雙旋彈非線性角運動特性分析

李佳訊，沈元川, 賈振岳，于劍橋

(1 北京理工大學(xué)，北京 100081；2 北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

針對旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸高轉(zhuǎn)速的特點，通過采用鴨舵組件代替原有引信構(gòu)成“雙旋”結(jié)構(gòu)實現(xiàn)對旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈智能化、靈巧化改造已經(jīng)成為該領(lǐng)域的強烈共識。雙旋彈動力學(xué)具有強耦合、強非線性的特點，同時結(jié)構(gòu)的變化與控制系統(tǒng)的引入使得彈丸的諸多非線性運動現(xiàn)象難以用線性系統(tǒng)理論分析和解釋，因此對雙旋彈開展非線性動力學(xué)分析具有重要的理論意義與工程應(yīng)用價值。

雙旋彈在飛行過程中有時會出現(xiàn)攻角大小不衰減的圓錐擺動，使得彈丸射程減小，甚至導(dǎo)致運動出現(xiàn)失穩(wěn)。對于旋轉(zhuǎn)彈的角運動特性分析，一般借助美國著名外彈道學(xué)者Murphy針對彈箭建立的角運動方程[1-2]。韓子鵬對彈箭的圓錐運動以及非線性角運動特性開展了深入的研究，發(fā)表了多篇學(xué)術(shù)著作[3-4]。常思江等對雙旋彈前體周期性干擾引起的強迫運動進行了研究，得到了周期性舵控作用強迫項對應(yīng)特解的表達式，并對前體轉(zhuǎn)速閉鎖問題進行了初步分析[5]。舒敬榮等研究了非線性力矩作用下氣動偏心的低速旋轉(zhuǎn)彈丸的強迫圓錐運動的穩(wěn)定性條件[6]。

在彈道的非水平段，當偏航舵偏轉(zhuǎn)到一定程度時，雙旋彈角運動會產(chǎn)生動態(tài)失穩(wěn)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象是雙旋彈動力學(xué)分岔造成的。分岔分析是研究非線性動力學(xué)系統(tǒng)復(fù)雜運動行為，掌握解的拓撲結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)參數(shù)之間關(guān)系的一種手段，在飛行器工程領(lǐng)域取得了許多有價值的研究成果。Carroll等采用分岔分析方法研究了大攻角下飛行器的動力學(xué)問題[7]。許多生等提出了一種快速有效的研究方法，對飛機滾轉(zhuǎn)時的慣性耦合運動進行了分岔分析和穩(wěn)定性分析[8]。Gill等對標準飛行包線外的飛行器控制器特性進行了分岔分析，研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制器參數(shù)的關(guān)系[9]。鐘揚威等研究了彈箭角運動的霍普夫分岔現(xiàn)象，分析了飛行高度對極限環(huán)擺幅的影響[10]。

文中根據(jù)雙旋彈非線性角運動方程組，從氣動非線性和幾何非線性兩個角度分別研究了雙旋彈典型的非線性運動特性。給出了基于平均法的角運動擬線性分析方法，以及基于中心流行定理的角運動分岔分析方法。結(jié)合某型雙旋彈參數(shù)，得到了三次方靜力矩作用下雙旋彈產(chǎn)生穩(wěn)定圓錐擺動的必要條件，同時分析了以偏航舵偏角為分岔參數(shù)的雙旋彈非線性角運動分岔特性。最后通過數(shù)值仿真，驗證了分析方法和結(jié)果的正確性。

1 雙旋彈非線性角運動方程

對于雙旋彈的角運動，可以認為雙旋彈速度V、轉(zhuǎn)速ωx為慢變量，故選取x=[αβωzωy]T為雙旋彈非線性角運動的狀態(tài)。同時假設(shè)雙旋彈穩(wěn)定飛行過程中α、β為小量，即sinα≈α，sinβ≈β，cosα≈1，cosβ≈1，且小量的乘積為0。進一步，忽略馬格努斯力以及舵面控制力對雙旋彈角運動的影響。根據(jù)雙旋彈的運動方程組，可以推導(dǎo)非線性角運動方程為:

(1)

式中:

2 氣動非線性下角運動特性分析

2.1 雙旋彈角運動振幅平面方程

在討論氣動非線性對雙旋彈角運動的影響時，可以引入水平彈道假設(shè)，即?= 0°。采用Murphy穩(wěn)定性理論中的復(fù)數(shù)分析方法，定義復(fù)數(shù)變量Δ=β+iα和δ=δy+iδz，從式(1)中消去ωz、ωy及其導(dǎo)數(shù)，可以得到雙旋彈的非線性復(fù)攻角方程：

(2)

(3)

設(shè)式(3)的解具有二圓運動的形式：

Δ=K1eiφ1+K2eiφ2

(4)

定義阻尼因子λi：

(5)

將式(4)、式(5)代入式(3)得：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

同理可以得到：

(11)

(12)

2.2 圓錐運動穩(wěn)定條件

(13)

(14)

需要注意的是，λ1和λ2表達式有意義需要滿足：

(15)

(16)

(17)

(18)

綜合式(15)、式(17)，由李雅普諾夫判據(jù)可知，雙旋彈存在穩(wěn)定的圓錐運動的必要條件為：

(19)

(20)

式中:

綜上所述，式(19)、式(20)構(gòu)成了雙旋彈在三次方靜力矩作用下產(chǎn)生穩(wěn)定圓錐運動的必要條件。

2.3 仿真驗證

為驗證上述結(jié)論的合理性，選取不同氣動參數(shù)組合進行數(shù)值仿真，如表1所示。

表1 氣動參數(shù)表

圖1 算例1中初始狀態(tài)在極限環(huán)內(nèi)的相軌

圖2 算例1中初始狀態(tài)在極限環(huán)外的相軌

圖3 算例2中初始狀態(tài)在極限環(huán)內(nèi)的相軌

圖4 算例2中初始狀態(tài)在極限環(huán)外的相軌

圖5 算例3中相軌

圖6 算例4中相軌

3 幾何非線性下角運動特性分析

3.1 角運動穩(wěn)定邊界條件

設(shè)γ=[δyδz]T是含參非線性系統(tǒng)式(1)的參變量，設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe(γ)=[αeβeωzeωye]T，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的雅克比矩陣為：

(21)

對應(yīng)的四階特征方程可以表示為：

s4+p1s3+p2s2+p3s+p4=0

(22)

對于穩(wěn)定飛行的雙旋彈，ωze、ωye的數(shù)值非常小，取ωze≈0，ωye≈0，并做mΔ≈M，mω≈PT的近似處理，則式(22)中特征方程系數(shù)表達式為：

(23)

若忽略αe，并令HPT-PM=Q，根據(jù)四階勞斯-霍爾維茨判據(jù)，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)穩(wěn)定的充要條件為特征方程式(22)的系數(shù)滿足如下條件：

(24)

將式(23)代入式(24)可以得到關(guān)于βetan?的二次不等式:

r1(βetan?)2+r2(βetan?)+r3<0

(25)

其中多項式系數(shù)滿足：

(26)

對于雙旋彈一般有M>>HT，則可由式(25)得到系統(tǒng)穩(wěn)定時βetan?需要滿足的邊界條件為：

β1<βetan?<β2

(27)

式中：

由式(27)可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定時δy需要滿足的邊界條件為：

(28)

式中：

3.2 分岔特性分析

在臨界點處，系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性發(fā)生了突變，其動力學(xué)發(fā)生了分岔現(xiàn)象，下面對雙旋彈的分岔性態(tài)進行計算分析。

表2 氣動參數(shù)表

考慮?=-45°，以δy為分岔參數(shù)μ，使用x1,x2,x3,x4表示系統(tǒng)的狀態(tài)，將表2的氣動參數(shù)代入角運動方程式(1)中，得到含參非線性系統(tǒng)：

(29)

使用式(28)的結(jié)論，可以驗證當μ=μ0=0.2時，系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生突變，此時系統(tǒng)的平衡點與雅克比矩陣特征值如表3所示。在此平衡點處，特征值為兩對共軛復(fù)數(shù)，一對特征值具有負實部，另一對特征值實部為零。根據(jù)霍普夫分岔定理[11]，該平衡點為系統(tǒng)的一個霍普夫分岔點，且系統(tǒng)在分岔點附近將會產(chǎn)生極限環(huán)。下面將對系統(tǒng)在分岔點附近的運動特性進行深入分析。

表3 系統(tǒng)平衡點和雅克比矩陣特征值

不失一般性，在分岔點附近將平衡點擬合為分岔參數(shù)μ的線性函數(shù)，將系統(tǒng)的原點移至平衡點，并令μ=λ+μ0，則雙旋彈角運動方程在分岔點附近可以等價描述為：

(30)

根據(jù)文獻[12]中心流行定理的計算方法，取非奇異線性變換矩陣B為表3每對共軛特征值所對應(yīng)的一個特征向量的實部與虛部構(gòu)成的方陣，如式(31)所示。

(31)

做非奇異變換x=By，系統(tǒng)式(30)可以變換為：

(32)

其中G(y,λ)為系統(tǒng)的非線性項。根據(jù)中心流行定理，系統(tǒng)式(32)過霍普夫分岔點(0, 0)有二維穩(wěn)定流行和中心流行，可以計算出二維中心流行為：

(33)

其中H.O.T表示3階以上的高階項。

將式(33)代入式(32)中可以得到原系統(tǒng)降維后的二維約化方程：

(34)

根據(jù)中心流行定理，原系統(tǒng)在霍普夫分岔點附近的運動特性可通過分析約化方程式(34)來確定。

令y1=rcosθ，y2=rsinθ，將約化方程式(34)在極坐標下寫成規(guī)范形形式：

(35)

3.3 仿真驗證

為了驗證上述結(jié)論的有效性，將式(27)、式(28)計算結(jié)果與Matcont數(shù)值仿真結(jié)果進行對比。當?=45°時，由式(27)、式(28)可以得到雙旋彈角運動穩(wěn)定時βe所需要滿足的邊界條件為-26.6°<βe< 2.3°，對應(yīng)的，δy所需要滿足的邊界條件為-8.5°<δy< 76.4°；當?=-45°時，由式(27)、式(28)可以得到雙旋彈角運動穩(wěn)定時βe所需要滿足的邊界條件為-4.5°<βe< 26.5°，對應(yīng)的，δy所需要滿足的邊界條件為-79.5°<δy< 11.5°。

Matcont數(shù)值仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。圖7為?= 45°時，平衡攻角、側(cè)滑角隨δy變化的曲線，l1，k1段對應(yīng)的為不穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，l2，k2段對應(yīng)的為穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，當δy=-8.8°時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)屬性發(fā)生了突變，對應(yīng)圖中H1點，此時αe=-0.07°，βe=2.4°；圖8為?=-45°時的分岔圖，l3，k3段對應(yīng)的為穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，l4，k4段對應(yīng)的為不穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，當δy=13.5°時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)屬性發(fā)生了突變，對應(yīng)圖中H2點，此時αe=0.2°，βe=-4.9°。數(shù)值仿真得到系統(tǒng)失穩(wěn)邊界的βe，δy與式(27)和式(28)計算得到的穩(wěn)定邊界基本一致，表明穩(wěn)定邊界條件可以作為偏航舵偏角引起雙旋彈在非水平彈道處動態(tài)失穩(wěn)的判定依據(jù)。

圖7 ?=45°時以δy為分岔參數(shù)的分岔圖

圖8 ?=-45°時以δy為分岔參數(shù)的分岔圖

為驗證式(35)描述的系統(tǒng)在分岔點附近的運動特性，使用Matcont對系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象進行了數(shù)值仿真計算，系統(tǒng)平衡狀態(tài)αe，βe隨分岔參數(shù)δy的變化如圖9所示。隨著δy的變化，系統(tǒng)在δy,0處產(chǎn)生了霍普夫分岔，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)由穩(wěn)定的平衡點突變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點，并在穩(wěn)定平衡點一側(cè)產(chǎn)生不穩(wěn)定極限環(huán)，極限環(huán)的幅值隨著|δy-δy,0|增大而增大。數(shù)值仿真結(jié)果與理論分析結(jié)論一致，表明上述分岔分析方法能夠準確描述雙旋彈的角運動特性。

4 結(jié)論

根據(jù)雙旋彈的非線性角運動方程，從氣動非線性和幾何非線性兩個方面對雙旋彈非線性運動特性進行了分析，結(jié)論為：

1)三次方非線性靜力矩作用下的雙旋彈，在滿足式(19)、式(20)所確定的約束條件時，其角運動能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的圓錐運動，此時雙旋彈攻角不衰減，會影響彈丸的射程，甚至導(dǎo)致飛行失穩(wěn)，對于雙旋彈的結(jié)構(gòu)、氣動設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

2)當雙旋彈的彈道不平直時，且當偏航舵偏角增大到一定程度時，產(chǎn)生的頭部側(cè)向控制力會導(dǎo)致角運動動態(tài)失穩(wěn)。在臨界點處動力學(xué)發(fā)生了霍普夫分岔現(xiàn)象，越過分岔點穩(wěn)定的平衡狀態(tài)消失，而在穩(wěn)定分岔點一側(cè)產(chǎn)生了不穩(wěn)定的極限環(huán)?？刂品桨傅脑O(shè)計過程應(yīng)避免使雙旋彈角運動進入不穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定平衡點的吸引域。