軌道力學問題導(dǎo)向式教學培養(yǎng)軌道設(shè)計能力的實踐1)

楊洪偉 李 爽

(南京航空航天大學航天學院，南京210016)

軌道力學是高等學校航天類專業(yè)一門必修的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程。我校軌道力學相關(guān)課程包括本科生必修課“航天器動力學基礎(chǔ)”和研究生學位課“航天器軌道基礎(chǔ)” (主要面向本科非航天類專業(yè)的學生)。培養(yǎng)學生應(yīng)用軌道力學知識進行軌道設(shè)計的能力是軌道力學的重要教學目標之一。但是軌道力學教材[1-2]涉及大量的數(shù)學公式推導(dǎo)，如果僅采用以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學方式，學生在學習過程中難免會感到枯燥乏味，并且難以將離散、抽象的知識點與軌道設(shè)計建立起有機聯(lián)系。在教學過程中適當引入前沿熱點問題[3]，加強教學互動[4]，則非常有利于改善教學效果。

問題導(dǎo)向式教學是一種以學生為中心的教學方式，通過解決實際問題，提升學生學習的興趣，培養(yǎng)學生解決問題的能力[5]。軌道力學是一門與航天任務(wù)設(shè)計聯(lián)系十分緊密的課程，基于問題導(dǎo)向式教學的思路，在教學過程中適當引入具有熱點航天任務(wù)背景的軌道任務(wù)設(shè)計問題，讓學生以主動學習的方式通過動手實踐解決問題，可以幫助學生直觀地理解與掌握軌道力學知識，建立與航天任務(wù)軌道設(shè)計的聯(lián)系，是培養(yǎng)學生軌道設(shè)計能力的有效途徑。近十年的全國空間軌道設(shè)計競賽發(fā)展歷程[6]也反映出通過軌道設(shè)計實踐可以有效地促進軌道設(shè)計水平的提升。近年來，國內(nèi)外各種類型航天任務(wù)的不斷發(fā)展，為軌道力學教學中構(gòu)建的軌道設(shè)計問題提供了豐富的背景素材。教材《軌道力學》[2]配套的軌道力學Matlab 程序包也為軌道設(shè)計實踐的教學提供了良好的條件。本文將介紹作者對教學措施的思考，以及在教學探索實踐中采用的案例問題和教學效果。

1 軌道力學問題導(dǎo)向式教學措施的思考

為了實現(xiàn)培養(yǎng)學生軌道設(shè)計能力的目標，在軌道力學問題導(dǎo)向式教學中需要采取一些必要的措施，下面給出對相關(guān)教學措施的思考。

1.1 優(yōu)化教學問題的設(shè)計

問題設(shè)計是能否成功實現(xiàn)問題導(dǎo)向式教學的關(guān)鍵[5]。為了調(diào)用學生的積極性，提升學生的參與度，讓學生能夠通過動手實踐理解和掌握軌道力學知識點在軌道設(shè)計中的應(yīng)用，有必要對教學問題的設(shè)計進行優(yōu)化。一方面，引入的軌道設(shè)計問題可以結(jié)合前沿熱點的航天任務(wù)并適當簡化，不僅可以增強軌道設(shè)計的趣味性、激發(fā)學生的興趣，而且可以幫助學生建立軌道力學理論知識與工程實際任務(wù)的聯(lián)系。另一方面，給出的軌道設(shè)計問題應(yīng)該充分考慮學生的知識和能力范圍，保障學生動手參與的可行性。對于軌道設(shè)計問題涉及的知識點應(yīng)與教材內(nèi)容聯(lián)系較為緊密，讓學生在動手實踐時已經(jīng)學習過軌道設(shè)計所需的主要知識點；對于多個軌道設(shè)計問題應(yīng)該循序漸進，由淺到深，引導(dǎo)學生逐步掌握復(fù)雜軌道設(shè)計的能力。

1.2 充分發(fā)揮教師輔助指導(dǎo)作用

雖然問題導(dǎo)向式教學是以學生為中心的教學方式，但是教師在學生主動學習的過程中依然十分關(guān)鍵。應(yīng)當充分發(fā)揮教師輔助指導(dǎo)作用，幫助學生推進軌道設(shè)計問題的解決并建立軌道設(shè)計的知識。在教學過程中，教師應(yīng)該對學生進行必要的知識引導(dǎo)。雖然給出的軌道設(shè)計問題已經(jīng)過簡化處理，但是難免仍會涉及教材之外的知識難點，應(yīng)當給予必要的講解或者提示，避免學生因為個別難以理解的知識點而無法推進軌道設(shè)計。對于本科生教學，也需要了解學生對Matlab 軟件使用的能力程度。如果學生對Matlab 了解很少，可以在課堂上花少量時間對基本的功能進行簡要介紹，幫助學生克服使用新軟件時的心理困難。另一方面，應(yīng)該建立信息反饋機制。完成軌道設(shè)計問題需要學生在課堂之外投入時間。對于學生課外學習遇到的問題，鼓勵學生以學習小組的形式互相幫助解決，對于不易解決的問題可以通過郵件、微信等方式反饋給教師，教師整理后可以將學生反饋的普遍問題通過微信群、課堂等途徑進行及時答疑。此外，教師可以通過設(shè)計報告及課堂演示等方式對學生完成情況進行評估。

2 軌道力學教學中的實踐

根據(jù)軌道力學教學順序，在教學實踐中依次引入了具有我國航天任務(wù)背景的軌道設(shè)計問題。下面給出教學案例來詳細介紹并進行教學效果分析。

2.1 引入階段性軌道設(shè)計問題，培養(yǎng)軌道設(shè)計基礎(chǔ)能力

2.1.1 航天器運行軌道設(shè)計問題——軌道預(yù)報

航天器軌道預(yù)報是軌道力學主要目的之一。在二體問題下進行軌道預(yù)報計算，本質(zhì)是求解二體問題運動微分方程的解。教材《軌道力學》[2]用了第2至4 章共3 章內(nèi)容介紹相關(guān)知識，是軌道力學課程的基礎(chǔ)核心。在二體問題解的推導(dǎo)過程中，會涉及大量的數(shù)學運算和知識點。學生在聽講過程中容易陷入對枯燥的數(shù)學推導(dǎo)的困惑之中，并且不容易清晰地把握各知識點之間的邏輯關(guān)系。在實際的教學過程中，可以通過一個地球航天器的運行軌道仿真設(shè)計問題幫助同學們從宏觀的層面將這些知識點串聯(lián)起來，梳理章節(jié)知識點背后的邏輯關(guān)系，讓學生更直觀地了解這部分知識在航天任務(wù)設(shè)計中的作用。作者選取了“天宮二號”作為目標航天器，通過網(wǎng)絡(luò)查詢給出了軌道六根數(shù)的值，要求學生基于教材配套的 Matlab 代碼編寫設(shè)計程序繪制三維空間軌道及軌道狀態(tài)量隨時間的變化關(guān)系圖(部分結(jié)果如圖1)。在此運行軌道設(shè)計問題中，需要綜合應(yīng)用前五個軌道根數(shù)守恒與平近點角隨時間線性變化的特性、開普勒方程和牛頓迭代法、坐標變換、以及軌道根數(shù)與位置速度轉(zhuǎn)換等知識點。在教學實踐中可以在課堂上引導(dǎo)學生思考討論算法的主要流程和涉及的知識點，初步形成正確的算法方案；在課后讓學生進行Matlab 仿真實踐。由于配套的 Matlab 程序包含有主要的基本軌道函數(shù)，學生在編程實現(xiàn)時較為容易，動手繪制出軌道也可以激發(fā)他們的學習熱情。通過本問題的鍛煉，學生可以掌握已知軌道根數(shù)的二體軌道設(shè)計方法。

圖1 “天宮二號” 運行軌道設(shè)計問題結(jié)果示意圖

2.1.2 火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口設(shè)計問題?軌道機動

軌道機動是軌道力學課程又一核心重點內(nèi)容。教材《軌道力學》第6 至8 章均涉及軌道機動。學生在學完行星際軌道這一章后，已經(jīng)初步具備了蘭伯特轉(zhuǎn)移和行星星歷計算等理論知識。以2020 年我國火星探測任務(wù)為背景，作者在教學中引入了火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口設(shè)計問題。要求學生基于教材配套Matlab 代碼中的蘭伯特求解器、大行星的星歷計算函數(shù)及時間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換函數(shù)，通過離散發(fā)射時間和飛行時間并計算不同轉(zhuǎn)移軌道所需速度增量等高線圖(如圖2) 的方式，編寫Matlab 仿真程序，找出2020年的火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口。在本案例問題中，由于考慮了星歷計算，軌道設(shè)計與時間系統(tǒng)建立了聯(lián)系。另外，在軌道設(shè)計中并未限制于理想的共面霍曼轉(zhuǎn)移，比教材中霍曼轉(zhuǎn)移的例子更接近于真實情況。在教學實踐中仍然可以先引導(dǎo)學生思考和討論初步的解決方案，再讓學生通過Matlab 仿真實踐。學生通過該設(shè)計問題可以獲得 2020 年 7 月的最優(yōu)發(fā)射窗口，并可以發(fā)現(xiàn)與網(wǎng)絡(luò)搜索到的國內(nèi)外2020 火星發(fā)射日期基本吻合。通過本設(shè)計問題可以幫助學生將課堂所學知識與實際的航天任務(wù)建立起聯(lián)系，體會軌道力學在航天任務(wù)中的重要性，也可以增強軌道力學學習的趣味性。此外，通過本問題的鍛煉，學生可以初步掌握雙脈沖機動轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計方法。

圖2 2020 年火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口搜索示意圖

2.2 引入軌道優(yōu)化設(shè)計問題，提升軌道設(shè)計能力

考慮到實際的軌道設(shè)計中往往需要求解多變量的非線性優(yōu)化問題，在軌道力學理論課結(jié)束后的課程設(shè)計中可以進一步引入更具挑戰(zhàn)性的軌道優(yōu)化設(shè)計問題。作者結(jié)合我國未來深空探測的發(fā)展方向和自身在深空探測方面的研究經(jīng)歷，在2018 年和2019年教學中分別布置了近地小行星采樣返回的軌道初步優(yōu)化設(shè)計問題和火星引力輔助探測木星[7]軌道初步優(yōu)化設(shè)計問題。圖3 給出了其中的木星探測問題設(shè)計結(jié)果。通過兩個軌道設(shè)計問題引導(dǎo)學生綜合使用軌道遞推、軌道機動、蘭伯特方法等知識對軌道進行優(yōu)化設(shè)計并繪制出軌道。為了提升學生完成軌道設(shè)計問題的可行性，作者首先對問題進行簡化以降低難度，其中包括小行星采樣返回軌道設(shè)計中，將采樣段簡化為探測器交會小行星之后固定時長之內(nèi)保持與小行星相同的軌道狀態(tài)量；對于三維的火星引力輔助計算，提供了引力輔助模型[7]的Matlab 計算程序。學生在設(shè)計軌道時只需編寫求解以時間節(jié)點為優(yōu)化變量的速度增量優(yōu)化問題。其次，由于軌道力學教材并未涉及數(shù)值優(yōu)化知識，作者在學生開始課程設(shè)計之前補充演示了 Matlab 中非線性優(yōu)化函數(shù)“fmincon”的基本使用方法。通過深空探測軌道優(yōu)化設(shè)計問題的鍛煉，學生可以初步掌握軌道優(yōu)化設(shè)計的方法，進一步提升軌道設(shè)計的能力。

圖3 火星引力輔助探測木星的軌道設(shè)計問題結(jié)果示意圖

2.3 效果評價與討論

經(jīng)過近兩年在軌道力學教學中的初步探索和實踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生能夠積極地參與到解決軌道設(shè)計問題之中。除了在教室中的交流討論，很多學生在課后通過微信、郵件等方式與作者進行較多的互動交流和討論。其中 2019—2020 學年就有 15 名學生通過微信方式交流了軌道設(shè)計問題。大部分大三學生之前尚未用 Matlab 解決過課程中的問題，通過Matlab 編程解決軌道設(shè)計問題，不僅加深了對軌道的理解，同時也鍛煉了Matlab 動手編程的能力。通過學生隨設(shè)計結(jié)果一同提交的心得體會中也可以看到，學生從對軌道設(shè)計問題比較迷茫到繪制出軌道時的喜悅。對于具有挑戰(zhàn)性的深空探測軌道優(yōu)化設(shè)計問題，也有不少學生完成了較高質(zhì)量的軌道設(shè)計結(jié)果和報告。此外，軌道設(shè)計問題也激發(fā)了學生探索軌道設(shè)計方法的興趣。譬如，4 名學生在課程設(shè)計中自主探索了 “fmincon” 之外的優(yōu)化求解函數(shù)，并進行了對比分析；課程結(jié)束后部分學生參與到了軌道設(shè)計相關(guān)的大學生科創(chuàng)項目之中，包括1 項國家級大學生創(chuàng)新訓(xùn)練項目。

作者近兩年軌道力學教學獲得的學生評價成績均為優(yōu)秀，一定程度上反映出學生對教學方法滿意度較好。另外，對比2018—2019 學年和2019—2020學年的教學實踐，后一學年選用的軌道設(shè)計問題更加符合循序漸進的原則 (增加了軌道機動方面的階段性問題)，故教學效果更佳，課程獲得優(yōu)秀的學生人數(shù)從7 名增加到了15 名，學生評教成績的全校課程百分比排名也提升了16%。

3 結(jié)束語

初步實踐表明，在軌道力學教學過程中引入適當?shù)暮教燔壍涝O(shè)計問題，可以提升學生學習興趣，加強學生對軌道力學知識的理解，有效培養(yǎng)學生的軌道設(shè)計能力。當然，軌道力學教育教學改革是需要長期探索和實踐的工作，需要保持軌道設(shè)計問題與前沿熱點航天任務(wù)的聯(lián)系，逐步完善以軌道設(shè)計問題為導(dǎo)向的教學法，從而在探索和實踐中不斷地提升教學質(zhì)量。