廖山濤與微分動力系統(tǒng)文蘭院士訪談錄

王濤 付曉青

作者簡介：王濤，1988年生，河北武安人，中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所副研究員，研究方向為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。Email：mbokey@126.com;付曉青，1981年生，山東臨淄人，山東大學(xué)歷史文化學(xué)院講師，研究方向為數(shù)學(xué)文化。

基金項目：國家自然科學(xué)基金（項目編號：11801553）;中國科學(xué)院青年創(chuàng)新促進會資助項目（項目編號：2021148）;國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金（項目編號：11926403）

訪談?wù)碚甙?廖山濤是一位具有國際聲譽和世界影響的中國數(shù)學(xué)家。他于1920年出生于湖南衡山，1938年考入西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系，1942年肄業(yè)后輾轉(zhuǎn)于多所中學(xué)任教。1946—1950年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系、中央研究院數(shù)學(xué)研究所工作。1950—1956年赴美留學(xué)，在陳省身的指導(dǎo)下獲得芝加哥大學(xué)博士學(xué)位，并到普林斯頓高等研究院等單位從事代數(shù)拓撲的研究工作。1956年回國后任北京大學(xué)教授，直至1997年去世。

20世紀60年代，廖山濤從代數(shù)拓撲轉(zhuǎn)向剛剛興起的微分動力系統(tǒng)，是國際上這一領(lǐng)域的幾位先驅(qū)者之一。他相繼提出典范方程組和阻礙集兩個基本概念，并以此為核心形成了一套獨特的研究體系（廖理論），是中國微分動力系統(tǒng)的奠基人與開拓者。1986年，第三世界科學(xué)院將首次頒發(fā)的數(shù)學(xué)獎授予廖山濤，并選舉他為第三世界科學(xué)院院士。廖山濤還于1987年榮獲國家自然科學(xué)一等獎，1991年當選為中國科學(xué)院院士，1995年榮獲何梁何利科技進步獎。在2002年北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會上，時任國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的帕里斯（J. Palis， 1940— ）在開幕式的講話中高度評價廖山濤的功績，認為中國數(shù)學(xué)由陳省身、華羅庚、馮康、谷超豪、吳文俊和廖山濤等人共同奠基和培育[1]。

目前科學(xué)史界關(guān)于廖山濤的研究尚處起步階段。2020年是廖山濤誕辰100周年，北京大學(xué)舉辦了“紀念廖山濤先生誕辰100 周年暨微分動力系統(tǒng)研討會”（下稱“研討會”）。經(jīng)北京師范大學(xué)—香港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院校長湯濤院士的推薦與“研討會”主辦方的邀請，筆者受命為廖山濤撰寫一篇學(xué)術(shù)傳記。為了詳細了解廖山濤對微分動力系統(tǒng)的貢獻，筆者特地對北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院文蘭院士進行了訪談。

受訪人文蘭，安徽涇縣人，1946年出生于甘肅蘭州，現(xiàn)為北京大學(xué)數(shù)學(xué)教授。1969年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，1981年研究生畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，導(dǎo)師廖山濤。1986年獲得美國西北大學(xué)博士學(xué)位，1988年回國后在北京大學(xué)工作至今。文蘭長期下苦功學(xué)習(xí)廖山濤獨創(chuàng)的理論和方法，在微分動力系統(tǒng)的研究中取得了突出的研究成果。文蘭于1996和2011年先后榮獲中國數(shù)學(xué)會陳省身獎與華羅庚獎，1999年當選為中國科學(xué)院院士，2005年當選為第三世界科學(xué)院院士，2004—2007年擔(dān)任中國數(shù)學(xué)會理事長。

受訪人：文蘭

訪問整理人：王濤、付曉青

訪談時間：2020年12月4日;2021年7月7日

訪談地點：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院文蘭院士辦公室

中圖分類號 N092∶O1

文獻標識碼 A

一 師從廖山濤

王濤、付曉青（以下簡稱“王”）：廖山濤先生于1956年回國任教，您是1964年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，讀大學(xué)時廖先生是否教過您？

文蘭（以下簡稱“文”）： 沒有。作為低年級大學(xué)生，我們?nèi)雽W(xué)后接觸到的老師主要是教我們基礎(chǔ)課的幾位老師，比如鄧東皋、丁石孫、程慶民等。讀了兩年以后，“文化大革命”開始了，后面就是搞運動。當時自己想不到看書，另外幾乎也沒人看數(shù)學(xué)書了，天天學(xué)習(xí)毛主席著作與報刊社論。如果一切正常的話，到高年級選擇專門化時沒準我會接觸到廖先生，但“文革”把這些都打亂了。本來我們應(yīng)該是1969年畢業(yè)，結(jié)果到1970年3月才離校，是和1965級一同分配的。

王：您在1978年考取了廖先生的研究生。

文：大學(xué)畢業(yè)后我被分配到河北獻縣的農(nóng)村插隊。1977年晚些時候傳出大學(xué)要招研究生的消息。由于我大學(xué)是在北大念的，自然想回母校讀研究生，但不知道報考誰。很多同學(xué)都準備報考當年教過我們的幾位老師，我也有此打算。還異想天開地想學(xué)數(shù)理邏輯。我的姐姐與姐夫在北大數(shù)學(xué)系工作，他們給我出主意說廖先生的學(xué)問大，建議我報考廖先生。此前我一直在農(nóng)村教書，根本不清楚廖先生的研究方向——動力系統(tǒng)是什么，甚至連“動力系統(tǒng)”這4個字是什么意思都不知道。

王：他們怎么知道廖先生的學(xué)問大？

文：當時“文革”已經(jīng)結(jié)束兩年了，廖先生的重要文章也快要發(fā)表出來了，他們在一個系里，誰有學(xué)問大家肯定是知道的。事后分析，廖先生大量的深入研究是在“文革”當中做的。當時不僅我們學(xué)生荒廢了，絕大多數(shù)的老師們也荒廢了。白天都筋疲力盡了，晚上誰還有精力去做研究呢？而且研究數(shù)學(xué)被視為政治不正確。在這種情況下悄悄堅持數(shù)學(xué)研究，只能是那種視數(shù)學(xué)為生命的人?！拔母铩敝杏幸欢嗡^的“逍遙”時期，學(xué)校里行政機構(gòu)雖然都癱瘓了，但仍然發(fā)工資，我們學(xué)生在學(xué)校里也還有助學(xué)金，但就是不上課，主要工作除了政治學(xué)習(xí)就是到外面宣傳、串聯(lián)與游行。白天的各種活動廖先生肯定是要參加的，那廖先生的時間是從哪里來的呢？他只能是另外加班。那時廖先生住在蔚秀園里的一個獨立的平房小院，相對“與世隔離”，估計他“加班”別人也不知道。他從1956年回國之后一直住在那里，直到20世紀80年代才搬到中關(guān)園，從此再也沒有搬過家。就跟中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的陳景潤一樣，一開始大家也都不知道，后來形勢一寬松，他就能拿出厚重的研究成果。廖先生也是這樣，只是沒有被報道。

王：廖先生如何指導(dǎo)您學(xué)習(xí)？

文：讀研究生的時候我有兩位師兄，張筑生和歐陽奕孺。當時國家剛恢復(fù)招考研究生，系里沒有統(tǒng)一的研究生課程，都是各個方向的老師們自己解決開課的問題。記得廖先生給我們講過黎曼幾何。后來到蔣云平、岳澄波、丁紅宇、章梅榮的時候可能情況就好一些了，那時候張筑生已經(jīng)留校了，開了微分動力系統(tǒng)課。廖先生沒有引導(dǎo)我們學(xué)習(xí)他那一套理論，因為那些內(nèi)容很難上手，可能我們還“不夠格”吧。廖先生是讓我們學(xué)習(xí)西方的理論和方法?？梢哉f，跟隨廖先生讀研究生時，我們這些學(xué)生對他只有一個抽象的認識——廖先生特棒，其他具體的都不太知道。我們當時也有討論班，廖先生讓我們?nèi)プx一些文章，然后在討論班上報告。討論班就不多幾個人，廖先生和他的助手詹漢生老師，再就是我們幾個研究生了。廖先生對我們在討論班上作報告只要求四個字：“甩開稿子”。這四個字看著簡單，其實很厲害，迫使我們不得不把要講的內(nèi)容消化掉，全部記在腦子里。后來知道這不只是對我們的要求。廖先生一輩子對他自己就是這樣要求的。廖先生給我們講黎曼幾何課，講了三個月，從頭到尾沒看過一眼講稿。他有講稿，但放在桌上，從未打開。

研究生畢業(yè)之后我到山東大學(xué)工作了一年，1982年9月赴美國攻讀博士。1988年回國后到北大做博士后，當時不像現(xiàn)在有明確的合作導(dǎo)師，其實合作導(dǎo)師就是廖先生。等到與國外建立起學(xué)術(shù)聯(lián)系，信息交相反饋，我們以及國外的學(xué)者才越來越多地了解到廖先生的了不起?；貒笪腋蜗壬慕佑|比以前多了，研究的方向和內(nèi)容也慢慢向廖先生靠攏。所以我跟廖先生接觸比較密切的是1988—1997年這一段時間，其間廖先生組織的學(xué)術(shù)活動我基本上都參加了。我和章梅榮、甘少波還辦了個小討論班，專門學(xué)習(xí)廖先生的這套理論，他知道后也樂見其成。這里我想強調(diào)的是，廖先生并不是關(guān)起門來做研究。他的眼光開放且長遠，對國外文獻的了解可以說如數(shù)家珍。記得有一個暑假，天氣非常炎熱，學(xué)校的圖書館里基本沒有人。我進去后發(fā)現(xiàn)廖先生正俯身在查閱《數(shù)學(xué)評論》（Mathematical Reviews）。《數(shù)學(xué)評論》是和報紙差不多大的厚重開本，人搬不動，字體卻非常小，查閱起來很不容易。廖先生那時已經(jīng)是古稀之年，他對文獻的了解都是這樣辛苦得來的。

王：有一種說法是廖先生的英文不好，真實情況如何？

文：其實不是。這種說法可能是因為看到廖先生的很多文章是用中文寫的。但這并不說明廖先生的英文不好，更不能簡單地理解為狹隘的民族主義，否則就無法解釋為何他早年與晚年的很多論文是用英文寫的，而且是一手漂亮的英文。實際上，廖先生用中文寫數(shù)學(xué)論文主要是在回國以后至改革開放之前，那時中國對外隔絕，不可能用英文寫作到國外去發(fā)表。我前面提到過，廖先生的很多成果是在“文革”中做出的，他都是用中文寫在厚厚的本子上，改動很少，不像我們現(xiàn)在都是用電腦輸入，很方便改來改去。廖先生當年寫作時事先肯定打好了腹稿。這些稿子在“文革”結(jié)束以后稍加整理就可以發(fā)表。關(guān)于廖先生的英文，我這里還有一個故事。我曾在一篇數(shù)學(xué)文章的初稿中寫道“an unique solution”，廖先生看到后糾正我說：“unique之前要用a而不是an?！绷钗沂芤娣藴\。那時我已從美國博士畢業(yè)回來，卻不知道這個語法。一些逸聞?wù)f廖先生的英文不好，可能是為了反襯廖先生的數(shù)學(xué)特牛。這個說法有幽默感，因此流傳頗廣。

王：廖先生是怎樣的一個學(xué)者？

文：我對廖先生的第一個印象是純粹，這是廖先生最大的特點，他的頭腦與生活中只有數(shù)學(xué)。其實廖先生也有很多其他才能，比如文學(xué)、歷史，但他有意識地壓縮這些愛好，久而久之也就真成了沒有其他愛好了。第二個印象是下苦功。廖先生有幾篇短文，其中有一篇是講功底的[2]。里面有一句話是說一本書要熟悉到閉上眼睛能像放電影一樣，一頁一頁地把那本書放出來的程度。我一直在琢磨這句話是什么意思。我們有時也有一些類似的感受。就是你書的某一段讀得遍數(shù)多了，一個定理在書中某頁的具體位置你都會記得，包括使用的符號都會成為你記憶的一部分。廖先生一定是下苦功把幾本最重要的著作消化掉了，也就自然地印在了腦子里。如果只許用一個詞來形容廖先生，我想“堅忍不拔”最為合適。

二 微分動力系統(tǒng)

王：請您簡單介紹一下微分動力系統(tǒng)這門學(xué)科。

文：動力系統(tǒng)從19世紀末龐加萊（H. Poincaré， 1854—1912）創(chuàng)立微分方程定性理論開始，他認為方程的式子并沒有那么重要，而是側(cè)重于從幾何的觀點看問題，定性理論也就是幾何理論的意思。微分動力系統(tǒng)的研究興起于20世紀60年代初，揭開序幕的是一位來自巴西的數(shù)學(xué)家，名字叫佩肖托（M. Peixoto， 1921—2019），所以巴西的微分動力系統(tǒng)很強。20世紀50年代末，佩肖托在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系訪問拓撲學(xué)家萊夫謝茲（S. Lefschetz， 1884—1972）。萊夫謝茲在晚年的時候非常關(guān)心常微分方程的定性理論。20世紀30年代，有一項微分動力系統(tǒng)的萌芽性工作是由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金（L. S. Pontryagin， 1908—1988）與物理學(xué)家安德羅諾夫（A. A. Andronov， 1901—1952）做出的。他們在一篇文章中提出了一個非常重要的概念——結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性（structural stability）。在萊夫謝茲的建議下，佩肖托成功地將蘇聯(lián)科學(xué)家的結(jié)果從圓盤推廣到一般的二維曲面上[3， 4]。

王：可以說是佩肖托打開了微分動力系統(tǒng)的大門？

文：是的。當佩肖托打開這扇大門時，美國數(shù)學(xué)家斯梅爾（S. Smale， 1930— ）斯梅爾，美國數(shù)學(xué)家，研究方向涉及拓撲學(xué)、動力系統(tǒng)、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、計算復(fù)雜性、學(xué)習(xí)理論等領(lǐng)域，以證明五維及其以上的龐加萊猜想而知名。1966年獲得菲爾茲獎，2007年獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎。剛獲得博士學(xué)位不久，在普林斯頓高等研究院做博士后。他得知佩肖托的結(jié)果后非常感興趣，也開始研究動力系統(tǒng)。但那時他年輕氣盛，認為只需把微分拓撲的概念加進去，就可以將佩肖托的定理推廣到高維。斯梅爾很快寫了一篇文章，主要內(nèi)容是佩肖托的定理在高維是如何陳述的，并斷言這個定理在高維依然成立[5]。后來常微分方程的專家萊文森（N. Levinson， 1912—1975）寫信告訴斯梅爾一個反例，后者收到信后半信半疑。那時斯梅爾正在位于巴西的純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所（簡稱IMPA）訪問，他在海灘上拿著萊文森的文章反復(fù)揣摩，累了就游游泳，最終抽出了隱藏在分析式子背后的幾何圖形——馬蹄（horseshoe）[6]。

王：馬蹄的發(fā)現(xiàn)有什么意義？

文：馬蹄的發(fā)現(xiàn)說明佩肖托的定理在高維確實不成立，表明結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性可以和復(fù)雜性共存，這成為現(xiàn)代動力系統(tǒng)開端的標志。與佩肖托相比，斯梅爾雖然只對高了一維的情形進行討論，但他的結(jié)果使得更高維的情形都可以想象了，所以是本質(zhì)性的擴展。

很快，斯梅爾歸納馬蹄、托姆環(huán)面自同構(gòu)等例子，在蘇聯(lián)學(xué)者阿諾索夫（D. Anosov）重要工作的基礎(chǔ)上提出了雙曲集的概念，并與自己的學(xué)生帕里斯一起提出了相當于佩肖托判別條件的高維形式，即著名的“穩(wěn)定性猜測”，他自己則證明了第一個大范圍結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性定理：離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。穩(wěn)定性猜測引發(fā)出后續(xù)很多數(shù)學(xué)家的重要工作，從而推出了微分動力系統(tǒng)的一個全盛時期[7]。

三 廖山濤的貢獻

王：廖山濤先生是拓撲出身，他是如何注意到微分動力系統(tǒng)這一領(lǐng)域的？

文：廖先生轉(zhuǎn)向動力系統(tǒng)是在回國以后。佩肖托與斯梅爾的文章發(fā)表在1959—1962年?！杜f金山時報》在1986年7月2日有過一篇報道[8]，文中說廖先生在1959年從一篇介紹國外微分動力系統(tǒng)的文章中，預(yù)感到這門學(xué)科將會有巨大的應(yīng)用價值。這篇報道可能會與陳省身先生有關(guān)，因為文中的論述很內(nèi)行，提到廖先生提出“典范方程組”和“阻礙集”兩個基本概念，以此為核心，形成獨特的研究體系等等。的確，廖先生的獨立性極強，他是不會跟著別人走的，而且一上來就考慮高維的問題。

王：廖先生當時還在開拓撲課吧？

文：是的。那時廖先生已經(jīng)開始研究動力系統(tǒng)了，但他開的課程仍是拓撲。廖先生在北大數(shù)力系帶了幾屆拓撲專門化的學(xué)生，我知道1962年畢業(yè)的有周作領(lǐng)、熊金城、詹漢生、劉旺金、左再思，1963年畢業(yè)的有劉應(yīng)明，1965年畢業(yè)的有唐云與麥結(jié)華。他的學(xué)生在改革開放后有不少人轉(zhuǎn)入動力系統(tǒng)。

王：廖先生對微分動力系統(tǒng)的研究獨具特色，這句話怎么講？

文：動力系統(tǒng)在斯梅爾之前基本上只有連續(xù)時間動力系統(tǒng)（簡稱“連續(xù)系統(tǒng)”）。這類動力系統(tǒng)是從常微分方程來的，里面都有一個連續(xù)時間t。時間t從負無窮到正無窮，因此一個點拉出來是一條線，也就是一條軌道。斯梅爾的馬蹄則是第二類動力系統(tǒng)，類似于機器的輸入與輸出，將輸出的值再輸入，反復(fù)進行，這就是迭代。因此也有人將動力系統(tǒng)的起源追溯到牛頓（I. Newton， 1643—1727），因為牛頓曾用迭代法求解方程的根。一個數(shù)多次迭代后出來是一個數(shù)列，從幾何上看則是一個位置的點列。這類動力系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)在精神上是類似的，只不過微分方程對時間的看法是連續(xù)的，迭代對時間的看法是離散的，因此叫做離散時間動力系統(tǒng)（簡稱離散系統(tǒng)）。

斯梅爾開創(chuàng)了離散系統(tǒng)的研究。他通過說明馬蹄映射有無窮多個周期點，進而說明所對應(yīng)的流有無窮多個周期軌道。這種取截面，然后取返回的映射，是一種將兩種動力系統(tǒng)聯(lián)系起來的方式。那是否所有的連續(xù)系統(tǒng)的問題都可以轉(zhuǎn)化為低一維的離散系統(tǒng)呢？實際上并不是。連續(xù)系統(tǒng)中流的理論要比離散系統(tǒng)復(fù)雜得多。任何離散系統(tǒng)的動力現(xiàn)象都可以在高一維的連續(xù)系統(tǒng)里出現(xiàn)，但反過來，并非任何連續(xù)系統(tǒng)的動力現(xiàn)象都可以在低一維的離散系統(tǒng)里出現(xiàn)。斯梅爾之后的很多學(xué)者開始直接研究離散系統(tǒng)。其實連續(xù)系統(tǒng)始終是更根本、也更困難的動力系統(tǒng)。

廖先生從一開始就致力于對更困難的連續(xù)系統(tǒng)進行研究，他將其稱為常微系統(tǒng)，認為離散系統(tǒng)只不過是常微系統(tǒng)的“特款”。同樣的問題，離散系統(tǒng)比常微系統(tǒng)容易出結(jié)果，所以做常微系統(tǒng)比做離散系統(tǒng)要“吃虧”，但廖先生不為所動。關(guān)于這一點，斯梅爾的學(xué)生弗蘭克斯（J. Franks）說得好：“常微系統(tǒng)比離散系統(tǒng)要復(fù)雜和困難，所以定理總是先在離散系統(tǒng)中被證明，而反例通常首先在常微系統(tǒng)中被發(fā)現(xiàn)?！蔽鞣綄W(xué)派多從離散系統(tǒng)入手，取得突破，再試圖向常微系統(tǒng)進行推廣。這種研究方式取得了巨大的成就，形成了實力深厚的學(xué)派，但畢竟不能代替對常微系統(tǒng)的直接研究。理由如上所述，有些重要的常微系統(tǒng)的問題是不可能轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的。廖先生始終直面常微系統(tǒng)，特別是常微系統(tǒng)中的奇點問題，這是其中最復(fù)雜、最困難的問題所在，是離散系統(tǒng)所無法比擬的。

王：那廖先生如何研究常微系統(tǒng)？

文：廖先生相繼提出了“典范方程組”與“阻礙集”兩個基本概念，并以此為核心，形成了一套獨特的研究體系，與西方學(xué)派交相輝映而更勝一籌。典范方程組的方法是通過活動標架，把流形上常微系統(tǒng)的相圖的一部分性質(zhì)，循適當途徑，化成歐氏空間中通常的常微分方程組來討論。這一方法有計算和定量估計上特有的方便。阻礙集是由阻礙點構(gòu)成的集合，所謂阻礙點即阻礙雙曲性成立的點。雙曲性是一個不變集的性質(zhì)，是比較整體的，卻可以被一種點的出現(xiàn)而破壞，這本身就耐人尋味。阻礙集理論是廖先生在研究穩(wěn)定性猜測中創(chuàng)立的，在這個猜想的研究中起著重要的作用。

王：廖先生在穩(wěn)定性猜測中做了哪些貢獻？

文：穩(wěn)定性猜測從佩肖托開始就是一個最引人注目的問題，馬蹄就是從這個問題中產(chǎn)生出來的。1970年帕里斯與斯梅爾提出了兩個有基本意義的猜測，其主要內(nèi)容是：

猜測Ⅰ：結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性蘊含公理A+強橫截。

猜測Ⅱ：Ω穩(wěn)定性蘊含公理A+無環(huán)。

Ω 穩(wěn)定性是一個比結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性稍弱的概念，即結(jié)構(gòu)穩(wěn)定蘊含Ω 穩(wěn)定。兩個猜測的充分性證明分別由羅賓（J. Robbin）-羅賓遜（C. Robinson）與斯梅爾在20 世紀70年代初給出。進一步，皮尤（C. Pugh）-舒伯（M. Shub）與羅賓遜對于常微系統(tǒng)也證明了充分性，被稱為“穩(wěn)定性定理”。與之相對的是，必要性的證明則十分困難，漸漸被稱為“穩(wěn)定性猜測”，并在很長一段時間內(nèi)被稱為動力系統(tǒng)的“中心問題”（central problem）。舒伯在他的著作中寫道：“中心問題確實是中心的?！保═he central problem is really central.） [9]

在很長的一段時間內(nèi)，穩(wěn)定性猜測這個動力系統(tǒng)領(lǐng)域中最艱深、最硬的“骨頭”不是由美國、俄羅斯或者歐洲的數(shù)學(xué)家攻克的，而是廖先生和巴西IMPA的馬涅（R. Maé， 1948—1995）馬涅，烏拉圭裔數(shù)學(xué)家，巴西純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所教授，1983與1994年兩度在國際數(shù)學(xué)家大會作報告，1994年當選為巴西科學(xué)院院士，同年獲得第三世界科學(xué)院數(shù)學(xué)獎。，他們二人可以說是微分動力系統(tǒng)的兩大支柱。1978 年，馬涅在一個附加條件下對二維離散系統(tǒng)證明了穩(wěn)定性猜測。1980 年，在復(fù)旦大學(xué)主辦的《數(shù)學(xué)年刊》（Chinese Annals of Mathematics）的創(chuàng)刊號上，廖先生發(fā)表了“關(guān)于穩(wěn)定性推測”（On the stability conjecture）的論文[10]。他運用自己獨創(chuàng)的阻礙集與“篩濾”引理等工具，在不附帶任何條件的情況下，成功地證明了三維無奇點常微系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測。通過取扭擴，便自然證明了二維離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測。IMPA的圖書館正好收錄了這期雜志，巴西的數(shù)學(xué)家告訴我說這一期都被翻得不像樣子了。1984年，廖山濤又進一步證明了四維無奇點常微系統(tǒng)與三維離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測[11]。就穩(wěn)定性猜測而言，廖山濤對常微系統(tǒng)取得的結(jié)果在很長一個時期里比離散系統(tǒng)得到的結(jié)果還要早與好，由此可見廖先生這一系列成果的分量。

馬涅對廖先生極為仰慕，廖先生對馬涅也十分欣賞，但他們沒有見過面。1987年，馬涅證明了離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測，這是微分動力系統(tǒng)的一個重大成就。馬涅做出這項工作時還不到40歲，廖先生認為他完全有資格獲得菲爾茲獎，但最終沒有得到，這些事情就很難說了。比起離散系統(tǒng)，廖先生研究的常微系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測有額外的難度￣——奇點問題。離散系統(tǒng)的不動點與非不動點在雙曲性上沒有本質(zhì)區(qū)別，但流的奇點與非奇點在雙曲性上卻有本質(zhì)區(qū)別。奇點的存在很大程度上相當于破壞了流形的緊性，給整個問題帶來了極大的困難。廖先生的工作為根本上解決奇點問題做了系統(tǒng)的、全面的準備，這些工作到今天仍然在各方面起著重要的作用。

王：廖先生在微分動力系統(tǒng)的地位如何？

文：廖先生所做的研究工作的難度、深度是那個年代中國數(shù)學(xué)界所能達到的最高水準之一，實際上也是國際上這一領(lǐng)域的最高水準之一。1986年，第三世界科學(xué)院將首次頒發(fā)的數(shù)學(xué)獎授予廖先生，以獎勵他在球面周期變換特別是微分動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論中做出的貢獻。這是一個國際性的獎項，不是自己申請來的，而是在自己不知道的情況下被第三世界科學(xué)院授予的，被認為是那個年代我國國際獎項的“零的突破”。1987年，廖先生又獲得了我國自然科學(xué)領(lǐng)域的最高獎項——國家自然科學(xué)一等獎。

不僅如此，在解決穩(wěn)定性猜測的過程中，廖先生（馬涅也獨立注意到，但稍晚）還注意到了一個更強的所謂星號流的問題：如果周期軌道在擾動下不逼近奇點，星號流是否滿足公理A+無環(huán)？星號流問題實際上蘊含了穩(wěn)定性猜測，因而對微分動力系統(tǒng)有著深遠的影響。廖先生是以問題而不是猜測的形式提出的，實際上他傾向于答案是正面的。由于星號流的要求條件太弱了，而公理A+無環(huán)的性質(zhì)卻如此之強，因此一般人不敢設(shè)想這樣的問題。廖先生對星號流問題做了基本性的貢獻。他在1981年發(fā)表的《阻礙集Ⅱ》中證明，在“強分離”（即不同指標的周期軌道或奇點之間在擾動下不相互逼近）條件下，星號流滿足公理A+無環(huán)[12]。這是當時微分動力系統(tǒng)領(lǐng)域的最高成就，足以俯瞰世界。

廖先生生前對星號流問題一直非常關(guān)心。他在著作《微分動力系統(tǒng)的定性理論》的前言中強調(diào)了常微系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別并提請讀者注意附錄，而在附錄中他明確點出了星號流問題并指出：如果星號流沒有奇點，相應(yīng)的結(jié)論是否成立在目前尚是一難題[13]。2006年甘少波與文蘭合作，終于解決了廖先生和馬涅提出的星號流問題，即如果周期軌道在擾動下不逼近奇點，則星號流滿足公理A+無環(huán)。文章的副標題為向廖先生與馬涅致敬，以紀念這兩位微分動力系統(tǒng)的偉大學(xué)者[14]。

王：廖先生給我們留下了哪些遺產(chǎn)？

文：如果談廖先生最有特點的“殺手锏”式的工具，我認為應(yīng)該是他的篩濾引理和準雙曲軌弧的跟蹤引理。這兩個工具所起的作用對一些重要問題是其他工具無法代替的。國外一些頂尖的學(xué)者已經(jīng)注意到這個情況，也開始學(xué)習(xí)使用這兩個工具。至于一般地說廖先生給我們留下的遺產(chǎn)，那就太多了。從大處講，比如典范方程組與阻礙集，我們尚在學(xué)習(xí)中，離完全掌握尚有很大的距離，這方面甘少波與楊大偉學(xué)習(xí)、掌握的最好。廖先生另一大塊工作是微分遍歷論，這方面孫文祥學(xué)習(xí)、掌握的最好。實際上，我們有不少學(xué)生對廖理論有相當程度的了解和掌握。廖先生可以欣慰的是，以文蘭、甘少波、孫文祥、楊大偉、田學(xué)廷等為代表的中國數(shù)學(xué)家，使用他的理論解決了國際上的不少重要問題。例如，1997 年日本學(xué)者哈雅西（S. Hayashi）證明了連接引理，并藉此證明了任意維常微系統(tǒng)的穩(wěn)定性猜測。而在此前兩年，文蘭在假定了一種連接引理的情況下也給出了證明。2000 年文蘭又與夏志宏合作給出了這一連接引理的證明。

國際上有一個叫做“Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity”系列動力系統(tǒng)會議，是由巴西、美國與法國的數(shù)學(xué)家在2003—2004年倡導(dǎo)發(fā)起的，大概從2007—2008年開始增加了中國。此后這個會議一直由這4個國家輪流組織。這說明中國的動力系統(tǒng)在國際上是有地位的，也證明廖先生給我們留下的遺產(chǎn)確實是豐厚的。

王：聽了您的講解，我們對微分動力系統(tǒng)這門學(xué)科的發(fā)展，特別是廖山濤先生對微分動力系統(tǒng)的貢獻有了一個初步的認識。非常感謝您接受我們的采訪，祝您生活愉快！

致謝 本文在整理過程中得到了南方科技大學(xué)鄭如松博士、廈門大學(xué)王昕晟博士的幫助。完稿后文蘭院士進行了審閱修訂，河北師范大學(xué)鄧明立教授給予了支持鼓勵，特此致謝。

參考文獻

[1] Palis J. Opening ceremony[A]. Li D Q. Proceedings of the international congress of mathematicicians（2002 Beijing）： vol 1[C]. Higher Education Press， 2002. 14.

[2] 廖山濤. 思考[A]. 北京大學(xué)中國名人叢書編委會編. 苦澀的夢[C]. 長春： 北方婦女兒童出版社， 1990. 47—51.

[3] Peixoto M.. Structural stability on two-dimensional manifolds[J]. Topology， 1962， 1（2）： 101—120.

[4] Peixoto M.. On structural stability[J]. Annals of Mathematics， 1959， 69（1）： 199—222.

[5] Smale S.. Morse inequalities for a dynamical system[J]. Bulletin of The American Mathematical Society， 1960， 66（1）： 43—49.

[6] Smale S.. On how I got started in dynamical systems[A]. Smale S. The Mathematics of Time[C]. New Yrok： Springer， 1980. 147—151.

[7] 文蘭. 微分動力系統(tǒng)[M]. 北京： 高等教育出版社， 2015. 1—3.

[8] 董鎮(zhèn)喜， 文蘭， 孫文祥. 廖山濤論微分動力系統(tǒng)[M]. 濟南： 山東教育出版社， 2000. 444—445.

[9] Shub M.. Global Stability of Dynamical Systems[M]. New York： Berlin-Heidelberg， 1987. 114.

[10] Liao S T.. On the stability conjecture[J]. Chinese Annals of Mathematics， 1980， 1（1）： 9—30.

[11] 廖山濤. 關(guān)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的特征性質(zhì)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 1984， 5（6）： 771—775.

[12] 廖山濤. 阻礙集（Ⅱ）[J]. 北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 1981， 17（2）： 1—36.

[13] 廖山濤. 微分動力系統(tǒng)的定性理論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1992. 368.

[14] Gan S B， Wen L.. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle condition[J]. Inventiones Mathematicae， 2006， 164（2）： 279—315.