四階非局部基爾霍夫方程的多重解*

張海燕, 莫 帥, 趙月云, 毛安民

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

本文討論如下一類重要的四階橢圓型方程

(*)

設(shè)V(x)=0,q(x)≡1,3被光滑區(qū)域Ω?3所代替,并且在?Ω上u=?u=0,則問題(*)轉(zhuǎn)化為下述四階基爾霍夫方程

在文獻(xiàn)[3]中,Ma運(yùn)用變分方法來研究非局部四階基爾霍夫方程

的正解的存在性以及多重性.

在問題(*)中,當(dāng)a=1,b=0,且q(x)=1時(shí),在N上問題(*)便轉(zhuǎn)化為著名的四階橢圓型方程

(**)

對問題(**)的研究已有很多工作. 例如,Yin和Wu[8]通過利用山路定理和對稱山路定理研究問題(**)超線性情況下有無窮多個(gè)高能量解,為了克服Sobolev 嵌入緊性缺失的情況,他們假設(shè)V(x)滿足 (V′)V∈C(N,),滿足其中a1>0為常數(shù). 而且,對于任何M>0,meas{x∈N,V(x)≤M}<∞,其中meas(·)為在N中的勒貝格測度.

隨后,在條件(V′)下,Ye和Tang[9]獲得了無窮多個(gè)高能量解和低能量解,從而對文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果得到了進(jìn)一步的推廣. 最近,Avci, et al.[2]通過利用變分方法以及截?cái)喾椒ㄑ芯咳缦聠栴}

得到了至少有一個(gè)正解.

綜上可知,四階非局部基爾霍夫問題的正解、高能量解、低能量解的存在性已得到廣泛、深入的研究,但是關(guān)于四階非局部基爾霍夫問題的山路解以及基態(tài)解的結(jié)果很少. 受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文利用山路定理研究問題(*)的山路解以及基態(tài)解. 對V(x)以及q(x)作如下假設(shè),其中a,b>0為常數(shù),

(A)q(x)>0為連續(xù)函數(shù)且存在R0>0,使得

(V)V∈C(3,)滿足且存在使得

對f(x,u)作如下假設(shè),

(f1) 對任意的x∈3,有一致成立.

(f3) 對所有的x∈3,存在d0滿足使得成立,其中u∈且S2由(2.1)定義.

對于V(x),條件(V′)是一個(gè)經(jīng)典的限制條件用來確保嵌入的緊性. 在文獻(xiàn)[1]中,Bartsch 和Wang證實(shí)了以上限制條件(V)弱于(V′). 當(dāng)然,在文獻(xiàn)[7] 中仍然有其他方法確保緊性條件成立. 在這篇論文中,我們使用比(V′)更弱的條件(V)來獲得嵌入的緊性.

1 主要結(jié)果

本文的研究主要結(jié)果如下.

定理1.1 假設(shè)(f1)-(f3),(V)和(A)成立,若l>μ,其中

(ⅱ)問題(*)至少有一個(gè)基態(tài)解.

與已有文獻(xiàn)工作相比較，本文的工作的新穎之處主要體現(xiàn)在以下兩方面.

(2)用q(x)f(x,u)來代替通常的非線性項(xiàng)f(x,u),形式上較為復(fù)雜,這使得對于驗(yàn)證泛函的山路幾何結(jié)構(gòu)有一定的困難. 大多數(shù)文章用變分方法以及截?cái)喾椒ㄑ芯克碾A非局部基爾霍夫問題的正解、高能量解、低能量解,極少有文章研究此類方程的基態(tài)解以及山路解. 因此,本文的工作是對已有四階非局部基爾霍夫問題研究的有益的補(bǔ)充和推廣.

本文結(jié)構(gòu)如下,第2節(jié)給出必要的預(yù)備知識和變分框架,第3節(jié)給出相關(guān)引理以及主要定理的證明.

2 預(yù)備知識和變分框架

本文采用如下記號. 定義Sobolev空間

H:=H2(3):={u∈L2(3):?u,Δu∈L2(3)},

內(nèi)積以及范數(shù)分別為

工作空間為

內(nèi)積和范數(shù)分別為

|u|p≤Sp‖u‖,?u∈E.

(2.1)

(2.2)

在已有條件下可得Ib∈C1(E,),并且對于任意的u,v∈E,有

(2.3)

定義2.2 設(shè)E為巴拿赫空間,E*為E的對偶空間,如果對任意的序列{un},I(un)→c,I′(un)→0,序列{un}都有一個(gè)收斂子列,則稱泛函I滿足(PS)c條件.

引理2.3 設(shè)E為實(shí)的巴拿赫空間,假設(shè)I∈C1(E,),使得對某個(gè)α<η,ρ>0,e∈E且‖e‖>ρ,有成立. 設(shè)且則存在序列{un}?E,使得當(dāng)n→∞時(shí),有且I′(un)→0.

3 定理的證明

首先證明下列引理.

引理3.1 假設(shè)(f1)-(f3),(V)以及(A)成立,則

(ⅰ)存在ρ>0,α>0,使得對所有的u∈E,且‖u‖=ρ,有Ib(u)≥α>0.

證明(ⅰ) 由條件(f1)和(f2)知,對任意的ε>0,存在p>1和C=C(ε)>0使得

f(x,u)≤ε|u|+C|u|p,?x∈3,

(3.1)

則有

(3.2)

其中A=A(ε,p)>0. 而且,由(f1)-(f3) 以及(A) 知,存在C1>0使得

q(x)≤C1,?x∈3.

(3.3)

因此,由(3.2)和(3.3) 知,對任意的u∈E,有

取e=t0u且t0足夠大,因此I0(e)=I0(t0u)<0,且‖e‖=t0‖u‖>ρ.

對于引理3.1給出的α和e,根據(jù)引理2.3知,存在(PS)序列{un}?E使得

(3.4)

引理3.2 假設(shè)(V),(f1)-(f3)和(A)成立,則由(3.1)定義的{un}有一個(gè)收斂的子序列.

證明對于足夠大的n,由(f3),(2.2)以及(2.3)知

以上討論得出了{(lán)un}的有界性. 接下來,證明序列{un}有一個(gè)收斂的子序列. 仍把子列記為{un},假設(shè)un?u在E中,un→u在Ls(3)中,其中2≤s<6,un→u幾乎處處在3中,則

通過計(jì)算可得

因?yàn)?/p>

εC2|un-u|2+C3C1|un-u|p+1→0,n→∞.

顯然,由于當(dāng)n→∞時(shí),有I′b(un)→0,所以有n→∞時(shí),得出〈I′b(un)-I′b(u),un-u〉→0,所以當(dāng)n→∞時(shí),有‖un-u‖E→0成立. 證畢.

定理1.1的證明(ⅰ) 由引理3.1,3.2以及引理2.3可證得此結(jié)果.

(ⅱ)為了獲得基態(tài)解,用K表示Ib的非平凡臨界點(diǎn)集. 設(shè)m=inf{Ib(u):u∈K},很容易得出K為非空的. 對于任何u∈K,有

因此,對于任意的u∈K,有

0≥‖u‖2-εC1S2‖u‖2-CC1Sp+1‖u‖p+1.

(3.5)

由于對任意的u∈K,均有u≠0,則由(3.5)知,對任意的u∈K,有

(3.6)

因此,在K中,序列的任何極限點(diǎn)均非零.

我們斷言Ib在K中下方有界. 也就是說,對所有的u∈K,存在M>0,使得Ib(u)≥-M. 否則,對任意的n∈,存在{un}?K使得Ib(un)<-n.由3.1(ⅰ)知結(jié)合Ib(un)<-n,這意味著當(dāng)n→∞時(shí),有 ‖un‖→+∞. 正如引理3.2的證明,我們知道‖un‖→+∞是不可能的. 則Ib在K中是下方有界的. 因此m≥-M. 設(shè)使得當(dāng)n→∞時(shí),有則對于序列以及實(shí)數(shù)m,(3.4)式成立. 下面的步驟與引理3.2中的證明相似,我們可以得出在H中是有界的,把其子列仍記為且有其中而且以及因此,為問題(*)的基態(tài)解. 證畢.