基于四元數(shù)的垂直發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)學(xué)建模及控制策略研究

王齊雙，劉鈞圣，譚天漢，李永生，常冠男

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

垂直發(fā)射技術(shù)興起于艦載防空導(dǎo)彈系統(tǒng)，相對傳統(tǒng)傾斜發(fā)射方式具有作戰(zhàn)反應(yīng)時間短、載彈量大、全方位打擊、結(jié)構(gòu)簡單、隱蔽性高、平臺移植性好等優(yōu)點，是一種極具發(fā)展前途的發(fā)射方式，美國的MK41、以色列的巴拉克、英國的海狼垂直發(fā)射系統(tǒng)等紛紛成為主流的艦載武器。進(jìn)入21世紀(jì)，以美國提出的“網(wǎng)火”系統(tǒng)為代表，可全方位對地面裝甲車輛、指揮陣地、低空飛行的武裝直升機(jī)、無人機(jī)等目標(biāo)形成高效毀傷的垂直發(fā)射型多用途導(dǎo)彈得以迅速發(fā)展。

圖1 美“網(wǎng)火”PAM垂直發(fā)射導(dǎo)彈

傳統(tǒng)飛行力學(xué)中采用歐拉角(?，φ，γ)描述導(dǎo)彈運動，所建立導(dǎo)彈空間運動模型如圖2所示。

圖2 導(dǎo)彈運動示意圖

此時，導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程如下[1]：

(1)

從式(1)看出，當(dāng)俯仰角?=90°時，方程出現(xiàn)奇異點，因此通過歐拉角的方式描述垂直發(fā)射導(dǎo)彈的空間運動是不合適的，必須借助四元數(shù)來實現(xiàn)。四元數(shù)可以用來表述物體空間轉(zhuǎn)動，任何一個參數(shù)都不會退化，還可減少三角函數(shù)運算，提高運算速度和參數(shù)精度。根據(jù)四元數(shù)變換原理，從導(dǎo)彈發(fā)射系到彈體坐標(biāo)系的左邊變換矩陣可表示為[2]：

(2)

文中基于四元數(shù)在彈體坐標(biāo)系下建立了垂直發(fā)射導(dǎo)彈空間運動模型[3]，設(shè)計了導(dǎo)彈發(fā)射后的姿態(tài)控制器，實現(xiàn)了導(dǎo)彈快速轉(zhuǎn)彎、對準(zhǔn)射面、傾斜穩(wěn)定飛行，對垂直發(fā)射導(dǎo)彈總體方案設(shè)計和性能校核具有一定的指導(dǎo)意義。

1 導(dǎo)彈運動方程

1.1 導(dǎo)彈受力分析

垂直發(fā)射導(dǎo)彈通過推力矢量技術(shù)來實現(xiàn)導(dǎo)彈的全方位快速轉(zhuǎn)彎，常用的推力矢量技術(shù)有燃?xì)舛?、推力矢量噴管、擾流器、脈沖發(fā)動機(jī)等。燃?xì)舛娉杀镜土?、?gòu)成簡單，一般安裝在發(fā)動機(jī)噴口處，在發(fā)動機(jī)推力作用下產(chǎn)生控制力。以燃?xì)舛鎸崿F(xiàn)轉(zhuǎn)彎的垂直發(fā)射導(dǎo)彈，受到的力在彈體坐標(biāo)系上可表示為：

(3)

式中：[Fxb,Fyb,Fzb]為導(dǎo)彈受到的氣動軸向力、法向力和側(cè)向力;[Fxc,Fyc,Fzc]是燃?xì)舛嬖谕屏ψ饔孟庐a(chǎn)生的沿彈體坐標(biāo)系上的合控制力。

(4)

在導(dǎo)彈的氣動布局和外形幾何參數(shù)給定的情況下，軸向力系數(shù)Ca、法向力系數(shù)Cn、側(cè)向力系數(shù)Cz與飛行Ma數(shù)、合攻角αc、氣流扭角Φ、俯仰舵偏角δz、偏航舵偏角δy、滾轉(zhuǎn)舵偏角δx等有關(guān)，即

C=F(Ma,αc,Φ,δz,δy,δx)

(5)

采用“X-X”氣動布局的導(dǎo)彈，[Fxc,Fyc,Fzc]與單片燃?xì)舛媸芰﹃P(guān)系為：

(6)

式中：Fxc1,Fxc2,Fxc3,Fxc4分別為四片燃?xì)舛嬖谕屏ψ饔孟碌妮S向力；Fc1,Fc2,Fc3,Fc4分別為四片燃?xì)舛嬖谕屏ψ饔孟碌姆ㄏ蛄?，這些力與燃?xì)舛嫘?、燃?xì)舛嫫?、推力等有關(guān)。

1.2 力矩分析

為研究導(dǎo)彈繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動，對導(dǎo)彈的力矩進(jìn)行建模，包括氣動力矩、燃?xì)舛娈a(chǎn)生的操控力矩、阻尼力矩等，合力矩可表示為：

(7)

(8)

上式中my1、mz1為以彈體頭部為參考點的氣動力矩系數(shù)，Xm為質(zhì)心相對于彈頭的位置。

1.3 運動方程組

描述導(dǎo)彈的空間運動包括質(zhì)心的動力學(xué)方程、質(zhì)心運動學(xué)方程、繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程、彈體轉(zhuǎn)動運動學(xué)方程、控制關(guān)系方程等。

在彈體坐標(biāo)系下建立導(dǎo)彈質(zhì)心的動力學(xué)方程，由矢量絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：

(9)

由此可得到導(dǎo)彈質(zhì)心運動的動力學(xué)方程標(biāo)量形式：

(10)

導(dǎo)彈質(zhì)心在彈體坐標(biāo)系下的運動學(xué)方程可表示為：

(11)

導(dǎo)彈繞質(zhì)心在彈體坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程可表示為：

(12)

導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動運動學(xué)方程可表示為：

(13)

式(10)～式(13)可以建立導(dǎo)彈的無控飛行運動方程，如果需要描述導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎飛行和末制導(dǎo)飛行過程，還需建立控制關(guān)系方程。

此外，根據(jù)導(dǎo)彈運動過程，合攻角αc、氣流扭角Φ可通過以下方式求得：

(14)

(15)

2 控制關(guān)系研究

2.1 俯仰通道控制

垂直發(fā)射導(dǎo)彈發(fā)射出筒后迅速調(diào)整姿態(tài)，使導(dǎo)彈朝向目標(biāo)飛行。在飛行過程中，俯仰通道按照設(shè)定的姿態(tài)控制方案消除控制偏差，控制結(jié)構(gòu)圖如圖3[4]。

圖3 俯仰通道姿態(tài)控制框圖

在轉(zhuǎn)彎過程中采用最佳軸控制原理，俯仰通道按照預(yù)定的姿態(tài)指令飛行，即：?c=Kzb，典型的俯仰姿態(tài)控制指令如圖4。

圖4 俯仰姿態(tài)控制指令

導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)后進(jìn)入末制導(dǎo)飛行，采用比例導(dǎo)引法實現(xiàn)對目標(biāo)的精確打擊，導(dǎo)引律的簡化形式表示為：

(16)

2.2 偏航通道控制

在導(dǎo)彈發(fā)射后，導(dǎo)彈偏航通道控制與俯仰通道類似，采用姿態(tài)追蹤導(dǎo)引律消除偏差，消除方法可采用：

(17)

從導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)到命中目標(biāo)為末制導(dǎo)段，采用比例導(dǎo)引律生成偏航通道過載指令，實現(xiàn)對橫向位置誤差的修正，導(dǎo)引律可表示為：

(18)

2.3 滾轉(zhuǎn)通道控制

導(dǎo)彈飛行過程中采用傾斜穩(wěn)定控制，即γc=0。為了提高導(dǎo)彈的抗干擾能力，在導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定回路中加入PI校正，控制框圖如圖5所示[5]。

圖5 滾轉(zhuǎn)通道控制框圖

2.4 轉(zhuǎn)彎策略研究

垂直發(fā)射導(dǎo)彈發(fā)射后快速轉(zhuǎn)彎，調(diào)轉(zhuǎn)射面能夠360°全向攻擊目標(biāo)，具有良好的發(fā)射適應(yīng)性。垂直發(fā)射導(dǎo)彈常用的轉(zhuǎn)彎策略有三種：先滾后轉(zhuǎn)、先轉(zhuǎn)后滾和邊滾邊轉(zhuǎn)[6]。

1)先滾后轉(zhuǎn)

導(dǎo)彈發(fā)射啟控后即刻開始滾轉(zhuǎn)控制，飛行一定高度后開始轉(zhuǎn)彎控制。該方案使彈體滾動和轉(zhuǎn)彎錯開，可以減小氣動、運動交聯(lián)耦合帶來的非線性影響，降低了對舵偏角的需求，但是由于轉(zhuǎn)彎啟動晚，對打擊近射程目標(biāo)較為困難。

2)先轉(zhuǎn)后滾

導(dǎo)彈發(fā)射啟控后即刻開始轉(zhuǎn)彎控制，滾轉(zhuǎn)通道采用滾轉(zhuǎn)角速度穩(wěn)定控制，當(dāng)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后開始滾轉(zhuǎn)控制。該方案同樣可減小氣動、運動交聯(lián)耦合帶來的非線性影響，降低對舵偏角的需求，也可適用于近射程要求嚴(yán)格的情況。

3)邊滾邊轉(zhuǎn)

導(dǎo)彈發(fā)射后同時進(jìn)行滾轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)彎控制。該方案可以在短時間內(nèi)完成轉(zhuǎn)彎和射面對準(zhǔn)，控制效率高，有利于近射程目標(biāo)打擊。但是轉(zhuǎn)彎和滾動過程中易出現(xiàn)氣動、運動耦合，呈現(xiàn)非線性氣動特性，舵偏角易飽和。

3 彈道仿真

依據(jù)建立的垂直發(fā)射導(dǎo)彈運動方程，對某型導(dǎo)彈的空間運動進(jìn)行仿真。初始條件為：導(dǎo)彈初速V0=20 m/s，目標(biāo)初始位置Xm=3 000 m，目標(biāo)橫向運動，運動速度Vm=10 m/s，初始姿態(tài)?=90°，φ=0°，γ=150°，導(dǎo)彈的氣動力系數(shù)、力矩系數(shù)通過CFD仿真建模得到。為減小轉(zhuǎn)彎過程中由于氣動、運動引起的耦合線性，導(dǎo)彈在大攻角下呈現(xiàn)非線性特性，轉(zhuǎn)彎采用先轉(zhuǎn)后滾的策略。在Simulink上建模并仿真，得到導(dǎo)彈的飛行規(guī)律曲線如圖6所示。

圖6 仿真曲線

4 結(jié)論

垂直發(fā)射導(dǎo)彈具有全向攻擊、響應(yīng)速度快、裝填密度高、作戰(zhàn)效能高等優(yōu)點。采用傳統(tǒng)歐拉角的方式描述導(dǎo)彈運動時，垂直發(fā)射導(dǎo)彈會存在奇異點的情況。文中基于四元數(shù)建立了垂直發(fā)射導(dǎo)彈的空間運動數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)了導(dǎo)彈發(fā)射后俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)三通道控制器設(shè)計，并對不同的轉(zhuǎn)彎策略進(jìn)行了研究，采

用先轉(zhuǎn)后滾策略進(jìn)行了建模仿真。仿真結(jié)果表明，建立的數(shù)學(xué)模型和控制器能夠描述垂直發(fā)射導(dǎo)彈的空間運動。