應(yīng)用加權(quán)高斯模型的非理想稀疏信道估計(jì)*

高童迪，秦學(xué)珍，袁正道,2，王家斌

(1.河南開(kāi)放大學(xué) 人工智能工程研究中心，鄭州450002;2.鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，鄭州450001;3.中船重工第七一三研究所，鄭州450001)

0 引 言

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中利用稀疏性進(jìn)行信道估計(jì)時(shí)，非零信道抽頭的位置和個(gè)數(shù)將對(duì)估計(jì)算法產(chǎn)生巨大的影響[1-2]?，F(xiàn)有的稀疏估計(jì)算法通常假定非零抽頭位置隨機(jī)分布，抽頭取值為零均值的高斯分布。但是在空間傳播過(guò)程中，信道由直射和散射路徑共同構(gòu)成，非零抽頭的位置和幅度具有一定的先驗(yàn)信息[3]。

常用的稀疏估計(jì)模型有稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)[1](Sparse Bayesian Learning,SBL)、伯努利-高斯[4](Bernoulli-Gaussian,BG)模型和正交匹配追蹤[5](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)等，其中SBL模型假設(shè)抽頭元素為均值為0、方差為伽瑪分布高斯變量；BG模型假定抽頭元素有零和非零兩種取值(伯努利分布)，其中非零元素又服從高斯分布；OMP算法將待估計(jì)向量分解為相互正交向量的稀疏線性組合，通過(guò)迭代構(gòu)建稀疏逼近?；谏鲜鋈愊闰?yàn)?zāi)Ｐ?，?guó)內(nèi)外多個(gè)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了深入的研究。例如利用消息傳遞算法進(jìn)行SBL[6]和BG[4]模型的建模和推導(dǎo)，也取得了較高的估計(jì)精度。但是上述工作均未考慮信道抽頭所具有的分組特性，而是將每個(gè)抽頭都當(dāng)作獨(dú)立分布。預(yù)期利用上述分組特性將成為稀疏估計(jì)算法的突破點(diǎn)。

最優(yōu)估計(jì)通常要求解系統(tǒng)中所有顯性和隱藏變量的全局最大后驗(yàn)概率，但是現(xiàn)代通信系統(tǒng)涉及到的中間變量過(guò)多，針對(duì)這樣的復(fù)雜模型，最優(yōu)估計(jì)會(huì)導(dǎo)致極高的復(fù)雜度，很難得到推廣。作為最優(yōu)估計(jì)的近似，因子圖-消息傳遞算法[7]自從提出以來(lái)在稀疏估計(jì)[6]、迭代接收機(jī)設(shè)計(jì)[8]和圖像處理[9]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前應(yīng)用最廣泛的基本消息更新規(guī)則有置信傳播[10](Belief Propagation,BP)、平均場(chǎng)[11](Mean Field,MF)等，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了一系列近似消息傳遞算法，如廣義近似消息傳遞[12](Generalize Approximate Message Passing,GAMP)和酉近似消息傳遞[13](Unitary Transform Approximate Message Passing，UT-AMP)等。上述每種規(guī)則都有特定的應(yīng)用場(chǎng)景，如BP規(guī)則合適用于離散分布的變量計(jì)算，MF規(guī)則適合如高斯分布和Gamma分布的消息計(jì)算，但是針對(duì)更為復(fù)雜的參數(shù)計(jì)算，BP和MF規(guī)則也很難得到閉式解。文獻(xiàn)[14]中證明了經(jīng)典的期望最大化(Expectation Maximization，EM)方法也可以看作MF規(guī)則的一個(gè)特例，能夠作為一種消息更新規(guī)則嵌入到現(xiàn)有的消息傳遞算法中，以適用于更復(fù)雜的參數(shù)估計(jì)[15]。

針對(duì)非理想稀疏信道，本文提出了一種應(yīng)用聯(lián)合UT-AMP和EM的信道估計(jì)算法，并建立虛擬環(huán)境進(jìn)行了測(cè)試，從數(shù)值仿真和復(fù)雜度的角度驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 OFDM系統(tǒng)模型

針對(duì)一個(gè)配置有M個(gè)子載波的正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)系統(tǒng)，均勻選擇其中N個(gè)作為導(dǎo)頻進(jìn)行信道估計(jì)，剩余M-N個(gè)用于數(shù)據(jù)傳輸，導(dǎo)頻向量可表示為x=[x1,x2,…,xN]H。定義導(dǎo)頻圖譜為P，即向量x中元素xn的下標(biāo)n∈P。頻域傳輸符號(hào)經(jīng)過(guò)頻域等效信道h=[h1,h2,…,hN]H的傳輸?shù)玫降念l域接收數(shù)據(jù)為y=h·x+n。由于本文僅關(guān)注信道估計(jì)，則向量h、y等默認(rèn)僅包含頻域索引屬于導(dǎo)頻圖譜P的部分，即h、y∈RN×1。為簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型，本文假定發(fā)送的導(dǎo)頻符號(hào)為xn=1，則觀測(cè)數(shù)據(jù)y可以簡(jiǎn)化表示為

y=h+n。

(1)

式中：n表示精度(方差的倒數(shù))為σ-1的加性高斯白噪聲。根據(jù)傳播理論，OFDM系統(tǒng)的頻域等效信道可以表示為多徑抽頭向量α和部分離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)矩陣相乘的形式，即

h=Φα。

(2)

式中：α∈RL×1為抽頭向量，L為抽頭長(zhǎng)度。式(2)中矩陣Φ的構(gòu)造方法為：從M維標(biāo)準(zhǔn)DFT矩陣FM中選取其索引屬于導(dǎo)頻圖譜P中的N行和前L列，即Φ∈CN×L。進(jìn)而式(1)可以重寫(xiě)為

y=Φα+n。

(3)

但是由文獻(xiàn)[16]等可知，當(dāng)觀測(cè)矩陣具有病態(tài)特性時(shí)，基于消息傳遞的迭代算法會(huì)導(dǎo)致較大的性能損失，甚至產(chǎn)生發(fā)散。處理該類問(wèn)題的方法有向量近似消息傳遞(Vector Approximate Message Passing,VAMP)、酉變換近似消息傳遞(UT-AMP)和簡(jiǎn)單的數(shù)值處理方法，如迭代阻尼[16](Damping)的方法。本文采用UT-AMP的思路，首先對(duì)部分DFT矩陣Φ進(jìn)行SVD分解可得Φ=UΛV，其中U、V為酉矩陣，Λ為對(duì)角陣，從而式(3)需要重寫(xiě)為

y=UΛVα+n。

上式同時(shí)左乘矩陣UT可得

UTy=ΛVα+UTn?Aα+UTn?h′+n′?r。

(4)

式中：A、r和h′分別為新的測(cè)量矩陣、觀測(cè)向量和頻域等效信道。鑒于本文后續(xù)僅用到變量h′，簡(jiǎn)潔起見(jiàn)由h代替。由于UT為酉矩陣，則n′仍為高斯白噪聲，并且均值方差和n一樣，因此本文后續(xù)仍用n表示。所以式(4)可重新整理為

r=Aα+n。

(5)

1.2 混合高斯先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

在稀疏估計(jì)模型中常見(jiàn)的伯努利-高斯先驗(yàn)可以表示為

式中：稀疏向量α中的元素αl只可能有0和非零兩種取值，其概率分別為(1-λ)和λ，當(dāng)取值非零時(shí)假定其服從均值為0、方差為1的高斯分布。

(6)

式中：βi和μl為每個(gè)高斯先驗(yàn)的權(quán)重和均值。相比BG模型，加權(quán)高斯模型更具通用性，能夠捕捉更復(fù)雜的稀疏先驗(yàn)。

由上述OFDM傳輸和加權(quán)高斯先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，可以將本系統(tǒng)中的觀測(cè)和未知變量的全局后驗(yàn)概率進(jìn)行因式分解:

p(r,h,α,λ,π,β,μ)=

p(r|h,λ)p(h|α)p(α|π,β,μ)p(λ)=

p(σ)∑np(rn|hn,λ)p(hn|α)×

∑lp(αl|π,β,μ)p(β)p(μ)?

fλ∑nfrnfhn∑lfαlfβfμ。

(7)

圖1 因式分解(7)所對(duì)應(yīng)因子圖

2 消息傳遞框架下EM算法的嵌入

作為一種經(jīng)典迭代算法，EM已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理的諸多領(lǐng)域。文獻(xiàn)[14]中證明了EM算法可以看作是MF消息更新規(guī)則的一種特例。為了方便本文的后續(xù)推導(dǎo)，可以將EM算法在消息傳遞框架下的嵌入方式進(jìn)行總結(jié)。

假設(shè)存在如圖2所示因子圖模型，fx(x,θ)表示變量x和θ之間的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)fθ(θ)為變量θ的先驗(yàn)分布。設(shè)變量x的置信為b(x)，根據(jù)MF規(guī)則可計(jì)算fx(x,θ)到θ的消息為

則變量θ的置信可寫(xiě)為b(θ)∝mfx→θ(θ)×fθ。

圖2 EM算法簡(jiǎn)單示例因子圖

(8)

3 非理想稀疏信道估計(jì)算法推導(dǎo)

本節(jié)將因子圖劃分為稀疏向量估計(jì)部分(包含函數(shù)節(jié)點(diǎn)frn、fhn、fλ和與之對(duì)應(yīng)的變量節(jié)點(diǎn))和WG先驗(yàn)估計(jì)部分(包含函數(shù)節(jié)點(diǎn)fαl、fβ和fμ)，并按照上述劃分進(jìn)行消息的更新和算法總結(jié)。

3.1 基于UT-AMP的稀疏向量估計(jì)算法

對(duì)于frn、fhn節(jié)點(diǎn)之間消息的更新可以參考文獻(xiàn)[13]中的現(xiàn)有公式，但是文獻(xiàn)[13]中并沒(méi)有給出在具體先驗(yàn)條件下αl置信的計(jì)算，所以本節(jié)僅關(guān)注變量αl置信的更新。

(9)

(10)

(11)

(12)

φnk?ξnk/∑k′ξnk′，

(13)

(14)

(15)

式(12)～(13)根據(jù)簡(jiǎn)單的移項(xiàng)等算術(shù)運(yùn)算即可得到，式(14)～(15)的計(jì)算需要利用高斯分布相乘公式。在得到置信b(αl)后計(jì)算αl的期望和方差分別為

需要說(shuō)明的是，本節(jié)僅推導(dǎo)了稀疏向量估計(jì)中置信b(αl)的更新方法，而其他節(jié)點(diǎn)之間消息的更新歸納在3.3節(jié)偽代碼中。

3.2 基于EM的先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

(16)

根據(jù)EM求解公式(8)有

上式代入b(αl)和?lnfαl/?λ可得

δ(αl≠0))?(lnfαl)/(?λ)dαl=

∑l(-(1-πl(wèi))/(1-λ)+πl(wèi)/λ)=0，

(17)

類似地，可得函數(shù)fαl對(duì)θk的偏導(dǎo)數(shù)

代入EM求解公式，有

(18)

(19)

3.3 本文所提信道估計(jì)算法

根據(jù)前述消息傳遞算法推導(dǎo)，設(shè)計(jì)合理的消息更新策略，本文所提信道估計(jì)算法偽代碼如下：

2 酉變換[U,Λ,V]=svd(Φ),r=UTy,A=ΛV

FORi=1:NOuter

3 ?n更新νpn=∑l|Anl|2ναl

7 ?l更新νql=(∑n|Anl|2νsn)-1

FORi′=1:NEM

END FOR

END FOR

4 數(shù)值仿真和復(fù)雜度分析

本節(jié)從數(shù)值仿真和復(fù)雜度兩方面對(duì)本文所提算法和文獻(xiàn)中方法進(jìn)行對(duì)比。為方便描述，本文對(duì)涉及到的算法進(jìn)行如下定義：文獻(xiàn)[6]中所提基于SBL模型和GAMP的估計(jì)算法簡(jiǎn)寫(xiě)為GAMP-SBL；文獻(xiàn)[4]中利用GAMP和BG先驗(yàn)的估計(jì)算法簡(jiǎn)記為UT-BG；本文所采用基于UT-AMP和WG模型的方法記為UT-WG。此外，本文還將已知非零元素位置的最小均方誤差估計(jì)作為接收機(jī)性能的最佳下界，簡(jiǎn)記為Gen-LMMSE。

4.1 復(fù)雜度對(duì)比

對(duì)比算法GAMP-SBL和UT-BG在迭代部分具有復(fù)雜度O(NOuterNL)，比本文所提UT-WG算法缺少了酉變換和內(nèi)迭代。需要說(shuō)明的是，對(duì)于方陣SVD分解并沒(méi)有快速算法，但是非方陣(如“胖”矩陣或者“高”矩陣)則有快速算法，能夠在N?L或L?N的條件下實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度遠(yuǎn)小于O(N3)。矩陣A的快速SVD分解在Matlab中寫(xiě)為svd(A,‘eco’)，仿真中能夠大大加速運(yùn)算。所以可以說(shuō)本文所提算法與文獻(xiàn)中已有算法相比略有提升，但保持同階。

4.2 仿真環(huán)境建立

本節(jié)建立OFDM傳輸環(huán)境對(duì)本文所提算法進(jìn)行數(shù)值仿真和對(duì)比。假設(shè)一個(gè)配置有M=512個(gè)子載波的單天線高速OFDM系統(tǒng)，均勻選取其中N=70～100個(gè)子載波作為導(dǎo)頻。設(shè)信道抽頭長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200，主要非零抽頭個(gè)數(shù)為S=8。由于存在多徑散射，假定每個(gè)主要抽頭攜帶3個(gè)拖尾(Heavy Tailed)非零抽頭，其強(qiáng)度與其歸屬的主要非零抽頭呈冪次遞減。例如當(dāng)抽頭αl為主要的非零抽頭，其強(qiáng)度為αl=d，則存在3個(gè)拖尾抽頭，具有強(qiáng)度αl+j=d×2-j,j=1～3。每次仿真假定主要抽頭位置隨機(jī)分布，強(qiáng)度服從高斯分布。圖3展示了上述信道的一次實(shí)現(xiàn)，其上半部分為受拖尾影響的抽頭向量，下半部分為主要抽頭向量。

圖3 非理想和理想稀疏向量

4.3 數(shù)值仿真

本節(jié)以信道抽頭向量α的歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error,NMSE)為性能衡量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本文所提算法和文獻(xiàn)中已有方法進(jìn)行數(shù)值仿真和對(duì)比。

圖4展示了在信噪比30 dB的情況下，各種算法的估計(jì)性能隨導(dǎo)頻數(shù)量的變化曲線。從圖中可以看出在導(dǎo)頻數(shù)量充足時(shí)(當(dāng)N>95)，所有估計(jì)算法與最優(yōu)估計(jì)(Gen-LMMSE)性能接近，但是隨著導(dǎo)頻數(shù)量的降低，各類算法性能惡化嚴(yán)重，在N≤80時(shí)甚至幾乎不工作；在導(dǎo)頻數(shù)量處于80≤N≤95時(shí)，本文所提UT-WG算法相比GAMP-SBL和UT-BG算法有明顯的性能優(yōu)勢(shì)，或者說(shuō)在相同估計(jì)性能條件下，本文所提算法能夠減少導(dǎo)頻的使用，提升OFDM系統(tǒng)頻譜效率。

圖4 估計(jì)性能隨導(dǎo)頻數(shù)量變化曲線(信噪比30 dB)

圖5給出了在導(dǎo)頻數(shù)N=85的條件下各種算法信道估計(jì)性能隨信噪比的變化曲線。由于本文采用的下界是已知非零抽頭位置的LMMSE估計(jì)，并且仿真中導(dǎo)頻數(shù)量N并不充足，所以在圖4和圖5上各類算法估計(jì)性能相比還有一定距離。從圖5中仍可以看出，相比文獻(xiàn)中已有算法，本文所提UT-WG算法表現(xiàn)出3～4 dB的性能增益。

圖5 估計(jì)性能隨信噪比變化曲線

總之，由于采用了更合理的稀疏先驗(yàn)分布，利用UT-AMP算法降低了DFT矩陣的病態(tài)特性所導(dǎo)致的發(fā)散，本文所提UT-WG算法在保持同階復(fù)雜度的條件下具有更優(yōu)的估計(jì)性能和頻譜效率。

5 結(jié) 論

本文以因子圖-消息傳遞為建模和信號(hào)處理工具，利用加權(quán)高斯為稀疏先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，通過(guò)嵌入EM算法到消息傳遞框架中，通過(guò)消息的推導(dǎo)計(jì)算和迭代，得到一種針對(duì)非理想稀疏向量的估計(jì)算法，將其應(yīng)用于高速OFDM通信系統(tǒng)信道估計(jì)的仿真中，取得了較好的性能增益。