一類Copulas最優(yōu)界的擾動及其相關(guān)性和對稱性

李麗君，徐付霞

(天津工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

(1)

則C(u,v)=AC(u,v)+SC(u,v). 若SC為0，則稱C是絕對連續(xù)的，如乘積CopulaΠ=uv和FGM CopulaCθ(u,v)=uv+θuv(1-u)(1-v)等是絕對連續(xù)的. 若AC為0, 則稱C是奇異的, 如Frechet-Hoeffding上下界M(u,v)=min(u,v)和W(u,v)=max(u+v-1,0), 以及單點值給定的Copula最優(yōu)上下界CU,CL:

CU(u,v)=min(u,v,θ+(u-a)++(v-b)+)

(2)

CL(u,v)=max(0,u+v-1,θ-(a-u)+-(b-v)+)

(3)

是奇異的[2]. Mesiar[3]研究了如下形式的擾動Copula

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

董永權(quán)[6]給出最大不可交換Copula的Spearman′sρ和Kendall′sτ秩相關(guān)系數(shù)的取值范圍, 以及兩種秩相關(guān)系數(shù)與 Blomqvist′sβ中位相關(guān)系數(shù)的關(guān)系. 徐付霞[7]研究了連續(xù)型廣義FGM Copulas 的相關(guān)性度量, 說明ρ,τ,γ和β相比于線性相關(guān)系數(shù)的優(yōu)越性. 徐付霞[8]基于Copula理論的隨機(jī)變量的相關(guān)性, 研究了某個單點值給定時Copula 最優(yōu)上下界的其他相關(guān)性度量φU,φL.本文旨在研究奇異型Copula增加擾動項后的新型Copula, 擾動參數(shù)對新型Copula 四種和諧性度量的影響.以Frechet-Hoeffding上下界M和W,CU和CL為例進(jìn)行深入分析. 計算其和諧性度量和不可交換性度量, 得到擾動參數(shù)對和諧性度量和對稱性的影響, 揭示增加擾動項后的奇異Copula的結(jié)構(gòu)特點和性質(zhì).

目前, 國內(nèi)外用Copula構(gòu)造相關(guān)性度量研究的文獻(xiàn)[9-11]很多, 但大多基于連續(xù)型的Copula, 如FGM Copulas, Archimedean Copulas, Clayton Copulas進(jìn)行構(gòu)造及相關(guān)性分析, 對奇異型Copula 研究較少. 本文對奇異型Copula增加擾動項構(gòu)造新的Copula, 并對其相關(guān)性度量進(jìn)行分析. 首先研究Frechet-Hoeffding 上下界添加擾動項構(gòu)造新的Copula的和諧性度量. 進(jìn)一步, 研究單點值給定的Copula的最佳上下界CU和CL增加擾動項后構(gòu)造的新的Copula的和諧性度量和不可交換性度量.

1 基于M和W的擾動Copula相關(guān)性度量

令C(u,v)=M(u,v)=min(u,v)由公式(4)給出的擾動Copula

定理1 令C(u,v)=W(u,v)=max(u+v-1,0)，由式(4)給出的擾動Copula

(9)

的四個和諧性度量分別為:

證明：由式(5) 得到

由式(6)

所以

由式(7)，

由式(8)

綜上，Copula增加擾動項后原Copula的相關(guān)系數(shù)-1由數(shù)拓展為區(qū)間[-1,1]，增加了Copula 的適用性.

2 基于CU的擾動Copula相關(guān)性度量

如果已知Copula的某些信息, 比如某個點的值已知, 它的Frechet-Hoeffding上下界會變窄:

定理2 設(shè)C是一個Copula, 若存在點(a,b)∈I2及θ滿足max(a+b-1)≤θ≤min(a,b)使得C(a,b)=θ，那么對任意的(u,v)∈I2，都有

CL(u,v)≤C(u,v)≤CU(v,u)

其中：CU和CL由式(2)、(3)給出，它們是C(u,v)的最佳上下界.

對它增加擾動項：

(10)

研究單點值給定的最優(yōu)界的擾動Copula的相關(guān)性度量的變化.

定理3 令C(u,v)=CU(u,v)=min(u,v,θ+(u-a)++(v-b)+)，則由公式(4)給出的擾動Copula的四個相關(guān)性度量分別是：

其中A=12-20α(a+b),B=12α(a2+3ab+b2)-18(a+b),C=-2α(a3+b3)-18αab(a+b)-6(a2+4ab+b2),D=2αab(a2+3ab+b2)-6ab(a+b)+1,E=4(α2ab-1)+2α2(a+b)2,F=4(a+b)-2α2ab(2a+b),G=1+2α2ab2(a-1)-4ab,H=-2αa-13αb-6α-7,I=a(2-α)+1/2(b-1)(3-α)-αb(2a+b),J=1/4b2(7-5α)+5b(1/2+1/3αb2)+αa(a-1)+ab(α-1)+1/4(α+1)+αb(2ab-1/2)

其中A1=[0,θ]×[0,u]∪[θ,a]×[u-θ+b,1]∪[a,a+b-θ]×[a+b-θ,1]∪[a+b-θ,1]×[u,1],B1=[0,θ]×[0,u]∪[a,θ]×[0,θ]∪[a,a+b-θ]×[0,u+θ-a]∪[a+b-θ,1]×[0,u],C1=[θ,a]×[θ,b],D1=[a,a+b-θ]×[a+θ-u,b],E1=[a,a+b-θ]×[u-a+θ,b],F1=[θ,a]×[b,u+b-θ],

其中，

A,B,C,D的表達(dá)式見定理3.

由式(6)

得到

Eθ3+Fθ2+Gθ+H

其中:E,F,G,H的表達(dá)式見定理3.

由式(7)，得到

其中：I,J,K的表達(dá)式見定理3.

當(dāng)(u,v)=(1/2,1/2)時，b-θ≤a-b≤a-θ時，落入[θ,a]×[b,a+b-θ]區(qū)域內(nèi)，得到

經(jīng)驗證，當(dāng)α=0時所得的相關(guān)系數(shù)與文獻(xiàn)[6]中結(jié)果一致，

3 基于兩類CU和CL的擾動Copula的不可交換性度量

(11)

利用上式推導(dǎo)下面四個最大不可交換Copula：

(12)

(13)

1) 當(dāng)(u,v)落在v=u+1/3和v=u+2/3之間時, 有

2) 當(dāng)(u,v)落在v=u+1/3和v=u-1/3之間時, 有

3) 當(dāng)(u,v)落在v=u-1/3和v=u-2/3之間時, 有

4 結(jié) 語

Copula函數(shù)最重要的功能就是度量隨機(jī)變量之間的相關(guān)性. 奇異型Copula雖少，卻是Copula函數(shù)不可缺少的組成部分，例如本文中研究的W，M，CU，CL是具有代表性的函數(shù). 構(gòu)造奇異型Copula族并研究其相關(guān)性度量和不可交換性度量，是基于Copula函數(shù)的理論研究，增加了Copula可描述的隨機(jī)變量的范圍，增加了它的適用性.