在結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)中發(fā)展學(xué)生推理能力

【摘 要】復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種典型課型，在一個(gè)階段的新知學(xué)習(xí)之后，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，需要進(jìn)行知識(shí)的回顧和梳理。以初中“軸對(duì)稱圖形”一章的復(fù)習(xí)課為素材，從“垂直平分線”出發(fā)進(jìn)行問題變式，在驅(qū)動(dòng)學(xué)生重塑認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中，促進(jìn)學(xué)生深度認(rèn)識(shí)、理解軸對(duì)稱圖形知識(shí)之間的相互關(guān)系，發(fā)展推理能力。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí);軸對(duì)稱;推理能力

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）11-0030-04

【作者簡(jiǎn)介】諸士金，南京市六合區(qū)橫梁初級(jí)中學(xué)（南京，211515）校長(zhǎng)，高級(jí)教師，南京市學(xué)科帶頭人。

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種典型課型，在一個(gè)階段的新知學(xué)習(xí)之后，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，需要進(jìn)行知識(shí)的回顧和梳理。很多復(fù)習(xí)課慣常采用“框圖+例題+練習(xí)”的模式進(jìn)行。而這里“框圖”如何建立、“例題”如何選擇、“練習(xí)”怎樣設(shè)計(jì)，往往沒有被深入研究，經(jīng)常是以新課認(rèn)知的順序，羅列知識(shí)，形成框圖，以常考的試題為例題分析講解，用教材后的練習(xí)進(jìn)行鞏固。這樣的復(fù)習(xí)缺乏系統(tǒng)性，不利于學(xué)生整體認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，缺乏新意，也容易將復(fù)習(xí)課上成習(xí)題課。

江蘇省特級(jí)教師卜以樓提出“用生長(zhǎng)型構(gòu)架進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)”，是指根據(jù)要復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，堅(jiān)持系統(tǒng)化理論，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化方法，架設(shè)生長(zhǎng)型路徑，開展探究型活動(dòng)，形成求異思維的自我建構(gòu)，有著新授課特質(zhì)的復(fù)習(xí)方法。以此理念為指導(dǎo)，筆者嘗試借助結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)策略，以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)“軸對(duì)稱圖形”復(fù)習(xí)課為素材進(jìn)行了以下教學(xué)實(shí)踐和反思。

一、軸對(duì)稱圖形復(fù)習(xí)課的教學(xué)價(jià)值

“軸對(duì)稱圖形”一章從簡(jiǎn)單的平面圖形入手，分兩部分進(jìn)行研究：一是認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱，包含了認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的性質(zhì)，設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案;二是簡(jiǎn)單平面圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)探究，包含探索線段、角、等腰三角形、等邊三角形的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)。這些概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)為后續(xù)四邊形、圓以及圖形之間的變化等知識(shí)的學(xué)習(xí)做了鋪墊，是認(rèn)識(shí)圖形“對(duì)稱性”性質(zhì)的起始。

初中階段的幾何知識(shí)公理化體系特征明顯，教材基本上按照歐幾里得幾何學(xué)和希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》構(gòu)建了基于一組基本事實(shí)、定義的純粹演繹系統(tǒng)。這樣的演繹系統(tǒng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)獨(dú)特的邏輯性，以知識(shí)之間存在的邏輯關(guān)系，形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。但數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)不等同于教學(xué)結(jié)構(gòu)，教學(xué)結(jié)構(gòu)是依據(jù)教師對(duì)客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，在實(shí)施課堂教學(xué)中所體現(xiàn)出來的環(huán)節(jié)先后、問題遞進(jìn)等教育形態(tài)的邏輯關(guān)系。因此，結(jié)構(gòu)化教學(xué)是一種從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，形成教學(xué)結(jié)構(gòu)并予以實(shí)施的教學(xué)策略。

這一策略在復(fù)習(xí)課中尤其能體現(xiàn)其價(jià)值。價(jià)值一在于可以幫助學(xué)生建立從局部到整體的認(rèn)識(shí)路徑，培養(yǎng)學(xué)生形成“整體決定局部”的觀念;價(jià)值二在于可以優(yōu)化和完善學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性和系統(tǒng)性;價(jià)值三在于可以幫助學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)同一個(gè)事物，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性和深刻性?；趯?duì)這些主要價(jià)值的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)能夠凸顯知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的推理能力，形成更高水平層次的系統(tǒng)觀，以圖1輔助理解。

[數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)][結(jié)構(gòu)化教學(xué)評(píng)價(jià)][形成教學(xué)結(jié)構(gòu)][學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)][結(jié)構(gòu)化教學(xué)][學(xué)生新認(rèn)知結(jié)構(gòu)][迭代][（圖1）]

二、基于教學(xué)價(jià)值認(rèn)識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.初步梳理結(jié)構(gòu)，交流分享激發(fā)生長(zhǎng)。

請(qǐng)學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和理解，嘗試用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的方式將本章學(xué)習(xí)成果進(jìn)行梳理。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)提前布置學(xué)生利用課余時(shí)間自主梳理已經(jīng)獲得的知識(shí)。一方面有利于了解學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面借助交流和分享，促使不同學(xué)力的學(xué)生從不同的角度呈現(xiàn)對(duì)統(tǒng)一知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，激發(fā)其他學(xué)生思考如何結(jié)合自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步生長(zhǎng)并完善。

2.問題驅(qū)動(dòng)聯(lián)想，發(fā)展邏輯推理能力。

問題1：如圖2，已知直線l是線段AB的垂直平分線，垂足為O，點(diǎn)P在l上，連接PA，PB.則可以推出（1）? ;（2）? ;（3）? ;等結(jié)論。其中形成結(jié)論（1）的理由是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)選擇從最經(jīng)典的垂直平分線切入，源于垂直平分線和其他知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)性在初中階段的重要程度。問題1結(jié)論開放，不同層次的學(xué)生給出答案是不一樣的，可以更廣泛地幫助不同層次學(xué)生對(duì)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行回顧。要求學(xué)生說明結(jié)論（1）成立的理由，無論學(xué)生選擇哪一個(gè)結(jié)論，都可以借此從幾何解題的角度發(fā)展邏輯推理能力。

問題2：如果在問題1中添加∠A=60°，還能推出哪些結(jié)論？∠A=45°呢？

【設(shè)計(jì)意圖】以問題1為“根”，強(qiáng)化條件∠A=60°或∠A=45°，開放結(jié)論，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在“垂直平分線”的節(jié)點(diǎn)上繼續(xù)生長(zhǎng)出“等邊三角形”“等腰直角三角形”及相關(guān)性質(zhì)。這是一種“從一般到特殊”的思想，問題2在等腰三角形的基礎(chǔ)上強(qiáng)化角度的大小，就可以得到更特殊的等腰三角形，如這里的等邊三角形、等腰直角三角形。因?yàn)樘厥獾亩紦碛幸话愕男再|(zhì)，因此研究特殊的圖形性質(zhì)可以根據(jù)所強(qiáng)化的元素條件帶來的影響進(jìn)行研究，這種數(shù)學(xué)思想是邏輯推理能力發(fā)展的一個(gè)重要體現(xiàn)。

問題3：如圖3-1，在問題2中∠A=45°時(shí)，點(diǎn)C、D在圖中線段PA、PB上（不與P、A、B重合），連接OC、OD.請(qǐng)說明點(diǎn)C、D分別處于PA、PB何位置時(shí)，OC=OD？（寫出一種位置時(shí)OC=OD的理由）

預(yù)設(shè)1：過O點(diǎn)分別做AP和BP邊上的高，垂足為C、D，如圖3-2.

預(yù)設(shè)2：C、D為PA、PB邊上的中點(diǎn)，如圖3-3.

追問：上述C、D位置是否能推出OC=OD？還有其他位置嗎？

小結(jié)：C點(diǎn)和D點(diǎn)滿足PC=PD，如圖3-4;C點(diǎn)和D點(diǎn)滿足PC=BD，如圖3-5.

【設(shè)計(jì)意圖】教師繼續(xù)就問題2進(jìn)行結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)，強(qiáng)化條件OC=OD，這里開放的已不再是結(jié)論，而是開放了條件。點(diǎn)C、D在線段PA、PB上，并沒有給出具體位置，需要借助軸對(duì)稱概念與證明線段相等的通法（構(gòu)造全等）來確定C、D。此處又滲透了分類思想，需要進(jìn)行兩種情況的分析，情況1：OC、OD如果關(guān)于直線l對(duì)稱，會(huì)在什么位置？情況2：OC、OD不關(guān)于直線l對(duì)稱，是否存在相等的情況？分類思想的滲透在發(fā)展邏輯推理能力中不可或缺。

問題4：如圖4-1，在問題1的條件基礎(chǔ)上，如果點(diǎn)Q也是直線l上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A、P、Q構(gòu)成的△APQ為等腰三角形。請(qǐng)借助尺規(guī)在圖中確定出點(diǎn)Q的可能位置。

【預(yù)設(shè)】位置不唯一，這里要分類討論，結(jié)合之前學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)，“如果等腰三角形不確定的，可以按照頂點(diǎn)不同來分類”，比如這里可以分別以P、A、Q為等腰三角形頂點(diǎn)進(jìn)行分類，這樣就能找全（如圖4-2，4-3，4-4）。

【設(shè)計(jì)意圖】問題4是對(duì)等腰三角形相關(guān)問題中滲透的“分類思想”進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)。需要學(xué)生先思后作，是典型的以尺規(guī)作圖為載體發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力的一種形式。

3.再次梳理結(jié)構(gòu)，反思路徑積累經(jīng)驗(yàn)。

請(qǐng)學(xué)生結(jié)合課前梳理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行修改微調(diào)，并分享本節(jié)課學(xué)習(xí)中的反思。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。教師為了讓學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)對(duì)自己的獲得印象進(jìn)一步強(qiáng)化，先組織學(xué)生書寫，再進(jìn)行交流，這一過程是將默化認(rèn)識(shí)進(jìn)行顯化。這樣的顯化一方面需要學(xué)生有條理、有取舍地進(jìn)行表達(dá);另一方面有利于強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)積累和提升，嘗試表達(dá)，并在交流中分享獲得，收獲質(zhì)疑與鼓勵(lì)。

三、基于教學(xué)設(shè)計(jì)的進(jìn)一步思考

1.發(fā)展推理能力需要關(guān)注數(shù)學(xué)思想。

這里的“發(fā)展推理能力”主要是指歸納推理能力和演繹推理能力。發(fā)展歸納推理能力在問題的設(shè)計(jì)中主要體現(xiàn)在由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想上，結(jié)合具體的條件變化和結(jié)論的對(duì)應(yīng)關(guān)系，預(yù)測(cè)一般化的條件下可能的數(shù)學(xué)結(jié)果。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“等腰三角形”按元素（頂點(diǎn)或底邊）進(jìn)行分類，是一種屬性歸納。當(dāng)然，本節(jié)課更多的地方是一種命題推理的證明，問題1和問題3明確要求學(xué)生寫出理由，在理由的表述過程中需要學(xué)生不斷地對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在不斷轉(zhuǎn)化中將要證的線段或角的數(shù)量相等關(guān)系轉(zhuǎn)化到等腰三角形、全等三角形的基本圖形中研究，這樣的轉(zhuǎn)化思想是一種“未知向需知，需知向已知”的“靠攏”，能夠很好地幫助學(xué)生發(fā)展演繹推理能力。

2.發(fā)展推理能力需要選擇有效的載體。

本節(jié)課中以幾何證明為框架，以軸對(duì)稱圖形、全等三角形等知識(shí)為內(nèi)容，通過問題驅(qū)動(dòng)的方式將一個(gè)個(gè)看似獨(dú)立的證明連接起來。這樣有脈絡(luò)的生成，能更好地引導(dǎo)學(xué)生在推理證明時(shí)關(guān)注不同命題之間的內(nèi)在聯(lián)系。

在本節(jié)課以問題1中的“垂直平分線”為基礎(chǔ)，一步步強(qiáng)化條件，或條件開放或結(jié)論開放。這樣的問題變式驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生在推理證明時(shí)看到了題與題之間的變化，感受到變化的方法和方向。這樣顯化問題變式和知識(shí)生長(zhǎng)的方式會(huì)默默地影響學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)拓展方向的思考，在思考中“預(yù)測(cè)”數(shù)學(xué)結(jié)果，以及對(duì)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行“驗(yàn)證”，是一種有效發(fā)展歸納和演繹推理能力的載體。

3.發(fā)展推理能力需要構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

無論歸納推理還是演繹推理，推理中必然體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯。“邏輯學(xué)的重大發(fā)展在本質(zhì)上是依賴于如何更好地模擬人們的思維過程（至少在現(xiàn)階段是如此），而模擬的前提就是如何合理地解釋人們的思維過程?！?[2]現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)可以看成是一種“客觀結(jié)果”，這樣的“客觀結(jié)果”是古往今來眾多數(shù)學(xué)家構(gòu)建的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)”。我們?cè)诓煌J(rèn)知水平上能夠觸摸其中一角，教材所呈現(xiàn)的知識(shí)結(jié)構(gòu)也是其中一種形式，因此構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是基于學(xué)習(xí)者對(duì)教材呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，以分解、重組、演繹的方式構(gòu)建另一個(gè)認(rèn)知角度的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建要依賴于學(xué)習(xí)中獲得的推理能力。

分享學(xué)生知識(shí)梳理的環(huán)節(jié)，其主要目的就是要了解學(xué)生已有的本章知識(shí)結(jié)構(gòu)到了什么程度，能否知曉知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系等。不少學(xué)生梳理的知識(shí)結(jié)構(gòu)建立的水平不等，大體分為三個(gè)層次：第一個(gè)層次是模塊化梳理，一般羅列對(duì)應(yīng)知識(shí)的文字語言、符號(hào)語言和圖形語言，邏輯性不強(qiáng);第二個(gè)層次是用粗線條的思維導(dǎo)圖進(jìn)行梳理，這里有了第一層次的理解基礎(chǔ)，也有了對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)之間邏輯關(guān)系的梳理，比如從等腰到等邊，在構(gòu)建的路徑線條（或箭頭）附近注明強(qiáng)化的條件，這里梳理出來的一些關(guān)系則為課本上或教師授課中已經(jīng)明示過的;第三個(gè)層次則是在第二個(gè)層次基礎(chǔ)上的拓展，除了將第二層次的思考以思維導(dǎo)圖形式體現(xiàn)出來，還主動(dòng)思考了知識(shí)點(diǎn)存在的新關(guān)系，以及能夠打通內(nèi)在聯(lián)系的新路徑。如可以從垂直平分線（見48頁圖5）或從角平分線等知識(shí)點(diǎn)出發(fā)建構(gòu)本章復(fù)習(xí)路徑等。

卜以樓老師指出，拓展復(fù)習(xí)課的升值空間的路徑可能有很多種，教學(xué)實(shí)踐告訴我們，根據(jù)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、生長(zhǎng)的過程，對(duì)生長(zhǎng)路徑做必要的調(diào)整和優(yōu)化，構(gòu)建出更加適合學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)路徑，是生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵之所在。結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)課教學(xué)的實(shí)踐正是基于此觀點(diǎn)的嘗試和探索，這樣的探索需要我們更深刻地讀文本、更深入地下課堂、更深情地愛學(xué)生。

【參考文獻(xiàn)】

[1]卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2018.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第3輯）——數(shù)學(xué)中的演繹推理 [M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版總社，2009.