基于高階梁理論的功能梯度材料自由振動分析

江 希 匡傳樹 帥 濤 耿培帥

(中國直升機設(shè)計研究所，江西景德鎮(zhèn)300300)

梁作為各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本組成單元，被普遍應(yīng)用于航空航天、土木和機械等各種工程實踐領(lǐng)域。引導(dǎo)梁理論發(fā)展的主要因素一方面為新材料的應(yīng)用，另一方面為新的工程實踐需求。

本文的理論及有限元方法主要研究目標(biāo)為功能梯度材料 (functionally graded material，F(xiàn)GM) 梁，因此先對 FGM 做簡單介紹。FGM 指一類組成結(jié)構(gòu)和性能在材料某個 (或多個) 方向上連續(xù)或準(zhǔn)連續(xù)變化的非均質(zhì)復(fù)合材料[1]。與傳統(tǒng)層合復(fù)合材料相比，F(xiàn)GM 具有更加優(yōu)異可設(shè)計性[2-3]，可有效減小層間殘余應(yīng)力和熱應(yīng)力，并且可以作為傳統(tǒng)層合結(jié)構(gòu)的粘合材料來提高層間粘合強度。余蓮英等[4]采用彈性力學(xué)逆解法，求得了功能梯度曲梁在端部受彎矩作用的解析解。李世榮等[5]基于Euler 梁理論給出了FGM 梁和均質(zhì)梁靜動態(tài)解之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Zhang[6]定義了 FGM 梁物理中面的明確表示式，將其引入Euler 梁理論，實現(xiàn)了非均質(zhì)梁的拉彎解耦，給出了靜動態(tài)解析解。徐華等[7]將物理中面的概念引入Timoshenko 梁理論，得到了FGM 梁與均勻梁靜力解的轉(zhuǎn)換關(guān)系。陳淑萍等[8]基于Timoshenko 梁理論分析了材料分布梯度對梁固有頻率的影響。

除材料應(yīng)用外，工程中需要更精細(xì)化的梁理論模型用以滿足更高精度的需求。因此學(xué)者構(gòu)造出了更多精細(xì)化的梁理論模型[9-13]。Levinson[12]最早在1981 年提出的軸向位移模式為三次函數(shù)的高次剪切變形理論。Reddy[13]變分自冾的概念引入到三次位移模式中，得到了變分自洽的高階梁板理論，該理論也是目前被研究和應(yīng)用最為廣泛的高階理論。Pei等[14-15]基于虛功和勢能等價的思想，推導(dǎo)出了適用于復(fù)合材料的變分自洽的高階梁理論和變分漸進(jìn)的低階梁理論。相較于Reddy 梁理論，該理論繼承了傳統(tǒng)均質(zhì)材料梁理論(Euler 梁和Timoshenko 梁)中物理量 (廣義位移、廣義力、剛度等) 意義清晰、本構(gòu)關(guān)系解耦等特點，并實現(xiàn)了向復(fù)合材料領(lǐng)域的延拓。

基于新型的高階梁理論，Pei 等[14]僅作了靜力學(xué)方面的分析?？紤]將其理論應(yīng)用于梁的模態(tài)分析，因此本文基于Pei 等[14]的高階梁理論，構(gòu)造了新型高階單元，通過有限元方法研究了功能梯度材料梁的自由振動問題。

1 基本方程

考慮等高度矩形截面梁，材料的楊氏模量E、剪切模量G及泊松比ν沿z方向變化。待需求解的位移場為軸向位移ux和橫向位移uz，兩者均為坐標(biāo)(x,z) 的函數(shù)，后續(xù)為簡寫不再注明自變量。

考慮梁結(jié)構(gòu)上下表面剪應(yīng)力自由，并忽略橫向正應(yīng)變，Pei 等[14]將梁的面內(nèi)位移場表示為

式中，zc為梁截面中性面，為高階翹曲函數(shù)，可由式(4)計算得到。u0為復(fù)合材料梁的拉伸，?為復(fù)合材料梁的轉(zhuǎn)角，w為復(fù)合材料梁的撓度，三者均僅為軸向坐標(biāo)x的函數(shù)，可由梁的位移場(ux,uz)定義為

其中B0為復(fù)合材料梁的拉伸剛度，B2為復(fù)合材料梁的剪切剛度，兩者與傳統(tǒng)均質(zhì)梁(Euler 梁和Timoshenko 梁) 中對應(yīng)物理量的物理意義相當(dāng)，它們的具體數(shù)學(xué)定義為

另外，式 (1) 的 1 式中，位移因函數(shù) “1”、“z ?zc”和均僅為坐標(biāo)z的函數(shù)，且它們具有如下性質(zhì)

式中g(shù)z為梁截面翹曲函數(shù)，較為常用函數(shù)包括：三次型z3、指數(shù)型(z?ze?2(z/t)3)、雙曲型(z?tsinh(z/t))和正弦型 (?z+(π2t/24) sin(zπ/t))，本文中算例均選用三次型翹曲函數(shù)。c 和λ為常數(shù)，它們分別為

由式 (1) 可得，梁截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

定義復(fù)合材料梁的軸力N，彎矩M，高階彎矩P，剪力Q分別為

將式(6) 代入式(7) 中，并考慮式(4) 中位移因函數(shù)與材料分布的關(guān)系，可得

式中Bs為剪切剛度，為剪切剛度系數(shù)，η為高階彎矩對應(yīng)的剛度系數(shù)，它們具體數(shù)學(xué)表示為

為后續(xù)簡寫，將梁的廣義位移、廣義應(yīng)力和廣義應(yīng)變表示為

其中L為微分算子矩陣，具體形式為

至此，已表示完新型高階功能梯度梁理論中廣義應(yīng)力、廣義應(yīng)變及廣義位移之間的關(guān)系。為后續(xù)推導(dǎo)有限元方程，這里給出新型梁理論的應(yīng)變能、外力勢能及動能表示式。

梁的應(yīng)變能Πε可表示為

以載荷向量q={N? M? q?}T為例，梁的外力勢能可表示為

根據(jù)式(1)，梁的動能Πv可表示為

2 有限元方程

本小節(jié)將根據(jù)上一小節(jié)的理論構(gòu)造2 節(jié)點8 自由度的C1 型高階梁單元Beam-H2。

將梁的廣義位移場u由節(jié)點位移向量插值表示為

其中N為形函數(shù)矩陣，具體形式為

梁單元局部坐標(biāo)與全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中B為幾何矩陣，可由N形函數(shù)矩陣表示為

將式(25) 代入式(15)，則梁的應(yīng)變能可離散表示為

其中下標(biāo) “n” 表示第n個單元，Ne代表單元個數(shù)。Ke為單元剛度矩陣，具體形式為

其中Le為單元積分域。

根據(jù)式(17) 和式(19)，梁的動能可離散表示為

其中Λ矩陣為

式(29) 中Me表示單元質(zhì)量矩陣，具體為

將式 (19) 代入式 (15)，則梁的外力勢能可離散表示為

對于動力學(xué)分析，可使用哈密頓原理進(jìn)行方程推導(dǎo)，該原理數(shù)學(xué)表示為

將式 (26)、式 (28) 及式 (32) 代入式 (34) 得

將式(35) 所表示的動力學(xué)平衡方程簡寫為

其中K為總體剛度矩陣，M為總體質(zhì)量矩陣，F(xiàn)為總體外載荷矩陣，它們分別由單元剛度陣Ke、單元質(zhì)量陣Me和單元載荷矩陣Fe組裝得到。

對于自由振動分析，略去外載荷F，并假設(shè)模態(tài)位移為可得

此時自由振動問題即轉(zhuǎn)化為求解K和M廣義特征值和特征向量的問題。至此可用于功能梯度梁模態(tài)分析的Beam-H2 單元已構(gòu)造完畢。

3 數(shù)值算例

3.1 均質(zhì)梁模態(tài)分析

本小節(jié)將使用Beam-H2 單元以如圖1 所示的懸臂梁為例做模態(tài)分析作為驗證性算例。

圖1 懸臂梁的幾何描述

梁長度L= 0.5 m，厚度t= 0.05 m，楊氏模量E= 210 GPa，剪切模量G= 80.77 GPa, 材料密度ρ=7850 kg/m2。本算例參考文獻(xiàn)[16-17] 做對比驗證。均質(zhì)懸臂梁的前五階固有頻率計算結(jié)果如表 1 所示。

表1 懸臂梁前五階圓頻率

對比段鐵城文獻(xiàn) [17] 和文獻(xiàn) [16] 以及 Timoshenko 梁理論的結(jié)果，Beam-H2 與它們都非常接近，即驗證本文中的理論及有限元方法是正確的。

圖2 對比了懸臂梁前五階固有振型，因不同理論所對應(yīng)的振型并沒有顯著差異，所以這里僅給出了Beam-H2 的振型圖。

圖2 懸臂梁的前五階固有振型

3.2 FGM 梁模態(tài)分析

在3.1 節(jié)中通過算例驗證了本文的Beam-H2 單元，本小節(jié)將利用Beam-H2 單元進(jìn)行FGM 梁模態(tài)分析，梁結(jié)構(gòu)仍如圖1 所示。L=1 m，t=0.1 m。

功能梯度材料為 Al-ZrO2， 其中鋁的密度為2700 kg/m3，楊式模量為 70 GPa；二氧化鋯的密度為 5850 kg/m3，楊氏模量為 200 GPa。材料性能分布公式[18-19]為

其中k為材料分布參數(shù)，t為梁厚度。P代表材料性能，如：楊式模量、剪切模量、泊松比或材料密度等,下標(biāo)m 代表金屬，下標(biāo)c 代表陶瓷。

定義無量綱頻率為

表 2 懸臂 FG 梁前三階圓頻率

表3 懸臂FG 梁前三階無量綱固有圓頻率

表3 懸臂FG 梁前三階無量綱固有圓頻率

k i 1 2 3 0 (陶瓷) 3.489 0 20.936 2 54.417 5 1 3.490 8 21.007 0 55.539 1 2 3.488 8 20.931 3 55.067 0 4 3.485 4 20.802 6 52.918 6∞ (鋁) 3.489 0 20.936 2 54.417 5

根據(jù)式(40)，可得FGM 梁固有頻率轉(zhuǎn)換式

因為式 (40) 和式 (41) 僅是對一個算例的歸納總結(jié)，僅驗證了材料分布參數(shù)k對的影響，結(jié)果可能存在一定偶然性，所以接下來將對式(40) 和式(41) 的適應(yīng)性作進(jìn)一步算例驗證分析。包括不同材料組分性能對的影響和長高比對的影響。

表 4 給定不同 r，s 值時所對應(yīng)的 e1 (單位：%)

由表 5 不同長高比的相對誤差可得，長細(xì)比較小(L/t<10) 時，長細(xì)比的變化對無量綱頻率影響越大，且頻率階次越高，影響越為顯著；而長細(xì)比較大(L/t >20) 時，長細(xì)比的變化對無量綱頻率影響較為微弱，若以(e2|L/t=80?e2|L/t=20) 的絕對值作為評判，則1 階偏差在 0.3%以內(nèi)，2 階偏差2%以內(nèi)，3 階偏差5%以內(nèi)。

表 5 不同長高比 (L/t) 所對應(yīng)的 e2 (單位：%)

4 結(jié)論

(1)轉(zhuǎn)換兩者的梁結(jié)構(gòu)長細(xì)比相同，可作3 階以內(nèi)頻率轉(zhuǎn)換。

(2) 轉(zhuǎn)換兩者的梁結(jié)構(gòu)長細(xì)比均較大 (L/t >20)，可作3 階以內(nèi)頻率轉(zhuǎn)換。

(3) 若僅作基頻轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換兩者長細(xì)比L/t >6即可。