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    三星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律初探
    ——由一道競(jìng)賽題引發(fā)的思考

    2021-04-22 01:45:18趙少云陳紹鋒
    廣西物理 2021年4期
    關(guān)鍵詞:勻速圓周星體質(zhì)心

    趙少云,陳紹鋒

    (南寧市第二中學(xué) 廣西 南寧 530029)

    1 引言

    萬(wàn)有引力定律在雙星和三星系統(tǒng)中的應(yīng)用,是高考和物理競(jìng)賽中常見(jiàn)的考點(diǎn)。這部分內(nèi)容涉及到天體力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本研究方法,如果引導(dǎo)高中物理特長(zhǎng)生研究三星系統(tǒng)規(guī)律,既可以提高他們的分析推理能力,還可以提升他們對(duì)天體力學(xué)的興趣,為國(guó)家儲(chǔ)備更多的理論研究人才,是一件非常有意義的事情。

    有這么一道物理競(jìng)賽題,題目是:有的三星系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量為m的小星體和質(zhì)量為M的大星體組成,兩個(gè)小星體在同一圓形軌道上運(yùn)行,軌道半徑為r。引力常量為G,試說(shuō)明三個(gè)星體的相對(duì)位置并求出小星體的運(yùn)行周期。1該題目的一種解答是:

    如圖1,大星體在軌道中心,兩個(gè)小星體保持在軌道的同一條直徑上繞大星體運(yùn)行。小星體運(yùn)動(dòng)所需的向心力由大星體和另一個(gè)小星體對(duì)它的萬(wàn)有引力F1和F2提供。根據(jù)萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式有:

    圖1 兩小星體在同一直徑繞位于圓心的大星體運(yùn)行

    筆者認(rèn)為,這是一道考查中學(xué)生解題能力的好題,而且還可以進(jìn)一步思考以下問(wèn)題:

    (1)若M不是靜止的而是運(yùn)動(dòng)的,三者還能保持一定的距離嗎?

    (2)如果三星的質(zhì)量不相等,結(jié)論是否有變化?

    2 孤立的三星系統(tǒng)的模型

    2.1 穩(wěn)定的三星系統(tǒng)應(yīng)滿(mǎn)足的條件

    天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱(chēng)為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。這些雙星大多遠(yuǎn)離其他星體,而且其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體間的距離。我們暫且把僅在萬(wàn)有引力作用而保持相對(duì)位置不變的系統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星在對(duì)方的萬(wàn)有引力作用下,繞它們連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),而該點(diǎn)其實(shí)就是雙星系統(tǒng)的質(zhì)心。因?yàn)?,兩個(gè)星體只有繞著它們的質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),保持到該點(diǎn)的距離不變,才可以使雙星的質(zhì)心在系統(tǒng)內(nèi)的相對(duì)位置不變,這樣的雙星系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

    同樣,假若雙星系統(tǒng)中再增加一顆星體就可組成三星系統(tǒng),只要滿(mǎn)足其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于任意兩星體間的距離,且都遠(yuǎn)離其他星體,該系統(tǒng)就是一個(gè)孤立的系統(tǒng)。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)應(yīng)該滿(mǎn)足這樣的條件:系統(tǒng)內(nèi)的任何一個(gè)星體在其他兩星的萬(wàn)有引力作用下繞著系統(tǒng)的質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng);保持三星的質(zhì)心在系統(tǒng)內(nèi)的相對(duì)位置不變。

    2.2 由兩個(gè)質(zhì)量相等的小星體和一個(gè)大星體組成的三星系統(tǒng)模型

    本文開(kāi)始提到的那道競(jìng)賽題答案中所提供的三星模型確實(shí)是穩(wěn)定三星系統(tǒng)的模型之一。在這個(gè)模型中,兩個(gè)小星體的質(zhì)量相同,所以大星體所在位置即是三星系統(tǒng)的質(zhì)心位置,兩小星體到質(zhì)心的距離相同,故做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也相同,他們可在同一個(gè)圓形軌道上運(yùn)行。但是,很明顯,這不是三星系統(tǒng)的唯一模型,三個(gè)星體只要圍繞著它們的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)即可維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,所以三星可以不在同一條直線上,而應(yīng)該可以分別位于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。因題中要求兩個(gè)小星體在同一個(gè)圓形軌道上運(yùn)轉(zhuǎn),即它們的軌道半徑相同,這就要求兩個(gè)小星體到質(zhì)心的距離相同,這至少要求這個(gè)三角形是一個(gè)等腰三角形,大星體位于該等腰三角形頂角的頂點(diǎn)上。如圖2 所示。

    圖2 假設(shè)三星組成任意底角的等腰三角形

    我們似乎可以得出這樣的結(jié)論:這樣的三星系統(tǒng)可以組成任意底角的等腰三角形,底角的大小由M和m的比例關(guān)系決定。我們不妨假設(shè)這個(gè)結(jié)論是正確的,在此前提之下尋找底角和三星質(zhì)量大小的關(guān)系。

    如圖3 所示,設(shè)三個(gè)星體分別位于等腰三角形ABD的三個(gè)頂點(diǎn)上(M位于A點(diǎn),兩m分別位于B點(diǎn)和D點(diǎn)上)。因兩小星體的質(zhì)量相等,所以?xún)蓚€(gè)m的質(zhì)心在BD邊的中點(diǎn)E處,故三星的質(zhì)心C應(yīng)位于BD邊的垂直平分線AE上,如圖。設(shè)兩個(gè)小星體間的萬(wàn)有引力為F1,小星體和大星體間的萬(wàn)有引力為F2,小星體所受的萬(wàn)有引力的合力為Fm;三角形ABD的兩個(gè)底角為θ,F(xiàn)m與底邊的夾角為α;底邊BD的長(zhǎng)為2a,兩小星體的軌道半徑為r,大星體的軌道半徑為R,即BC=DC=r,AC=R。

    圖3 質(zhì)心C 位于兩小星體連線的垂直平分線上

    由萬(wàn)有引力定律得:

    Fm的方向?yàn)椋?/p>

    把(1)(2)代入(3)整理得:

    因?yàn)镃為三星的質(zhì)心,由質(zhì)心公式可得:

    所以得:

    又由于CE=AE-AC=a·tanθ-R,所以再由質(zhì)心公式可得:

    從(7)式中可解出:

    把(8)式代入(6)式可把R消去:

    而Fm是小星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力,必然指向質(zhì)心C,所以∠CBD=α,即式⑷=⑼,則:,整理得:,所以,即θ=600。

    以上證明過(guò)程中,M、m和a均是任意的,所以這個(gè)結(jié)果表明,由兩個(gè)質(zhì)量相等的小星體和一個(gè)大星體組成的三星系統(tǒng)所圍的三角形是一個(gè)等邊三角形,而不是底角任意的等腰三角形。

    2.3 任意質(zhì)量關(guān)系的三星系統(tǒng)模型

    2.3.1 模型一

    我們可以進(jìn)一步推想,以上這個(gè)特殊的結(jié)論是否是由于系統(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)星體的質(zhì)量相等才造成的?如果是這樣,那么當(dāng)三星的質(zhì)量都不同時(shí),是否會(huì)組成一個(gè)任意的三角形呢?我們也不妨假設(shè)這個(gè)猜想是正確的,在此前提之下來(lái)尋找這個(gè)任意三角形的三個(gè)角與三星的質(zhì)量間的關(guān)系。

    如圖4 所示,設(shè)三個(gè)星體分別位于任意三角形ABD的三個(gè)頂點(diǎn)上(m1位于A點(diǎn),m2位于B點(diǎn),m3位于D點(diǎn));設(shè)∠ABD=θ,∠ADB=φ。過(guò)A點(diǎn)作BD邊的垂線交BD于O點(diǎn),以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),BD方向?yàn)閤方向,OA方向?yàn)閥方向建立直角坐標(biāo)系xOy。設(shè)AO=a,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,a);因?yàn)锽O=a/tanθ,DO=a/tanφ,所以B點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-a/tanθ,0)和(a/tanφ,0)。

    圖4 假設(shè)三星質(zhì)量都不同時(shí)組成一個(gè)任意的三角形

    設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心為C,其坐標(biāo)為(xC,yC),則由質(zhì)心的公式可得:

    設(shè)CB連線與x軸正向夾角為α,CD連線與x軸負(fù)向夾角為β,則由幾何關(guān)系得:

    把(10)(11)式和B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入(12)式整理可得:

    由萬(wàn)有引力定律可得m1和m3對(duì)m2的引力分別為:。因?yàn)閙2繞質(zhì)心C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由F12和F32的合力來(lái)提供,所以F12和F32的合力F2一定沿著B(niǎo)C連線指向C,即F2的方向與x軸正向的夾角也為α,則:。整理得:

    同樣,也可以根據(jù)⒀式和m3所受的萬(wàn)有引力導(dǎo)出與⒃式對(duì)稱(chēng)的式子:

    對(duì)比(16)和(17)式可知θ=φ,并由此解出:cosθ=1/2,所以θ=φ=600。

    因?yàn)橐陨贤茖?dǎo)所用三星質(zhì)量和a均是任意的,所以可以得出一個(gè)普遍的規(guī)律:即任意質(zhì)量關(guān)系的三星系統(tǒng)所圍的三角形也是等邊三角形,而不會(huì)是任意三角形。

    2.3.2 模型二

    當(dāng)然,三星也可以不圍成一個(gè)等邊三角形,還有另一種簡(jiǎn)單的模型,就是三星排成一條直線,中間一顆星剛好在旁邊兩星的質(zhì)心上,兩星圍繞著中間星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖5 所示。

    圖5 三星排成一條直線

    3 孤立的三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

    3.1 模型一

    3.1.1 運(yùn)轉(zhuǎn)周期

    通過(guò)以上推導(dǎo),可以推斷,在模型一中,三星繞它們的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的周期應(yīng)由三星的質(zhì)量關(guān)系和它們所圍的等邊三角形的邊長(zhǎng)來(lái)決定,我們同樣也可以通過(guò)萬(wàn)有引力定律和幾何關(guān)系推出周期公式。

    設(shè)三星的質(zhì)量分別為m1、m2和m3,它們分別位于邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABD的三個(gè)頂點(diǎn)上,如圖6。用E表示m2和m3的質(zhì)心,則由質(zhì)心的定義可得:,

    圖6 任意質(zhì)量的三星分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

    由余弦定理得:AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos600=。

    用C表示m1、m2和m3的質(zhì)心,則C在AE上,設(shè)m1、m2和m3繞C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r1、r2和r3,則有:

    同理可得:

    根據(jù)萬(wàn)有引力定律得m2和m3對(duì)m1的引力分別為:

    F21和F31的合力F1的作用線一定過(guò)質(zhì)心C,其大小為:,把(21)式代入上式可得:

    同理,m2和m3所受引力的合力F2和F3的作用線也一定過(guò)質(zhì)心C,大小分別為:

    設(shè)三星繞質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω,由牛頓第二定律可得:F1=m1ω2r1

    把(18)和(22)式代入上式解出ω:

    則周期為:

    可見(jiàn),三星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期由三星的質(zhì)量之和與邊長(zhǎng)的立方的比值決定。

    3.1.2 線速度關(guān)系

    由(18)(19)(20)式和公式v=rω可得三星的線速度之比為:

    3.2 模型二

    3.2.1 運(yùn)轉(zhuǎn)周期

    如圖5 所示,設(shè)m1和m2之間的距離為L(zhǎng),m3位于質(zhì)心C上,m1和m2的軌道半徑分別為r1和r2,它們繞m3旋轉(zhuǎn)的角速度為ω。由萬(wàn)有引力定律可得m1和m3對(duì)m2的引力分別為:

    由牛頓第二定律得:F2=F12+F32==m2ω2r2

    上式經(jīng)整理得:

    由質(zhì)心公式可得:

    把(30)式代入(29)式,解出角速度得:

    則周期為:

    3.2.2 線速度關(guān)系

    再由(30)式和公式v=ωr可得m1和m2的線速度之比為:v1:v2=r1:r2=m2:m1

    4 三星系統(tǒng)的特例

    4.1 特例一

    本文開(kāi)頭所提到的那道競(jìng)賽題,所涉及到的是三星系統(tǒng)中較特殊的一種,即其中兩星的質(zhì)量相等。由以上討論可知,質(zhì)量相等的兩星軌道半徑一定相同,也一定會(huì)在同一個(gè)圓形軌道上繞系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)行。這樣的三星系統(tǒng)模型應(yīng)該有兩種,一種就是原題中答案所提供的模型,即本文所提到的三星模型二;另一種應(yīng)該是三星圍成一個(gè)等邊三角形的模型一,如圖7 所示。

    圖7 三星圍成一個(gè)等邊三角形

    根據(jù)上面第(32)式,把m1=m2=m,m3=M,L=2r代入該式,就可以得到題中的答案:。

    而把m1=m2=m,m3=M,r1=r2=r代入⒅式可得:a=,再把該式代入(26)式,即可得該題的另一個(gè)答案:。

    4.2 特例二

    假若三星的質(zhì)量均相同,即m1=m2=m3=m,則當(dāng)三星排成一條直線時(shí),其周期公式為:,而當(dāng)三星圍成一個(gè)等邊三角形時(shí),三星圍繞該等邊三角形的中心,即三星的質(zhì)心旋轉(zhuǎn),如圖8 所示,其周期公式為:。

    圖8 三星圍成一個(gè)等邊三角形且繞三角形的中心旋轉(zhuǎn)

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