運(yùn)用斜交分解法巧解類拋體運(yùn)動(dòng)問題

劉二虎 鄭慧玉

(江蘇省泗洪中學(xué),江蘇 宿遷 223900)

類拋體運(yùn)動(dòng)是中學(xué)物理中常見問題,主要通過運(yùn)動(dòng)的合成與分解來求解。其中,正交分解法是最常用的分解方法,即將速度和加速度分解到兩個(gè)相互垂直的方向上,形成各自獨(dú)立的直線運(yùn)動(dòng)。正交分解法形式固定、易掌握,但計(jì)算較為繁雜。斜交分解是將運(yùn)動(dòng)依據(jù)速度和加速度的特點(diǎn),分解形成兩個(gè)彼此獨(dú)立、互不垂直的直線運(yùn)動(dòng),可簡化計(jì)算過程,方法更加巧妙，以下探討幾類利用斜交分解法處理的類拋體問題。

1 重力場中的一般拋體運(yùn)動(dòng)

例1：如圖1所示,小球以初速度v0在距離地面高度為h的位置向上斜拋，求拋射的最大水平射程。

圖1

解析:這是典型的重力場中拋體運(yùn)動(dòng)問題,用正交分解法解題時(shí)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng),通過聯(lián)立兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向上的方程,把水平位移寫成關(guān)于拋射角度的函數(shù)，進(jìn)而求極值。

圖2

圖3

小結(jié):利用斜交分解法避開了較為復(fù)雜的函數(shù)極值求解,將水平位移巧妙過渡到速度的矢量三角形運(yùn)算上,計(jì)算簡潔，在利用斜交分解法時(shí)需要透徹理解矢量運(yùn)算和運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性。

2 靜電場中的類拋體運(yùn)動(dòng)

例2：如圖4所示,在絕緣光滑平面上有與桌面平行,大小恒為E的勻強(qiáng)電場，圖中實(shí)線為電場的等勢面，一帶正電、電量為q的小球從A點(diǎn)釋放。已知小球初速度為v0,方向與BC平行,過B點(diǎn)的等勢線與BC的夾角為30°,AB與等勢線垂直,AB=BC，求小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)間t。

圖4

解析:這是常見的帶電小球在靜電場中做類拋體運(yùn)動(dòng)問題,如果運(yùn)用正交分解法,小球在水平方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),通過聯(lián)立兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)方程來求解。

根據(jù)小球速度和受力特點(diǎn),可以將運(yùn)動(dòng)分解為沿著初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿著電場力方向(即AB方向)的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)(圖5)。通過斜交分解后的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)形式更簡單,處理起來也更為簡便。

圖5

圖6

小結(jié):采用正交分解法時(shí)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)都是初速度不為零的勻變速運(yùn)動(dòng)；而利用斜交分解，能將運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)更為簡單的運(yùn)動(dòng),結(jié)合分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系,能更快解決問題。運(yùn)用斜交分解法處理這類問題時(shí)明顯更為巧妙,避開了較為繁瑣的計(jì)算。

3 重力場和靜電場相疊加的類拋體運(yùn)動(dòng)

例3：如圖7所示,在水平面上有一個(gè)帶負(fù)電的小球,電荷量為q,在平面上有平行地面的水平向右、大小為E的勻強(qiáng)電場,小球在空中以水平速度v0拋出,若小球足夠高,求小球落地前的最小速度和時(shí)間。

圖7

解析:運(yùn)用正交分解法，小球的運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向上的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng),利用兩個(gè)分速度可求得小球運(yùn)動(dòng)過程中速度和時(shí)間的關(guān)系,再進(jìn)行臨界值的求解，而運(yùn)用斜交分解法可以將求解過程簡化。

圖8

圖9

小結(jié):運(yùn)用斜交分解法后，小球的運(yùn)動(dòng)變?yōu)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)和等效自由落體運(yùn)動(dòng)的合成,分運(yùn)動(dòng)的形式比用正交分解法更為簡單，從而能更加巧妙地找出速度最小時(shí)所對應(yīng)的物理狀態(tài)。

4 變阻力作用下的拋體運(yùn)動(dòng)

例4：如圖10所示,質(zhì)量為m的小球在地面上一定高度水平拋出,平拋的初速度為v0,在重力和空氣阻力的作用下經(jīng)過一段時(shí)間落到地面上,已知落地時(shí)速度方向和水平面的夾角為θ,空氣阻力f=kv,求落地時(shí)的速度大小v。

圖10

解析:小球在拋射的過程中除了受到恒定的重力的作用外,還受到一個(gè)大小隨速度變化的阻力的作用。若運(yùn)用正交分解法,小球在水平和豎直兩個(gè)方向都受到一個(gè)變化的阻力作用,導(dǎo)致兩方向上的加速度都不是定值,求解較為復(fù)雜，采用斜交分解法可以避開變化的阻力,簡化計(jì)算過程。

圖11

圖12

小結(jié)：對于這類變阻力問題，在運(yùn)用斜交分解法構(gòu)建兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí),通過補(bǔ)償特定大小的速度，使重力平衡豎直方向上的阻力,從而將這個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)變成速度大小已知的勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此來實(shí)現(xiàn)對速度矢量的求解,巧妙地將復(fù)雜的變加速問題進(jìn)行簡化處理。

5 結(jié)語

從重力場、靜電場、復(fù)合場以及變阻力四種情形下類拋體運(yùn)動(dòng)的典型問題的解析可以看出：正交分解對運(yùn)動(dòng)分解的“門檻”相對較低,但常常要解析兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng),處理起來相對繁瑣。而運(yùn)用斜交分解法時(shí)能從速度和加速度兩個(gè)角度出發(fā),分解為更易處理的分運(yùn)動(dòng),往往可以分解出一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)或初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用斜交分解法，在計(jì)算上更多地利用位移、速度矢量三角形,能更加巧妙地解決問題。