區(qū)域高程異常擬合的分區(qū)方案研究

廖俊州 趙仁君

(?？谑型恋販y繪院, 海南 ?？?570100)

0 引言

高程異常擬合中經(jīng)常出現(xiàn)某些擬合精度較低的控制點(diǎn),因?yàn)樯倭奎c(diǎn)位精度不夠?qū)е抡麄€(gè)區(qū)域高程異常擬合精度偏低的情況常有發(fā)生[1-4]。有關(guān)高程異常分區(qū)擬合已有一些較為成熟的成果:高偉等通過區(qū)域內(nèi)高程異常值變化速度作為分區(qū)依據(jù),將測區(qū)分為兩個(gè)區(qū)域,取得了較好的擬合效果[5];王昶等在分區(qū)邊界使用混合擬合模型獲得了較好的邊界平滑效果[6]。由于平面擬合模型的模型曲面平緩,使用此模型擬合獲得的低精度控制點(diǎn)可以作為擬合中需要重點(diǎn)關(guān)注的控制點(diǎn),通過加權(quán)分區(qū)分配低精度點(diǎn)的權(quán)重,在分區(qū)擬合中提高各分區(qū)擬合精度,達(dá)到精化區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的目的[7-12]。本文分析兩個(gè)算例,使用多項(xiàng)式擬合法、最小二乘配置法、多面函數(shù)擬合法分別從小面積與大面積兩個(gè)方面驗(yàn)證提出方案的可行性。

1 分區(qū)擬合方法

選取測區(qū)后,首先使用平面擬合法進(jìn)行初步擬合處理,可以認(rèn)為平面擬合法是多項(xiàng)式擬合法的一種特殊情形。在較小區(qū)域中似大地水準(zhǔn)面是一個(gè)比較平坦的曲面,因此可以使用起伏平緩的平面擬合模型進(jìn)行高程異常擬合。平面擬合模型表達(dá)式如下:

F(x,y)=a0+a1x+a2y+v

(1)

式中,ai為模型擬合參數(shù),x為擬合點(diǎn)縱坐標(biāo),y為擬合點(diǎn)橫坐標(biāo),v為殘差。由于模型有3個(gè)參數(shù),因此至少需要3個(gè)擬合點(diǎn)才能求解,當(dāng)然擬合點(diǎn)超過3個(gè)時(shí),可使用超定方程組求解待定系數(shù)。將式(1)改寫為矩陣形式為:

F(x,y)=AX+v

(2)

再根據(jù)式(3)計(jì)算即可得參數(shù)矩陣B:

B=(XTX)-1XTξ

(3)

式中,ξ為擬合點(diǎn)已知高程異常值。

根據(jù)模型參數(shù)計(jì)算此區(qū)域控制點(diǎn)高程異常值中誤差,對比殘差值與中誤差的大小,可得到大于中誤差的殘差點(diǎn)。通常情況下大于中誤差的殘差點(diǎn)不會(huì)太多,會(huì)集中在幾個(gè)較大的點(diǎn)上,將此類點(diǎn)作為分區(qū)的依據(jù),將分區(qū)分為以大于中誤差的點(diǎn)為主一類與以小于中誤差的點(diǎn)為主一類。以小于中誤差的點(diǎn)為主的分區(qū)使用二次曲面模型進(jìn)行擬合計(jì)算,以大于中誤差的點(diǎn)為主的分區(qū)擬合時(shí),需要在二次曲面模型的超定方程組解算式中加入權(quán)重,權(quán)重計(jì)算函數(shù)為:控制點(diǎn)擬合殘差平方,即殘差較大的點(diǎn)分配較大權(quán)重,以改進(jìn)此類點(diǎn)在擬合中精度偏低的情況。加權(quán)解算式在式(3)基礎(chǔ)上略有改動(dòng):

B=(XTPX)-1XTPξ

(4)

式中,P為控制點(diǎn)權(quán)重矩陣。區(qū)域間的邊界重合點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)擬合結(jié)果的情況,以多個(gè)結(jié)果的加權(quán)平均值為最終結(jié)果,權(quán)重計(jì)算函數(shù)為:該點(diǎn)中誤差平方的倒數(shù),即精度較高的值占有較高的權(quán)重。由于本文所用三種數(shù)學(xué)模型均能在已有文獻(xiàn)中查閱,因此不再敘述模型解算過程,僅在各算例中介紹使用的模型參數(shù)。

2 測區(qū)概況一

2.1 實(shí)驗(yàn)一

實(shí)驗(yàn)一利用某區(qū)域測量成果,由于數(shù)據(jù)量較大,表1僅列舉其中9組數(shù)據(jù)(總計(jì)45組已知點(diǎn))。

表1 實(shí)驗(yàn)一已知點(diǎn)的數(shù)據(jù) 單位：m

對數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合,得到擬合參數(shù)(-27.647、0.000 001 44、0.00 005),計(jì)算擬合中誤差為0.034 m,確定了大于中誤差的殘差點(diǎn)有8、10、14、27、29、30、31、33、40、43、44,最大殘差為31號點(diǎn),為0.066 m。大于中誤差的殘差點(diǎn)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分區(qū)處理,見圖1。

如圖1所示,分區(qū)一、分區(qū)二主要以小于中誤差的點(diǎn)為主,分區(qū)三、分區(qū)四主要以大于中誤差的點(diǎn)為主,產(chǎn)生了6個(gè)邊界重合點(diǎn):8、9、13、29、30、36,其中分區(qū)一共計(jì)25個(gè)點(diǎn),分區(qū)二共計(jì)8個(gè)點(diǎn),分區(qū)三共計(jì)6個(gè)點(diǎn),分區(qū)四共計(jì)12個(gè)點(diǎn)。由于分區(qū)三、分區(qū)四主要以大于中誤差的點(diǎn)為主,在此兩分區(qū)中計(jì)算各點(diǎn)權(quán)重,使用式(4)解算擬合殘差。

2.2 算例一

2.2.1模型參數(shù)

計(jì)算各分區(qū)多項(xiàng)式擬合參數(shù)如下:

分區(qū)一(-6 766.741、0.003 48、-0.000 418、7.641×10-11、-4.477×10-10、1.908×10-10)

分區(qū)二(89 178.783、-0.051 8、0.052 8、-1.391×10-8、7.425×10-9、1.955×10-9)

分區(qū)三(28 043.848、-0.013 9、-0.002 96、4.915×10-9、1.498×10-9、-1.792×10-8)

分區(qū)四(-38 956.746、0.028 1、-0.071、2.348×10-8、-4.924×10-9、-2.353×10-8)

本文最小二乘配置法計(jì)算使用已有程序,因此未列出相關(guān)系數(shù),由于協(xié)方差通常需經(jīng)過大量觀測資料樣本的統(tǒng)計(jì)計(jì)算才可得到,故在實(shí)際有限樣本的應(yīng)用中,一般采用平方根函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)。

(5)

多面函數(shù)平滑因子在各分區(qū)中取值分別為:230、260、1 100、580,模型待定系數(shù)見表2。

圖1 分區(qū)圖一

表2 多面函數(shù)待定系數(shù)

2.2.2殘差分析

根據(jù)3種數(shù)學(xué)模型擬合殘差,繪制分區(qū)殘差曲線圖,如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)一分區(qū)殘差曲線圖

分區(qū)擬合后可以看出,多項(xiàng)式擬合模型精度最低,最小二乘配置擬合結(jié)果與多項(xiàng)式擬合模型趨勢一致。這是因?yàn)楸疚氖褂玫淖钚《伺渲脭M合是基于多項(xiàng)式擬合模型的,因此僅能在原有的多項(xiàng)式模型基礎(chǔ)上進(jìn)行一定程度的改進(jìn),由于協(xié)方差函數(shù)使用平方根函數(shù)代替導(dǎo)致擬合精度提升有限。分區(qū)一絕大多數(shù)點(diǎn)是大于中誤差點(diǎn)組成,且分區(qū)面積較大,因此分區(qū)后精度提高比較有限;分區(qū)二雖然僅有兩點(diǎn)為小于中誤差點(diǎn),但由于采用了加權(quán)計(jì)算且分區(qū)面積小,擬合效果依然很好;分區(qū)三多數(shù)為小于中誤差點(diǎn),分區(qū)擬合效果較好,殘差很小;分區(qū)四分區(qū)后擬合殘差依然較大,分析原因可能是該區(qū)域測點(diǎn)過于集中,導(dǎo)致整體擬合效果不好。四個(gè)分區(qū)3種方法擬合中誤差如表3所示。

表3 四個(gè)分區(qū)的中誤差 單位:m

由表2可知,最小二乘配置法相對多項(xiàng)式模型提升精度比較有限,多面函數(shù)模型相對最小二乘配置提升精度也比較有限,這是因?yàn)槎嗝婧瘮?shù)比較適合大范圍擬合,在小范圍內(nèi)擬合有時(shí)無法體現(xiàn)其模型優(yōu)勢。最小中誤差為分區(qū)三的最小二乘配置模型,中誤差值為0.008 m。

3 測區(qū)概況二

3.1 實(shí)驗(yàn)二

實(shí)驗(yàn)二使用92個(gè)已知點(diǎn),平面擬合參數(shù)(-325.328、0.000 024 8、0.000 458),計(jì)算擬合中誤差為0.094 m,確定了大于中誤差的殘差點(diǎn)有35個(gè),最大殘差為83號點(diǎn),為0.087 m。將大于中誤差的殘差點(diǎn)表示在圖上并標(biāo)記紅色,根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分區(qū)處理,見圖3,由于本區(qū)域較大,篇幅限制不再列舉已知數(shù)據(jù),圖上點(diǎn)位緊湊,也不再標(biāo)記點(diǎn)號。

圖3 分區(qū)圖二

由圖3分析可知,分區(qū)二、分區(qū)四主要以小于中誤差的點(diǎn)為主,分區(qū)一、分區(qū)三、分區(qū)五主要以大于中誤差的點(diǎn)為主,產(chǎn)生了19個(gè)邊界重合點(diǎn),其中分區(qū)一共計(jì)7個(gè)點(diǎn),分區(qū)二共計(jì)18個(gè)點(diǎn),分區(qū)三共計(jì)25個(gè)點(diǎn),分區(qū)四共計(jì)48個(gè)點(diǎn),分區(qū)五共計(jì)13個(gè)點(diǎn)。由于分區(qū)一、分區(qū)三、分區(qū)五主要以大于中誤差的點(diǎn)為主,在此兩分區(qū)中計(jì)算各點(diǎn)權(quán)重,使用式(4)解算擬合殘差。

3.2 算例二

3.2.1模型參數(shù)

計(jì)算各分區(qū)擬合參數(shù)如下:

分區(qū)一(447 758.146、-0.005 33、-1.919、1.245×10-8、-4.744×10-11、2.053×10-6)

分區(qū)二(12 218.273、-0.015 7、0.073 9、3.221×10-8、1.337×10-10、-2.103×10-7)

分區(qū)三(-1 107 165.069、0.469、0.816、-1.205×10-6、1.057×10-8、4.270×10-6)

分區(qū)四(-1 690 732.967、-0.581、12.321 2、2.371×10-6、-6.485×10-8、-2.354×10-5)

分區(qū)五(-293 932.484、0.0129、1.167、-2.501×10-8、-1.924×10-10、-1.161×10-6)

多面函數(shù)平滑因子在各分區(qū)中取值分別為:1 200,2 260,1 100,950,1 420,模型待定系數(shù)見表4。

表4 算例二模型多面函數(shù)待定系數(shù)

3.2.2殘差分析

根據(jù)3種數(shù)學(xué)模型擬合殘差,繪制分區(qū)殘差曲線圖,如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)二分區(qū)殘差曲線圖

大面積測區(qū)擬合中多面函數(shù)有明顯的擬合優(yōu)勢,在各分區(qū)中擬合精度均處于較高水平。五個(gè)分區(qū)擬合中誤差結(jié)果如表5所示。

由表5可知,多面函數(shù)模型在大范圍分區(qū)擬合中取得了較好的擬合效果,各分區(qū)殘差均較低;最小中誤差出現(xiàn)在分區(qū)一的多面函數(shù)擬合法中;多項(xiàng)式擬合法與最小二乘配置法擬合精度較低,不適宜于實(shí)際工程應(yīng)用。

表5 五個(gè)分區(qū)的中誤差 單位：m

4 結(jié)束語

本文提出了使用平面擬合中誤差結(jié)果作為分區(qū)依據(jù)的分區(qū)方法,通過小面積、大面積兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證該方法的擬合效果。實(shí)驗(yàn)證明在兩個(gè)測區(qū)擬合中均取得了較好的分區(qū)擬合效果。分區(qū)劃分時(shí)需要注意,分區(qū)過多雖然能提高精度,但是也會(huì)增加計(jì)算量,且需要更多的地面已知GNSS控制點(diǎn),因此應(yīng)兼顧精度與經(jīng)濟(jì)效益,選擇合適的分區(qū)方案。針對3種數(shù)學(xué)模型分析,發(fā)現(xiàn)在小范圍擬合中最小二乘配置法和多面函數(shù)擬合法精度接近,但在大范圍擬合中多面函數(shù)有明顯的精度優(yōu)勢,建議在分區(qū)擬合中當(dāng)測區(qū)面積較大時(shí)使用多面函數(shù)擬合法提高擬合精度,在測區(qū)面積較小時(shí)使用最小二乘配置法即可獲得較高的擬合精度。