關(guān)于模的t-補(bǔ)子模

李煜彥

(隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南 742500)

0 引言及預(yù)備知識

Extending模及其各種推廣在環(huán)模理論中占據(jù)了很重要的位置，其相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)被許多作者研究過[1-4].稱M是extending模，如果M的每個(gè)補(bǔ)子模(等價(jià)地，閉子模)是M的直和因子.2007年，Birkenmeier和Tercan[5]利用補(bǔ)子模考慮并研究了具有弱C1條件的模，并稱其為C11-模.稱M是C11-模，如果對任意N≤M，存在M的直和因子K，使得K是N在M中的補(bǔ).近年來，相關(guān)于撓理論的extending模類受到一些作者的關(guān)注，其中一些作者借助于Gomez Pardo[6]在1985年提出的τ-本質(zhì)子模的概念，進(jìn)一步豐富了extending模的研究范疇(τ表示遺傳撓理論).2012年，?eken和Alkan[7]利用τ-本質(zhì)子模引入了τ-閉子模和τ-extending模的概念，研究了τ-extending模的性質(zhì)及直和，證明了模M的τ-閉子模和τ-補(bǔ)子模是等價(jià)的.2011年，Asgari和Haghany[8]從Goldie撓理論的角度引入了t-閉子模和t-本質(zhì)子模的概念，研究了t-extending模和t-Baer模之間的關(guān)系.隨后，2013-2019年期間Asgari和Haghany[9-12]利用t-本質(zhì)子模和t-extending模又相繼研究了t-半單模、t-連續(xù)模、t-擬連續(xù)模等.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，自然地可以考慮的模的t-補(bǔ).文中提出了t-補(bǔ)子模的概念，它和t-閉子模是等價(jià)的.討論了t-補(bǔ)子模、τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模之間的關(guān)系，給出了t-補(bǔ)子模、τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模是不同概念的例子，研究了t-補(bǔ)子模的若干性質(zhì).進(jìn)而，討論了兩個(gè)子模互為t-補(bǔ)的充要條件.

1 定義和引理

引理1[8]設(shè)C≤M，則以下等價(jià)：

(1)存在S≤M，使得C對C∩S是Z2-撓的性質(zhì)是極大的；

(2)C在M中是t-閉的；

(4)Z2(M)≤C且C在M中是閉的；

(5)C是M的非奇異子模的補(bǔ)；

下面給出t-補(bǔ)子模的概念:

定義1 設(shè)K，N≤M，稱K是N在M中的t-補(bǔ)，如果K是{L≤M|L∩N?Z2(M)}中的極大元.稱A是M的t-補(bǔ)子模，如果存在B≤M，使得A是B在M中的t-補(bǔ).

由引理1可得如下結(jié)論.

引理2C是M的t-閉子模當(dāng)且僅當(dāng)C是M的t-補(bǔ)子模.

由文獻(xiàn)[7]和[8]易得下面結(jié)論.

引理3 設(shè)M是模，則以下幾條成立：

(1)若N是M的τ-本質(zhì)子模，則N是M的t-本質(zhì)子模；若N是M的τ-補(bǔ)子模，則N是M的t-補(bǔ)子模；

(2)τ(M)是M的τ-補(bǔ)子模，Z2(M)是M的t-補(bǔ)子模；

(3)若M是τ-撓自由的(即τ(M)=0)，則M的τ-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的.進(jìn)而M的τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模是一致的；

(4)若M是非奇異的(即Z(M)=0)，則M的t-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的.進(jìn)而M的t-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模是一致的；

(5)若M是τ-撓自由且非奇異模，則M的τ-本質(zhì)子模、t-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的.進(jìn)而M的τ-補(bǔ)子模、t-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模是一致的.

2 主要結(jié)果

下面例子說明閉子模不一定是t-閉子模，τ-閉子模不一定是閉子模.從而補(bǔ)子模不一定是t-補(bǔ)子模，τ-補(bǔ)子模也不一定是補(bǔ)子模.

是M的τ-閉子模，但不是M的閉子模.

由文獻(xiàn)[7]知，M的任意子模都存在τ-補(bǔ).類似的，下面結(jié)論說明M的任意子模都存在t-閉包，從而t-補(bǔ)子模一定是存在的.

性質(zhì)1M的任意子模都存在t-閉包.

證明設(shè)N≤M，令Γ={L|N≤tesL}.則?！佴登姚ｊP(guān)于集合的包含關(guān)系構(gòu)成偏序集.假設(shè){Hi}i∈I是Γ中的一個(gè)鏈.對任意W≤∪i∈IHi，設(shè)W∩N?Z2(∪i∈IHi).下證W?Z2(∪i∈IHi)，從而N≤tes∪i∈IHi.

假設(shè)x∈W，則存在i∈I，使得xR∩N?Hi.因?yàn)閃∩N?Z2(∪i∈IHi)，所以xR∩N?Z2(∪i∈IHi)，從而xR∩N?Z2(Hi).由文獻(xiàn)[9]知，Z2(∪i∈IHi)=∪i∈IZ2(Hi)，且N≤tesHi，可得xR?Z2(Hi).因此W?Z2(∪i∈IHi).由Zorn’s引理，Γ中存在極大元H.由[1]及t-本質(zhì)子模的遺傳性質(zhì)知，N≤tesH且H是t-閉的，從而H是N的t-閉包.

由文獻(xiàn)[7]定理2.13和[13]性質(zhì)6.23知，τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模都具有傳遞性.類似地，下面結(jié)論說明t-補(bǔ)子模也具有傳遞性.

性質(zhì)2 設(shè)A，B≤M.則以下幾條成立：

(1)設(shè)A≤B≤M.若A是M的t-補(bǔ)子模，則A是B的t-補(bǔ)子模；

(2)若A是B的t-補(bǔ)子模，B是M的t-補(bǔ)子模，則A是M的t-補(bǔ)子模；

(2)跟(1)類似.

眾所周知，τ-補(bǔ)子模或補(bǔ)子模的交未必仍是τ-補(bǔ)子?；蜓a(bǔ)子模.由文獻(xiàn)[14]定理3.6知，當(dāng)M的是τ-UC模時(shí)，τ-補(bǔ)子模的交仍是是τ-補(bǔ)子模.對于t-補(bǔ)子模，有如下結(jié)論.

性質(zhì)3 設(shè)A，B≤M.則以下幾條成立：

(1)若A是M的t-補(bǔ)子模，則A∩B是B的t-補(bǔ)子模；

(2)若A和B都是M的t-補(bǔ)子模，則A∩B是M的t-補(bǔ)子模.

性質(zhì)4 設(shè)M=M1⊕M2，A，B≤M1.則A是B在M1中的t-補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)A⊕M2是B在M中的t-補(bǔ).

證明必要性.設(shè)C≤M，使得B∩C≤Z2(M)且A⊕M2≤C.下證A⊕M2=C.因?yàn)锳是B在M1中的t-補(bǔ)，所以A∩B≤Z2(M1).故B∩(A⊕M2)≤Z2(M)=Z2(M1)⊕Z2(M2).而B∩(C∩M1)≤Z2(M)∩M1=Z2(M1)，故C∩M1≤A.因此C∩M1=A.設(shè)c∈C，則c=m1+m2，其中mi∈Mi(i=1，2).于是m1=c-m2∈M1∩C=A，即c∈A⊕M2.所以A⊕M2=C.

充分性.設(shè)D≤M1，且滿足A?D，以及D∩B≤Z2(M1).下證A=D.因?yàn)锳⊕M2是B在M中的t-補(bǔ)，所以B∩(A⊕M2)≤Z2(M)，故B∩A≤Z2(M).于是B∩(D⊕M2)≤Z2(M).由A⊕M2的極大性可知A⊕M2=D⊕M2.從而A=D.

設(shè)A，B≤M.由文獻(xiàn)[15]引理2.2知，A是B在M中的補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)A∩B=0，且A⊕B≤eM.對于t-補(bǔ)子模，我們有

定理1 以下對模M成立：

(1)設(shè)A，B≤M.若A是B在M中的t-補(bǔ)，則A+B≤tesM；

(2)設(shè)N是M的t-補(bǔ)子模，L≤M，且N∩L≤Z2(M).若N+L≤tesM，則N是L的t-補(bǔ).

證明 (1)設(shè)N≤M，且(A+B)∩N≤Z2(M).因?yàn)锳是B在M中的t-補(bǔ)，所以A在M中是t-閉的.由[8]引理2.5知，Z2(M)≤A.于是B∩(A+N)≤Z2(M)，從而A+N=A，即N≤A.故N=N∩A?(A+B)∩N≤Z2(M).所以A+B≤tesM.

(2)設(shè)K≤M，使得N≤K且K∩L≤Z2(M).因?yàn)镹是M的t-補(bǔ)子模，所以存在H≤M，使得N是H的t-補(bǔ).由[8]引理2.5知，Z2(M)≤N.于是有：

(N+L)∩(K∩H)=((N+L)∩K)∩H=(N+(L∩K))∩H≤(N+Z2(M))∩H=N∩H≤Z2(M).

由于N+L≤tesM，故K∩H≤Z2(M).從而N=K，即N是L的t-補(bǔ).

下面討論兩個(gè)子模在什么條件下互為t-補(bǔ).

3 結(jié)束語

extending模及其相關(guān)問題是環(huán)模理論中很重要的研究對象，其研究成果受到了許多作者的關(guān)注.本文提出了t-補(bǔ)子模的概念，利用環(huán)模理論的研究方法，討論了t-補(bǔ)子模、τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模之間的關(guān)系，給出了t-補(bǔ)子模、τ-補(bǔ)子模和補(bǔ)子模是不同概念的例子，研究了t-補(bǔ)子模的若干性質(zhì).對于模M，證明了下面兩條是成立的：(1)設(shè)A，B≤M.若A是B在M中的t-補(bǔ)，則A+B≤tesM；(2)設(shè)N是M的t-補(bǔ)子模，L≤M，且N∩L≤Z2(M).若N+L≤tesM，則N是L的t-補(bǔ).最后，討論了M的兩個(gè)子?；閠-補(bǔ)的充要條件.