基于繩索欠驅(qū)動(dòng)的連續(xù)型機(jī)械臂設(shè)計(jì)及仿真

郭亞星，鄭繼貴，侍 威，賈龍飛，陶云飛

（北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京，100076）

0 引 言

在人類對太空的不斷探索過程中，“太空垃圾”存在著潛在的威脅，“空間機(jī)器人技術(shù)”和“新型碎片主動(dòng)離軌、清除與利用飛行器技術(shù)”等研究領(lǐng)域應(yīng)運(yùn)而生。連續(xù)型機(jī)械臂可實(shí)現(xiàn)近似連續(xù)變形，具有較多自由度；同時(shí)采用驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與機(jī)械臂分離的方式，可減輕機(jī)械臂的質(zhì)量，縮小機(jī)械臂的體積。因此，相關(guān)學(xué)者針對連續(xù)型機(jī)械臂的空間應(yīng)用開展了一系列研究，包括連續(xù)型機(jī)械臂的基本構(gòu)型，多關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)方式，目前，都處于地面研究階段。美國Walker根據(jù)象鼻的原理，提出一種連續(xù)型機(jī)器人，機(jī)械臂長度為83.82 cm，具有8個(gè)自由度[1,2]，但機(jī)械臂長度較小。英國OC Robotics公司在2002年已經(jīng)開展對繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)器人的研究[3]，該類機(jī)器人應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域，主要應(yīng)用于狹小空間作業(yè)，機(jī)械臂長度為1～3.1 m，最大負(fù)載可達(dá) 10 kg，但驅(qū)動(dòng)數(shù)目較多，控制復(fù)雜。2018年，新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司自主研發(fā)的具有（24+1）個(gè)自由度的連續(xù)型機(jī)器人，總長2269 mm，最大負(fù)載為5 kg，主要應(yīng)用于狹小空間和惡劣環(huán)境，使用不同工具能夠完成多種復(fù)雜作業(yè)，但也存在驅(qū)動(dòng)裝置體積較大、控制復(fù)雜的問題。以上研究中，單個(gè)關(guān)節(jié)至少由 3個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，若自由度過多，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)體積較大，增加了控制難度。2018年，哈爾濱工業(yè)大學(xué)徐文福團(tuán)隊(duì)提出了一種多關(guān)節(jié)段繩索驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械臂[4]，總長為 1265 mm，簡化了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，減少了控制量，提高了整臂剛度和負(fù)載能力，但其機(jī)械臂長度較小。2019年，中國科學(xué)院韋貴煒提出了一種新型線驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)械臂[5]，機(jī)械臂整體有3個(gè)關(guān)節(jié)段，每個(gè)關(guān)節(jié)段包括16個(gè)小關(guān)節(jié)，最大負(fù)載能力為1.5 kg，可增加機(jī)械臂臂長，但負(fù)載能力較小。綜上所述，現(xiàn)有連續(xù)型機(jī)械臂較難滿足狹小、非結(jié)構(gòu)化空間環(huán)境下長臂桿、末端大負(fù)載等要求。本文提出一種應(yīng)用于連續(xù)型機(jī)械臂的新型關(guān)節(jié)組，采用欠驅(qū)動(dòng)方式，簡化了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，減少控制量，同時(shí)可實(shí)現(xiàn)連續(xù)型機(jī)械臂的較大臂長，在臂長一致情況下，相對單個(gè)臂桿具有更優(yōu)的避障能力。

1 新型關(guān)節(jié)方案

1.1 結(jié)構(gòu)及原理

按照運(yùn)動(dòng)不干涉原則，進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，得到SolidWorks三維模型，關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu) Fig.1 Structure of the Joint

關(guān)節(jié)組由 3個(gè)關(guān)節(jié)和 3個(gè)臂桿組成，通過圓周120°均勻分布的三根驅(qū)動(dòng)繩索進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，如圖2所示。

圖2 關(guān)節(jié)組結(jié)構(gòu) Fig.2 Structure of the Joint Group

關(guān)節(jié)組內(nèi)的關(guān)節(jié)相互之間為耦合聯(lián)動(dòng)，聯(lián)動(dòng)原理如圖3所示[6]，借鑒帶輪傳動(dòng)的原理，繩索交叉布置，固定在兩連接點(diǎn)上，實(shí)現(xiàn)角度的傳遞。

圖3 關(guān)節(jié)聯(lián)動(dòng)原理 Fig.3 Schematic Diagram of Linkage of the Joint

關(guān)節(jié)聯(lián)動(dòng)形式如圖4所示，傳動(dòng)輪1至傳動(dòng)輪4實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)組內(nèi)關(guān)節(jié)之間俯仰自由度聯(lián)動(dòng)，傳動(dòng)輪 5至傳動(dòng)輪8實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)組內(nèi)關(guān)節(jié)之間偏轉(zhuǎn)自由度聯(lián)動(dòng)，兩個(gè)自由度聯(lián)動(dòng)都通過聯(lián)動(dòng)繩索1、聯(lián)動(dòng)繩索2實(shí)現(xiàn)。

圖4 關(guān)節(jié)聯(lián)動(dòng)形式 Fig.4 Form of the Linkage of the Joint

1.2 關(guān)節(jié)組性能分析

常見的連續(xù)型機(jī)械臂方案中，單個(gè)關(guān)節(jié)由單組驅(qū)動(dòng)控制，具有單個(gè)關(guān)節(jié)最大偏角。本文所提出的關(guān)節(jié)組構(gòu)型，可利用一組驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn) 3個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，關(guān)節(jié)組整體呈現(xiàn)為聯(lián)動(dòng)狀態(tài)，可實(shí)現(xiàn)3個(gè)關(guān)節(jié)線性疊加的最大偏角。

a）等角度彎曲聯(lián)動(dòng)。

關(guān)節(jié)組內(nèi)，當(dāng)同一聯(lián)動(dòng)繩索連接的兩傳動(dòng)輪直徑相同，即傳動(dòng)輪傳動(dòng)比為1:1時(shí)，聯(lián)動(dòng)角度1α與2α相等，如圖5所示?？蓪?shí)現(xiàn)兩關(guān)節(jié)之間等角度運(yùn)動(dòng)的傳遞，最終呈現(xiàn)出等角度彎曲聯(lián)動(dòng)形式，如圖6所示。

圖5 傳動(dòng)比為1:1 Fig.5 Transmission Ratio of 1:1

圖6 等彎曲聯(lián)動(dòng)形式 Fig.6 Form of the Linkage of the Equal Bending

b）變角度彎曲聯(lián)動(dòng)。

當(dāng)關(guān)節(jié)組內(nèi)同一聯(lián)動(dòng)繩索所連接的傳動(dòng)輪直徑不相等，即傳動(dòng)比不為1:1時(shí)，可實(shí)現(xiàn)兩關(guān)節(jié)之間不同角度運(yùn)動(dòng)的傳遞，如圖7所示，3個(gè)關(guān)節(jié)可表現(xiàn)為不同的運(yùn)動(dòng)角度，實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)非等角度聯(lián)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)。

圖7 傳動(dòng)比不為1:1 Fig.7 Transmission Ratio is not 1:1

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

連續(xù)型機(jī)械臂關(guān)節(jié)組坐標(biāo)系如圖8所示。單個(gè)關(guān)節(jié)組內(nèi)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角互相耦合，角度值與方向相等，單個(gè)關(guān)節(jié)組內(nèi)每個(gè)關(guān)節(jié)處的角度變量相等，單個(gè)關(guān)節(jié)具有2個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，分別為繞X軸旋轉(zhuǎn)ψ角，繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ角。

圖8 關(guān)節(jié)組坐標(biāo)系 Fig.8 Coordinate of the Group of Joints

相鄰坐標(biāo)系間的相對位置和姿態(tài)可通過基本的平移變換Trans和旋轉(zhuǎn)變換Rot得到，在公式中分別采用T和R表示。

坐標(biāo)系{0}到坐標(biāo)系{1}的變換矩陣如式（1）所示，先沿Z0軸平移l和d，繞X1軸旋轉(zhuǎn)ψ角，再繞Y1軸旋轉(zhuǎn)θ角：

坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}之間的變換矩陣轉(zhuǎn)換過程為，先沿Zi軸平移l和 2d，繞Xi軸旋轉(zhuǎn)ψi角，再繞Yi軸旋轉(zhuǎn)θi角：

式中sψ=sinψ，cψ=cosψ，sθ=sinθ，cθ=cosθ。

單個(gè)關(guān)節(jié)組齊次變換矩陣為

圖9 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)描述 Fig.9 Description of Motion of the Joint

單個(gè)關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)互相正交的兩個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，至少需要3根驅(qū)動(dòng)繩索耦合驅(qū)動(dòng)。本文設(shè)計(jì)采用聯(lián)動(dòng)關(guān)節(jié)組模塊，單個(gè)聯(lián)動(dòng)關(guān)節(jié)組內(nèi)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)互相耦合，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致，即關(guān)節(jié)角度變化與關(guān)節(jié)處驅(qū)動(dòng)繩索長度都相等，因此關(guān)節(jié)之間的運(yùn)動(dòng)耦合可轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)組之間的運(yùn)動(dòng)耦合，只需將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行線性疊加。

本文采用聯(lián)動(dòng)關(guān)節(jié)組形式，關(guān)節(jié)組內(nèi)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度相同，在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，關(guān)節(jié)組內(nèi)3個(gè)關(guān)節(jié)的同一個(gè)方向的角度變量可取同一個(gè)值，與傳統(tǒng)連續(xù)型機(jī)械臂相比，減少了實(shí)際控制過程中的控制變量，簡化了控制程序的復(fù)雜度。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

連續(xù)型機(jī)械臂工作空間反映末端能到達(dá)的位置，根據(jù)關(guān)節(jié)空間到操作空間的正運(yùn)動(dòng)學(xué)映射，選取關(guān)節(jié)角度θ、ψ范圍都為[-30°，30°]，臂桿長度L為180 mm，關(guān)節(jié)一半長度d為35 mm，利用蒙特卡洛法對關(guān)節(jié)角度隨機(jī)取值，最終得到連續(xù)型機(jī)械臂對應(yīng)單個(gè)關(guān)節(jié)組和4個(gè)關(guān)節(jié)組時(shí)，末端執(zhí)行器的工作空間，如圖10所示，中間深色部分為單個(gè)關(guān)節(jié)組，外圍為4個(gè)關(guān)節(jié)組。通過末端工作空間范圍，可確定連續(xù)型機(jī)械臂極限運(yùn)動(dòng)范圍。

圖10 連續(xù)型機(jī)械臂工作空間 Fig.10 Workspace of the Continuous Manipulator

取關(guān)節(jié)俯仰角θ線性變化，變化范圍為[-30°，30°]，取關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角為0，借助Matlab繪制準(zhǔn)連續(xù)型機(jī)械臂在不同關(guān)節(jié)角度下的軌跡狀態(tài)，如圖11所示。從圖11中可以看出，在不同角度狀態(tài)下，連續(xù)型機(jī)械臂呈現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同時(shí)針對單個(gè)關(guān)節(jié)和關(guān)節(jié)組進(jìn)行了工作空間對比分析，如圖12所示。通過對比分析，可以看出采用欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)組形式，與傳統(tǒng)連續(xù)型機(jī)械臂相比，在實(shí)現(xiàn)相同的自由度時(shí)，單個(gè)關(guān)節(jié)組等效于 3個(gè)關(guān)節(jié)的疊加，連續(xù)型機(jī)械臂的可達(dá)范圍更廣，增加了連續(xù)型機(jī)械臂的工作空間，增強(qiáng)了末端的運(yùn)動(dòng)靈活性，且整臂的連續(xù)運(yùn)動(dòng)更平滑。

圖11 關(guān)節(jié)組形式的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài) Fig.11 Different States of the Form of Joint Groups

圖12 關(guān)節(jié)形式的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài) Fig.12 Different States of Form of Joints

3 靜力學(xué)分析

本文以靜力矩平衡原則進(jìn)行連續(xù)型機(jī)械臂靜力學(xué)建模與分析，并基于以下假設(shè)：

a）忽略驅(qū)動(dòng)繩索的摩擦力；

b）單根驅(qū)動(dòng)繩上的拉力均勻分布，處處相等；

c）將驅(qū)動(dòng)繩索拉力看作外力進(jìn)行分析。

本文所設(shè)計(jì)的連續(xù)型機(jī)械臂，在水平伸直狀態(tài)下，驅(qū)動(dòng)繩索的拉力最大，機(jī)械臂本體各部分對本體根部的力臂最大，因此靜力學(xué)分析選取水平伸直狀態(tài)下的連續(xù)型機(jī)械臂進(jìn)行分析，力學(xué)簡化模型如圖13所示。

圖13 力學(xué)簡化模型 Fig.13 Simplified Model of Mechanics

表1 參數(shù)描述Tab.1 Description of the Parameters

a）機(jī)械臂整體受力分析。

機(jī)械臂整體相對X軸的力矩為

機(jī)械臂整體相對Y軸的力矩為

b）任意關(guān)節(jié)組q受力分析。

關(guān)節(jié)組q相對X軸的力矩為

關(guān)節(jié)組q相對Y軸的力矩為

其中，Lq= （n-q+ 1 ）Ln。

第q個(gè)關(guān)節(jié)組的驅(qū)動(dòng)繩索拉力為

驅(qū)動(dòng)繩索拉力的求解為2個(gè)公式，3個(gè)未知量，屬于不定方程組，需增加額外約束條件，選取3根驅(qū)動(dòng)繩索拉力之和最小為約束條件，構(gòu)建最優(yōu)化函數(shù)來進(jìn)行驅(qū)動(dòng)繩索拉力的求解，最優(yōu)化函數(shù)為

根據(jù)連續(xù)型機(jī)械臂的實(shí)際參數(shù)需求，通過上述最優(yōu)化函數(shù)求解，可得出驅(qū)動(dòng)繩索拉力的最大值Fmax，進(jìn)一步可確定試驗(yàn)所需驅(qū)動(dòng)繩索的規(guī)格。本文在進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí)，由于關(guān)節(jié)組內(nèi)部的關(guān)節(jié)相互之間靠聯(lián)動(dòng)繩索耦合，因此將每個(gè)關(guān)節(jié)組作為一個(gè)整體模塊，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

本文提出一種應(yīng)用于連續(xù)型機(jī)械臂的新型關(guān)節(jié)，并進(jìn)行了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真研究。相比傳統(tǒng)連續(xù)型機(jī)械臂，采用欠驅(qū)動(dòng)聯(lián)動(dòng)關(guān)節(jié)組形式的連續(xù)型機(jī)械臂，具有以下特點(diǎn)：a）采用欠驅(qū)動(dòng)方式簡化了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，簡化了控制量；b）采用聯(lián)動(dòng)關(guān)節(jié)組形式，與傳統(tǒng)連續(xù)型機(jī)械臂相比，在實(shí)現(xiàn)相同的自由度時(shí)，連續(xù)型機(jī)械臂的可達(dá)范圍更廣，增加了連續(xù)型機(jī)械臂的工作空間，增強(qiáng)了末端的運(yùn)動(dòng)靈活性，且整臂的連續(xù)運(yùn)動(dòng)更平滑；c）本文提出的結(jié)構(gòu)，可通過改變傳動(dòng)輪的直徑，實(shí)現(xiàn)等彎曲和不等彎曲兩種聯(lián)動(dòng)形式。通過對機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真，得出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為后續(xù)零部件的設(shè)計(jì)選型與試驗(yàn)驗(yàn)證提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。