時移電阻率反演模擬研究

蘇鵬，楊進

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100083)

0 引言

電阻率法廣泛應(yīng)用于水文、工程、環(huán)境地質(zhì)問題的探測工程中。通常，電阻率法用于對靜態(tài)的地下電性結(jié)構(gòu)進行成像，然而在環(huán)境監(jiān)測、地質(zhì)災(zāi)害監(jiān)測及地下水污染監(jiān)測中，由于地下介質(zhì)處于動態(tài)變化的狀態(tài)，如沿海地區(qū)地下水的海水入侵、山區(qū)滑坡巖移等，使用動態(tài)監(jiān)測的方法更為有效。針對上述這些動態(tài)問題，需要通過不同時間的多次觀測數(shù)據(jù)，利用時移電阻率法(time-lapse,ERT)來解決。目前，時移電阻率法正處于快速發(fā)展階段，在水文、環(huán)境領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用范圍逐漸擴大,例如：利用時移監(jiān)測方法研究滲流運移情況[1-3]，研究水文地質(zhì)參數(shù)變化規(guī)律[4-5]、溶質(zhì)運移[6-7]及研究地下熱傳導(dǎo)情況[8-10]；在國內(nèi)，李飛等[11]利用時移高密度法研究地下煤層開采所引起的上覆巖層變形破壞，孫大利等[12]使用高密度時移監(jiān)測分析堤壩隱患的時移特征。

時移電阻率反演算法基于常規(guī)2D/3D電阻率反演算法，但更加關(guān)注不同時刻觀測數(shù)據(jù)差異以及相應(yīng)地下電性結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的差異情況，旨在消除多個數(shù)據(jù)中的隨機誤差，凸顯地下介質(zhì)隨時間變化而發(fā)生的真實變化。Daily等[13]反演初始數(shù)據(jù)集和后續(xù)數(shù)據(jù)集的比值以凸顯地下電性變化；LaBrecque等[14]試圖最小化初始數(shù)據(jù)集和后續(xù)數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)差值及其與響應(yīng)模型差值；Kim等[15]提出將數(shù)據(jù)集和模型參數(shù)放入時空域(4D)中進行離散，以進行全4D反演；Hayley等[16]將多個不同時間點的數(shù)據(jù)集和模型參數(shù)同時反演迭代；Karaoulis等[17]對全4D時移電阻率反演方法進行改進，將時間正則項設(shè)置為可變的，并對超參數(shù)調(diào)優(yōu)方式加以改善；Loke等[18]利用光滑約束的最小二乘法結(jié)合L-curve的參數(shù)調(diào)優(yōu)方法來提高4D反演速度。

本文對高密度電法監(jiān)測數(shù)據(jù)時移反演做了初步研究，在對比分析上述不同時移算法的基礎(chǔ)上，采用Karaoulis的思路推導(dǎo)并實現(xiàn)了時移反演算法；通過模擬數(shù)據(jù)對比了常規(guī)電阻率反演和時移反演的效果，展示了時移反演算法在對動態(tài)地下目標(biāo)體的監(jiān)測追蹤中的優(yōu)越性。

1 時移電阻率反演

1.1 電阻率法反演理論

對于常規(guī)的2D/3D電阻率法而言，反演是通過所采集數(shù)據(jù)獲得可靠地下電性結(jié)構(gòu)的過程。在電阻率反演中，地下電性結(jié)構(gòu)為離散的模型參數(shù)電阻率，其反演問題是一個病態(tài)問題，故需要采取正則化的方法來避免反演的病態(tài)問題：

Φ(m)=Φd+βΦm，

(1)

式中：Φd為數(shù)據(jù)擬合差；Φm為模型正則項；β為正則化參數(shù)，用以平衡兩項的貢獻。上式具體展開形式如下[19]：

(2)

式中：Wd是一個數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣，它是一個對角矩陣；d(m)為正演所得預(yù)測數(shù)據(jù)；dobs為觀測數(shù)據(jù)；Wm為模型加權(quán)矩陣；m為迭代模型；mref為參考模型。

(3)

1.2 時移電阻率反演

相較于常規(guī)電阻率方法，時移電阻率法反演的目標(biāo)函數(shù)中添加了一個時間約束項，即目標(biāo)函數(shù)為：

(4)

式(4)可展開為如下形式：

(5)

(6)

對于時間加權(quán)項Wt，形式如下(以3個模型為例)：

對比式(3)與式(6)，兩者不同之處在于時移反演算法中需要構(gòu)建時間加權(quán)矩陣，改加權(quán)矩陣的作用是體現(xiàn)出不同時間的模型差異對目標(biāo)函數(shù)的貢獻。筆者編寫了時移電阻率反演程序，實現(xiàn)2D高密度電法時移反演。由于需要對模型約束和時間約束兩個正則化參數(shù)調(diào)優(yōu)，對模型約束項使用ACB方法[20]進行自動優(yōu)化。實際上，模型參數(shù)在時間域上的變化要小于空間域的分布，而且各不同時間點的基本地下結(jié)構(gòu)是保持不變的，所以時間正則項對目標(biāo)函數(shù)的貢獻要小于空間正則項，本文假設(shè)模型參數(shù)在時間域上的變化程度是中等的，時間正則化參數(shù)α=0.01[17]。

2 模擬數(shù)據(jù)反演分析

為了研究時移電阻率法反演的效果，首先建立一組(多個)正演模型(圖1)。其中，T0模型(圖1a)由兩部分組成，位于0～19 m，埋深4.44～7.88 m區(qū)域的電阻率設(shè)置為200 Ω·m，其余區(qū)域設(shè)定為100 Ω·m；后續(xù)的T1、T2、T3在T0模型基礎(chǔ)之上，設(shè)置一個隨著時間變化的目標(biāo)低阻體，電阻率為10 Ω·m，隨著時間的推移，目標(biāo)體逐漸擴散，在橫向和縱向均有變化，以便于檢驗反演算法的橫向(縱向)分辨能力。模擬常用的溫納陣列類型的數(shù)據(jù)，測線共有51個電極，電極距為1 m，在模擬數(shù)據(jù)中加入了5%的隨機噪聲。

圖1 不同時間點的模型Fig.1 The models of different time steps

在此基礎(chǔ)上，對以上各個模擬數(shù)據(jù)分別進行單獨反演和時移反演，經(jīng)過對所編寫的反演程序反復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)，通常情況下反演迭代過程擬合差下降速度較快，一般僅需迭代6次左右即可收斂，故將最大迭代次數(shù)設(shè)置為6，兩種不同反演方式的結(jié)果如圖2所示。

圖2 模擬數(shù)據(jù)單獨和時移反演結(jié)果Fig.2 The single inversion and time-lapse inversion results on simulation data

從圖2可以看到，單獨反演與時移反演兩種方法對不同數(shù)據(jù)均有較好的約束。其中，不同數(shù)據(jù)單獨反演的擬合差在3%～4%之間，而時移反演的總擬合差則小于1%。由于噪聲和誤差的影響，反演結(jié)果中存在與模型無法對應(yīng)的假異常。對比兩種反演方法的結(jié)果，時移反演的假異常明顯比單獨反演的要少，而且對目標(biāo)異常體的約束效果較好。為了突出地下目標(biāo)體的變化情況，兩種方法均以第一個模型的反演結(jié)果ρT0為基準(zhǔn)，通過ρTi-ρT0的方式來顯示各個模型的變動情況，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同模型反演結(jié)果的差異Fig.3 The difference images of inversion results

圖3中，代表了T1、T2、T3相對與T0時的地下目標(biāo)變化在反演結(jié)果中的相應(yīng)體現(xiàn)，由于所設(shè)定的變化目標(biāo)為一低阻體，故隨著該目標(biāo)的體積不斷增大，圖3中數(shù)值-0.3～-0.5所占的面積不斷增大，說明兩種方法均可以追蹤地下電阻率動態(tài)變化的目標(biāo)體。但是，對比時移反演(圖3b)和單獨反演(圖3a)的結(jié)果可以看出，時移反演對其變化的目標(biāo)具有更好的效果，而單獨反演的效果較差，其對變化的目標(biāo)體的約束不夠，并且依然存在不同程度的假異常。

3 結(jié)論

1) 通過對反演算法的理論推導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)，時移反演算法有別于常規(guī)算法之處在于該算法在目標(biāo)函數(shù)中添加了一個時間約束項，所以時移反演算法的效果主要取決于時間約束項構(gòu)建得是否合理。

2) 監(jiān)測的多個數(shù)據(jù)集中存在不同程度的隨機噪聲，是導(dǎo)致反演中出現(xiàn)假異常的原因之一。由于時移反演算法中時移約束項的存在，將不同時間點的數(shù)據(jù)集統(tǒng)一放入一個目標(biāo)函數(shù)中進行綜合考量，從而使得時間序列上相鄰的響應(yīng)模型構(gòu)成一定的聯(lián)系，在時空域(4D)尺度上進行最優(yōu)化，而不是孤立地對各個數(shù)據(jù)集和模型進行單獨反演。

3) 模擬數(shù)據(jù)的實驗表明，對于隨時間變化的電阻率異常體，電阻率法時移反演克服了多個數(shù)據(jù)集存在不同隨機噪聲的影響，能夠較好地約束地下動態(tài)目標(biāo)，追蹤其隨時間的變化情況。