn);而在圖中可以發(fā)現(xiàn)，部分區(qū)域出現(xiàn)了向下的位移跳變。將信號(hào)處理系統(tǒng)測(cè)量的位移值與理論值做差，得到系統(tǒng)的測(cè)量誤差，見(jiàn)圖5。由圖5可知：各位移跳變點(diǎn)的誤差幅值相等，大小為316.4 nm；其余各點(diǎn)的誤差值接近于0。剔除FPGA位移序列中跳變點(diǎn)后，測(cè)量誤差值小于±0.05 nm，這與設(shè)計(jì)要求相符。

圖4 正向運(yùn)動(dòng)位移曲線(xiàn)Fig.4 Displacement curve of forward motion

圖5 正向運(yùn)動(dòng)誤差曲線(xiàn)Fig.5 Error curve of forward motion

將兩輸入信號(hào)調(diào)換，對(duì)反向運(yùn)動(dòng)的干涉信號(hào)處理。記錄1組反向運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移數(shù)據(jù)，如圖6所示，位移跳變依舊存在。將正向和反向運(yùn)動(dòng)時(shí)位移序列中產(chǎn)生跳變的點(diǎn)與其前后的點(diǎn)列于表1和表2中。

表1 正向運(yùn)動(dòng)各位移跳變點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.1 Data of displacement jump points in forward motion

表2 反向運(yùn)動(dòng)各位移跳變點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.2 Data of displacement jump points in reverse motion

圖6 反向運(yùn)動(dòng)位移曲線(xiàn)Fig.6 Displacement curve of reverse motion

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還增加了CORDIC算法的迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中仍出現(xiàn)了位移跳變，但出現(xiàn)概率有所下降。

由實(shí)驗(yàn)分析可知，該粗大誤差特點(diǎn)有：(1) 出現(xiàn)誤差的點(diǎn)一定在干涉信號(hào)相位零點(diǎn)附近，此時(shí)整數(shù)N變化正確；(2) 在誤差點(diǎn)上n的計(jì)算結(jié)果與理論值存在較大偏差，原因是CORDIC算法將位于第四象限的干涉信號(hào)對(duì)應(yīng)的小數(shù)相位n計(jì)算為0(應(yīng)接近于1)；(3) 該誤差大小約為316.4 nm，即干涉光源波長(zhǎng)的1/2；(4) 該誤差并不在每個(gè)N變化的時(shí)刻出現(xiàn)，存在一定的隨機(jī)性，隨著迭代次數(shù)的增加出現(xiàn)的概率會(huì)降低。

3.2 零相位附近CORDIC算法輸出相位分析

向量A(0,1)與x軸重合，相位值θ0=0。但使用CORDIC算法計(jì)算該向量的相位時(shí)，由于角度近似誤差的存在，其輸出可能不等于0;同理，向量為(1,yl)，yl→0時(shí),理論相位值θ0=±θl，CORDIC算法計(jì)算該向量的相位值時(shí)有可能符號(hào)相反。

表3為迭代次數(shù)等于11～18時(shí)，CORDIC算法計(jì)算的向量(1,0)、(1,1/215)、(1,-1/215)相位值?？梢钥闯?，隨著迭代次數(shù)不同，輸出相位θ在0相位附近會(huì)發(fā)生變化,甚至出現(xiàn)符號(hào)相反的情況(表3中第四象限的相位值用負(fù)相位表示)。

表3 輸入向量在x軸正半軸附近時(shí)CORDIC算法輸出相位Tab.3 Output phase of CORDIC algorithm when input vector is near the positive half axis of x-axis ×10-8 rad

3.3 角度近似誤差對(duì)干涉信號(hào)處理系統(tǒng)的影響

干涉信號(hào)的李薩茹圖如圖7所示，設(shè)當(dāng)前周期N=N0。正向時(shí)，輸入向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，n從0增加至1，在x軸正半軸處N=N0+1，如圖7(a)所示；反向時(shí)，輸入向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，n從1減小至0，在x軸正半軸處N=N0，下一時(shí)刻N(yùn)=N0-1，如圖7(b)所示。信號(hào)處理系統(tǒng)按照此規(guī)則對(duì)干涉信號(hào)處理得到總相位。

圖7 干涉信號(hào)李薩茹圖Fig.7 Lissajou curves of interference signal

由于角度近似誤差的影響，在信號(hào)周期變化的臨界處(即在干涉信號(hào)與x軸正半軸重合時(shí))，CORDIC算法計(jì)算的相位θ可能會(huì)產(chǎn)生歧義，導(dǎo)致位移產(chǎn)生半波長(zhǎng)大小的粗大誤差。以正向運(yùn)動(dòng)為例說(shuō)明產(chǎn)生的4類(lèi)粗大誤差及其來(lái)源。

① 當(dāng)干涉信號(hào)位于第四象限，其y分量很小，信號(hào)與x軸即將重合，理論的n接近于1。但CORDIC算法計(jì)算的相位值θ等于0，即n等于0，此時(shí)產(chǎn)生負(fù)的半波長(zhǎng)誤差，表1和表2位移跳變屬于此類(lèi)。

② 干涉信號(hào)位于第四象限，且靠近x軸，理論的n→1。但CORDIC算法計(jì)算的相位值θ可能大于0，即n大于0，此時(shí)產(chǎn)生負(fù)的半波長(zhǎng)誤差。

③ 當(dāng)干涉信號(hào)與x軸正半軸重合時(shí)，理論的n等于0。但CORIC算法計(jì)算的相位值θ可能小于0，即n→1，產(chǎn)生正的半波長(zhǎng)誤差。

④ 干涉信號(hào)與x軸正半軸重合后繼續(xù)正向運(yùn)動(dòng)，信號(hào)位于第一象限。當(dāng)干涉信號(hào)的y分量很小時(shí)，理論的相位值n→0，但CORDIC算法計(jì)算的相位值可能小于0，即n→1，也會(huì)產(chǎn)生正的半波長(zhǎng)誤差。

負(fù)向運(yùn)動(dòng)的半波長(zhǎng)誤差與正向運(yùn)動(dòng)的半波長(zhǎng)誤差情況類(lèi)似。表4和表5列出了正向、反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，干涉信號(hào)在x軸正半軸及其前后一個(gè)時(shí)刻的理論值和CORDIC算法的計(jì)算值之間的差異，以及由此導(dǎo)致的位移差類(lèi)型。

表4 正向運(yùn)動(dòng)半波長(zhǎng)的誤差來(lái)源Tab.4 Sources of half-wavelength error in forward motion

表5 反向運(yùn)動(dòng)半波長(zhǎng)誤差來(lái)源Tab.5 Sources of half-wavelength error in reverse motion

3.4 干涉儀信號(hào)處理系統(tǒng)粗大誤差消除

由于在數(shù)字系統(tǒng)中，計(jì)算相位的算法通過(guò)有限位的操作數(shù)和有限的迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)，輸出相位總是存在計(jì)算誤差，例如CORDIC算法。算法的操作數(shù)位數(shù)和迭代次數(shù)滿(mǎn)足要求時(shí)，對(duì)于一般的應(yīng)用，該計(jì)算誤差的影響可以容忍，但在干涉系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，涉及到整數(shù)N和小數(shù)n的結(jié)合。如表3所示，在干涉信號(hào)相位0點(diǎn)附近，CORDIC算法的計(jì)算誤差使得輸出相位θ跨過(guò)了[2 π-，0+]，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)具有不確定性。在小數(shù)相位n與整數(shù)N結(jié)合時(shí)，可能會(huì)發(fā)生表4和表5列出的4種情況，使得總相位可能比實(shí)際值大1或者小1，從而導(dǎo)致干涉信號(hào)處理系統(tǒng)輸出的位移可能產(chǎn)生正負(fù)半波長(zhǎng)誤差。為此，需要在信號(hào)處理系統(tǒng)中加入修正表，對(duì)CORDIC算法計(jì)算特殊向量的相位進(jìn)行修正，以避免計(jì)算位移時(shí)產(chǎn)生粗大誤差，誤差修正表見(jiàn)表6。

表6 消除半波長(zhǎng)誤差修正表Tab.6 Correction table for eliminating half-wave lenghth error

干涉信號(hào)位于第一象限時(shí)，若CORDIC算法輸出的相位值在第四象限，則令n=0；干涉信號(hào)位于第四象限時(shí)，若CORDIC算法輸出的相位值在第一象限或x軸正半軸上，則令n=1；干涉信號(hào)位于x軸正半軸時(shí)，令n=0。修正規(guī)則中將第一象限部分干涉信號(hào)對(duì)應(yīng)的相位小數(shù)n近似等于0，第四象限部分干涉信號(hào)對(duì)應(yīng)的n近似等于1，這會(huì)引入誤差，但該誤差值的大小可用式(10)計(jì)算，由式(12)知該誤差小于量化誤差OQE，對(duì)信號(hào)處理系統(tǒng)的輸出位移影響較小。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以3.1節(jié)的實(shí)驗(yàn)條件對(duì)修正后的信號(hào)處理系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)記錄未修正和修正后的數(shù)據(jù)。圖8是迭代次數(shù)n為11時(shí)，對(duì)CORDIC算法輸出未修正和修正后的位移曲線(xiàn)，由圖可知該粗大誤差已被有效消除且沒(méi)有導(dǎo)致信號(hào)處理系統(tǒng)的總誤差增加。

圖8 迭代次數(shù)為11時(shí)未修正和修正后的位移曲線(xiàn)Fig.8 Uncorrected and corrected displacement curves with 11 iterations

表7列出了粗大誤差點(diǎn)和其前后各點(diǎn)的相關(guān)值，該位移序列中所有粗大誤差均是由于CORDIC算法將第四象限干涉信號(hào)的相位值計(jì)算為0造成的，即為表4中的第①類(lèi)誤差，經(jīng)信號(hào)處理系統(tǒng)修正后該時(shí)刻干涉信號(hào)對(duì)應(yīng)的n被修正為1，信號(hào)處理系統(tǒng)輸出的位移值也與理論值接近。

表7 圖8中各誤差點(diǎn)未修正數(shù)據(jù)和修正后數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.7 Comparisons of uncorrected and corrected data for each error point in Fig.8

5 結(jié) 論

本文研制了基于CORDIC算法的單頻激光干涉信號(hào)處理系統(tǒng)，確定了CORDIC算法的迭代次數(shù)和位數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)信號(hào)處理系統(tǒng)計(jì)算位移時(shí)存在半波長(zhǎng)粗大誤差，該誤差隨機(jī)出現(xiàn)且符號(hào)不定。在本文的干涉信號(hào)處理系統(tǒng)中表現(xiàn)為CORDIC算法的角度近似誤差使得0相位附近的干涉信號(hào)輸出相位可能發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤，在干涉信號(hào)小數(shù)n與整數(shù)N相加時(shí)出現(xiàn)±1誤差，最終導(dǎo)致位移測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)半波長(zhǎng)誤差。為此提出了一種基于修正表的CORDIC算法相位補(bǔ)償技術(shù)，對(duì)CORDIC算法輸出的相位進(jìn)行修正，使其與輸入干涉信號(hào)的理論相位值符號(hào)一致。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該補(bǔ)償技術(shù)能夠有效消除粗大誤差，且不增大干涉系統(tǒng)的總量化誤差。該補(bǔ)償技術(shù)對(duì)基于CORDIC算法的單頻激光干涉信號(hào)處理系統(tǒng)具有一定的應(yīng)用價(jià)值。