指向深度思考的數(shù)學(xué)“問題鏈”教學(xué)探析*

陳敏婕 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué)鄴城路學(xué)校 210019)

初中生正處于思維發(fā)展的關(guān)鍵期，心理學(xué)家皮亞杰稱之為“形式運(yùn)演階段”．在這個(gè)時(shí)期，學(xué)習(xí)知識(shí)固然重要，但學(xué)會(huì)思考，尤其是深度思考更為重要．誠如愛因斯坦所言：“學(xué)習(xí)知識(shí)要善于思考，思考，再思考……思考才是學(xué)習(xí)的根本，必須敢于思考，有自己的獨(dú)特視角、獨(dú)到見解．獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的能力，應(yīng)當(dāng)始終放在首位．”[1]這里的獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的能力，正是強(qiáng)調(diào)深度思考的價(jià)值．然而，在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師卻往往自覺不自覺地忽視或壓抑學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考；抑或缺乏引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度數(shù)學(xué)思考的正確、合適的手段．要達(dá)成深度思考效果，需要教師的有效引領(lǐng)，做到定位高、方法當(dāng)、執(zhí)行強(qiáng)．而“問題鏈”的構(gòu)建與設(shè)置，則是助力深度思考的有效路徑．

本文結(jié)合“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)，探討如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)置“問題鏈”，達(dá)到促成學(xué)生深度思考的育人目標(biāo)．

1 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深度思考的認(rèn)識(shí)

思考是學(xué)習(xí)的根本，正像學(xué)習(xí)有深度學(xué)習(xí)、淺表學(xué)習(xí)之分，思考也有深度思考、淺表思考之別．按照布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類學(xué)的觀點(diǎn)，記憶、理解、應(yīng)用等所涉及的學(xué)習(xí)活動(dòng)只需要低階思維，對(duì)應(yīng)的是淺層次思考；而分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等所涉及的學(xué)習(xí)活動(dòng)則需要高階思維，對(duì)應(yīng)的是深層次思考，即深度思考．盡管對(duì)布魯姆的這一分類尚存有一定的爭(zhēng)議，例如，不少學(xué)者認(rèn)為理解、應(yīng)用涉及的思考活動(dòng)并非只是淺層次思考，而是有諸多深度思考的成分，但對(duì)于學(xué)習(xí)活動(dòng)的思考行為有深淺之分確是達(dá)成共識(shí)的．本文無意對(duì)深度思考的內(nèi)涵作過多考辨，而僅從可操作性的視角對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的深度思考作些描述與刻畫．

基于數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的深度思考，即指從問題的深入分析與解決、過程的精致投入與評(píng)判、方法的高效使用與創(chuàng)新等視角展開的高階數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，這是一種不斷逼近問題本質(zhì)的“思想行為”．表現(xiàn)為深層次推理、多角度分析、精致化概括、個(gè)性化創(chuàng)見等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．

數(shù)學(xué)本就是以思維見長的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能啟迪、培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的思維；能夠集中、加速和強(qiáng)化人們的注意力和思考力；幾乎沒有其他環(huán)境能像數(shù)學(xué)那樣使學(xué)生如此直覺地感到思考的重要性．?dāng)?shù)學(xué)的這種學(xué)科特殊性決定了其在培養(yǎng)學(xué)生思考方面的獨(dú)到之處．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須要擅于思考、敢于思考、往深處思考．如果沒有自己的審慎思考、深入思考，對(duì)知識(shí)的理解就不會(huì)深刻，也就不會(huì)產(chǎn)生獨(dú)到見解．可以說，深度思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的深度思考不是一件容易的事情，需要教師具備良好的教學(xué)技能和教學(xué)智慧，選擇合適的教學(xué)路徑及策略，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)氛圍，以便激發(fā)起學(xué)生深度思考的熱情和動(dòng)力．

2 對(duì)“問題鏈”的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)基于自己的教學(xué)感受指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，并建議：“最好的學(xué)習(xí)方法是動(dòng)手—提問—解決問題．最好的教學(xué)方法是讓學(xué)生提問，解決問題，不要只傳授知識(shí)，要鼓勵(lì)行動(dòng)．”[2]可見，“問題”在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位．事實(shí)上，通常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“提出問題—跟進(jìn)理答”的做法業(yè)已成為主流的教學(xué)活動(dòng)形式，只不過，這種“問—答”活動(dòng)形式往往具有一定的隨意性、零散性和片面性，多數(shù)并沒有形成系統(tǒng)、有序的“問題鏈”．

所謂“問題鏈”，指的是以學(xué)生的實(shí)際生活和思維層次為基礎(chǔ)，根據(jù)教學(xué)的核心內(nèi)容和目標(biāo)精心設(shè)計(jì)，能夠引領(lǐng)學(xué)生積極參與、深度思考的多個(gè)問題構(gòu)成的問題序列，這些問題具有明顯的啟發(fā)性、層次性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性等特征．值得注意的是，“問題鏈”并非幾個(gè)簡(jiǎn)單、隨意問題的疊加，而是需要精心構(gòu)思、綜合考量、整體架構(gòu)，形成具有目的性、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的系統(tǒng)化問題組．就一節(jié)數(shù)學(xué)課展開的“問題鏈”而言，通常由幾個(gè)核心問題串起課堂教學(xué)活動(dòng)的主線，每個(gè)核心問題再由若干個(gè)子問題構(gòu)成一個(gè)群組，而每個(gè)子問題往往又包含一些必要的追問、反問、詰問等．

3 指向深度思考的“問題鏈”設(shè)計(jì)案例剖析

旨在促進(jìn)學(xué)生深度思考的問題鏈設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求．一方面，教師需要具備立足于學(xué)生深度思考組織教學(xué)的信念，而不是單純地落腳于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的教授上；另一方面，教師需要具備問題鏈設(shè)計(jì)的技能，能根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，深入挖掘，精心組織，設(shè)置切實(shí)可行的問題串．設(shè)計(jì)的問題要有利于學(xué)生展開聯(lián)想、抽象、推理、決策等數(shù)學(xué)深層次思考活動(dòng)．下文以“直線與圓的位置關(guān)系”為例，對(duì)此作些探討．

3.1 內(nèi)容特點(diǎn)解析

“直線與圓的位置關(guān)系”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系之后，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的再探索，所以本節(jié)的研究可以類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得到直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．

對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的研究，反映了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系．這里的數(shù)形結(jié)合，既是重要的知識(shí)內(nèi)容，又是重要的思想方法．此外，直線與圓的位置關(guān)系是后續(xù)研究切線判定定理的基礎(chǔ).教學(xué)中，需注意引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地反思知識(shí)形成過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．

3.2 “問題鏈”三個(gè)層次的問題設(shè)計(jì)

根據(jù)“直線與圓的位置關(guān)系”的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)習(xí)要求，本著促進(jìn)學(xué)生深度思考的教學(xué)旨趣，確立了由三個(gè)核心問題引領(lǐng)、多個(gè)子問題和追問構(gòu)成的三個(gè)層次的問題鏈．具體如下：

問題1已經(jīng)研究了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，還可以研究哪些元素與圓的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖教師不是直接告訴學(xué)生本節(jié)課要研究的內(nèi)容，而是基于學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和水平，以半開放的問題引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、分析，并作出決策，此處無疑需要學(xué)生進(jìn)行更為深入的數(shù)學(xué)思考活動(dòng)．

問題2如何研究直線與圓的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)研究方法的高度啟領(lǐng)學(xué)生思考，完全放權(quán)讓學(xué)生自己規(guī)劃研究的路徑與方法，給學(xué)生留足思考的時(shí)間與空間．教學(xué)形式上先獨(dú)立思考，再討論交流，最后小結(jié)匯報(bào)，在師生的互動(dòng)過程中動(dòng)態(tài)生成新知．

追問1 你有哪些經(jīng)驗(yàn)？

追問2 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？

設(shè)計(jì)意圖通過追問1激發(fā)已有經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)引導(dǎo)學(xué)生類比思考、自主探究直線與圓的位置關(guān)系作好鋪墊．追問2啟發(fā)學(xué)生從研究內(nèi)容和研究方法方面進(jìn)行類比．

子問題1 你能將直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類嗎？畫出示意圖，說說你的分類標(biāo)準(zhǔn)．

設(shè)計(jì)意圖分類要遵循不重不漏的原則．預(yù)設(shè)有的學(xué)生可能根據(jù)直線與圓有無公共點(diǎn)分成兩類；有的學(xué)生可能根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)(0個(gè)、1個(gè)、 2個(gè))分成三類．通過歸納直線與圓的三種位置關(guān)系，介紹直線與圓相交、相切、相離的概念．

子問題2 直線與圓的三種位置關(guān)系中，每種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)了怎樣的數(shù)量關(guān)系？

追問1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的是哪兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系？為什么用這兩個(gè)量？

追問2 直線與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)哪兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系？為什么？

追問3 反過來，由圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系能否確定直線與圓的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖通過子問題2和三個(gè)環(huán)環(huán)相扣的追問，將學(xué)生的思考引向深入．回顧點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)了點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系．點(diǎn)到圓心的距離d的大小反映了點(diǎn)與圓的接近程度，而d與半徑r的大小關(guān)系恰好對(duì)應(yīng)點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系．類比思考直線與圓的位置關(guān)系，由直線與圓的位置關(guān)系可以得出d與r的數(shù)量關(guān)系，反之，由d與r的數(shù)量關(guān)系可以判定直線與圓的位置關(guān)系．

子問題3 “點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”與“直線與圓的位置關(guān)系”之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖將“直線與圓的位置關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)(圓心到直線的垂線段的垂足)與圓的位置關(guān)系”進(jìn)行研究．

問題4你還想研究什么？你準(zhǔn)備如何研究？

設(shè)計(jì)意圖用“還想研究什么？”這一問題實(shí)現(xiàn)首尾呼應(yīng)，引發(fā)學(xué)生的思考．進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)的思考延伸到課后，掌握研究數(shù)學(xué)問題的一般思路和方法．

4 深度思考視域下的問題鏈設(shè)置要點(diǎn)

4.1 基于學(xué)生學(xué)情，找準(zhǔn)“問題鏈”的設(shè)計(jì)落點(diǎn)，開拓思維空間

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，以學(xué)定教，教師要對(duì)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)情感進(jìn)行全面把握，從中挖掘出有效的切入點(diǎn)進(jìn)行“問題鏈”的設(shè)計(jì)．

面向全體學(xué)生的人本理念讓不同的學(xué)生有不同的收獲．本課例中，“如何研究直線與圓的位置關(guān)系？”給學(xué)生留足思考的時(shí)間與空間，“引而不牽”，讓學(xué)生的思維充分展開．鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立思考、自主探索，再小組合作、同伴互助，最后小結(jié)匯報(bào)、完善補(bǔ)充．設(shè)置追問：“你有哪些經(jīng)驗(yàn)？”“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？”等喚醒學(xué)生的舊知，為學(xué)生搭建思維的階梯．

4.2 基于結(jié)構(gòu)教學(xué)，構(gòu)建“問題鏈”的基本框架，提升思維層次

結(jié)構(gòu)式教學(xué)是一種高效化的課堂教學(xué)模式，能夠有效地避免課堂上低效化的“一問一答”．在設(shè)計(jì)“問題鏈”時(shí)，要以整體到局部的思想為指導(dǎo)，首先構(gòu)建起統(tǒng)領(lǐng)全課或某一新知識(shí)系統(tǒng)的問題鏈框架，再對(duì)每一部分進(jìn)行細(xì)化，通常利用橫向?yàn)橹?、縱向?yàn)檩o的方式構(gòu)建“問題鏈”框架．

首先基于核心問題，找準(zhǔn)“問題鏈”的主線，其次設(shè)計(jì)“子問題”，完善“問題鏈”整體框架．如本課例中有四個(gè)大問題：“問題1 已經(jīng)研究了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，還可以研究哪些元素與圓的位置關(guān)系？”“問題2 點(diǎn)與圓共有幾種位置關(guān)系？每種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)怎樣的數(shù)量關(guān)系？”“問題3 如何研究直線與圓的位置關(guān)系？”“問題4 你還想研究什么？你準(zhǔn)備如何研究？”其中，問題1提出了本課的研究課題，問題2回顧了已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，問題3則是本課的研究核心，問題4則為思考的延伸提供平臺(tái)．

在問題“直線與圓的三種位置關(guān)系中，每種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)了怎樣的數(shù)量關(guān)系？”中，設(shè)置三個(gè)追問：“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的是哪兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系？為什么用這兩個(gè)量？”“直線與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)哪兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系？為什么？”“反過來呢？”追問環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生的反思層層深入，思維拾級(jí)而上．

4.3 基于數(shù)學(xué)思維，豐富“問題鏈”的呈現(xiàn)形式，延展思維深度

挖掘教學(xué)內(nèi)容里隱含的數(shù)學(xué)思維元素，對(duì)“問題鏈”的呈現(xiàn)形式進(jìn)行豐富化設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷自主構(gòu)建的過程，學(xué)會(huì)思考問題、解決問題，在反思中不斷提升，達(dá)到思維的凝縮，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．

設(shè)置問題1“前面研究了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，還可以研究哪些元素與圓的位置關(guān)系？”引發(fā)學(xué)生新的思考，促進(jìn)發(fā)散性思維．設(shè)置問題4“你還想研究什么？你準(zhǔn)備如何研究？”啟發(fā)學(xué)生借助于研究經(jīng)驗(yàn)的遷移，暢想其他類似問題的研究內(nèi)容和研究方法，進(jìn)一步積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

波利亞曾說過：“當(dāng)我們解決了一個(gè)好的問題時(shí)，我們需要找到更多的好的問題．”一個(gè)好問題就像蘑菇在堆里生長，當(dāng)你找到其中一個(gè)時(shí)，你應(yīng)該繼續(xù)在它周圍尋找．優(yōu)質(zhì)“問題鏈”的設(shè)置，能在教學(xué)過程中串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)知識(shí)的自然生長和教學(xué)資源的生成，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞和深層思考，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)．