利用光變曲線估計(jì)獵鷹九號(hào)火箭末級(jí)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)研究*

蘇向澤，湯儒峰，李榮旺,3，李語強(qiáng),3

(1. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明 650216；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210034)

隨著人類航天活動(dòng)的開展，地球軌道上積攢了越來越多的空間碎片，這些空間碎片的存在對(duì)在軌運(yùn)行的航天器以及載人航天活動(dòng)帶來很大的威脅[1]?；鸺┘?jí)是指將目標(biāo)航天器推入運(yùn)行軌道的最后一級(jí)火箭，在完成任務(wù)后會(huì)繞地球按一定的軌道飛行，也屬于空間碎片?；鸺w尺寸大、重量大且運(yùn)行姿態(tài)不受控制，嚴(yán)重影響附近正常工作的航天器，一旦相撞會(huì)發(fā)生連鎖效應(yīng)，產(chǎn)生更多的空間碎片。因?yàn)榛鸺w的姿態(tài)和軌道不受控制，為了了解這些大型空間碎片的運(yùn)行狀態(tài)，需要對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)，獲取相關(guān)信息。地基光度觀測(cè)是最常用的觀測(cè)手段，可以獲取目標(biāo)的光度信息[2]。由于目標(biāo)的光度信息與運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)、形狀等多種因素相關(guān)，使用空間態(tài)勢(shì)感知的不同方法可以分別將這些信息分離，從而得到目標(biāo)的相關(guān)信息[3]。

國(guó)內(nèi)外分析空間目標(biāo)光度數(shù)據(jù)的方法主要有基于相位角的分析方法、基于極值點(diǎn)的分析方法[4]、基于光變曲線周期的分析方法[5]以及基于模型構(gòu)建的分析方法等[6]。前3種方法主要根據(jù)觀測(cè)得到的光變曲線，針對(duì)不同種類的空間目標(biāo)分析方法也不同。但是這3種方法的適用目標(biāo)有局限性，且只能針對(duì)某一特征進(jìn)行分析。基于模型構(gòu)建的分析方法主要包括基于非線性濾波的方法[7-8]、基于封閉面元模型分析方法和基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法等，其中，基于非線性濾波的方法是分析空間目標(biāo)特性的主要研究方法，通過構(gòu)建目標(biāo)運(yùn)動(dòng)和觀測(cè)模型來預(yù)測(cè)其運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)，需要精確的先驗(yàn)參數(shù)才能得到收斂的結(jié)果，不適用于先驗(yàn)參數(shù)較少的目標(biāo)。本文主要根據(jù)觀測(cè)到的火箭體光度數(shù)據(jù)，對(duì)處理后的光變曲線進(jìn)行周期分析，確定火箭體的旋轉(zhuǎn)周期，通過目標(biāo)相位角和形狀參數(shù)建立光度模型，對(duì)比觀測(cè)光變曲線和理論計(jì)算得到的光變曲線估計(jì)旋轉(zhuǎn)軸的指向。本文根據(jù)得到的收斂區(qū)間證明了構(gòu)建光度模型方法的可行性，為研究其他類型的空間目標(biāo)姿態(tài)提供參考。

1 獵鷹九號(hào)火箭末級(jí)信息

本文選擇獵鷹九號(hào)火箭末級(jí)(編號(hào)：42 968)作為研究目標(biāo)。獵鷹九號(hào)火箭是SpaceX公司研制的重型運(yùn)載火箭，是現(xiàn)役運(yùn)載能力最大的火箭之一，末級(jí)火箭的尺寸較其他火箭體更大，更易進(jìn)行預(yù)報(bào)和光度觀測(cè)，同時(shí)大尺寸也使得它對(duì)正常工作的航天器影響更大。了解其姿態(tài)可以更好地預(yù)測(cè)它的運(yùn)動(dòng)，從而使其他正常工作的航天器更好地規(guī)避碰撞風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)SpaceX公司發(fā)布的數(shù)據(jù)，42 968號(hào)目標(biāo)是獵鷹九號(hào)中V1.2型火箭的火箭末級(jí)，如圖1，去除下底面引擎后長(zhǎng)約9.44 m，底面直徑3.66 m，軌道為大橢圓形，近地點(diǎn)230 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)33 819 km，具體信息如表1。

表1 目標(biāo)42 968相關(guān)信息Table 1 Informations of target 42 968

2 光度數(shù)據(jù)的獲取流程

本文采用地基光度測(cè)量的方法獲取目標(biāo)的光度信息，利用云南天文臺(tái)1.2 m望遠(yuǎn)鏡對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè)。將采集的圖像進(jìn)行本底和平場(chǎng)改正、流量定標(biāo)、斜距歸一化等處理，得到目標(biāo)的視星等及星等隨時(shí)間變化的光變曲線。

2.1 圖像采集

觀測(cè)前從space-track網(wǎng)站(https://www.space-track.org)獲取衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)，一般為雙行根數(shù)格式(TLE)。雙行根數(shù)的預(yù)報(bào)精度不高，應(yīng)用到激光測(cè)距中需要修正[9]，而本文觀測(cè)使用的望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)較大，可以不進(jìn)行軌道修正。本文使用云南天文臺(tái)1.2 m望遠(yuǎn)鏡及30 cm導(dǎo)星鏡、配套控制系統(tǒng)、CCD相機(jī)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè)并采集平場(chǎng)、定標(biāo)星及目標(biāo)的光度信息，使用SourceExtractor[10]軟件提取定標(biāo)星和待測(cè)目標(biāo)的流量值。

觀測(cè)時(shí)間為2019年12月13日和2019年12月15日，每次觀測(cè)約30 min，具體信息如表2。圖2是1.2 m望遠(yuǎn)鏡拍攝的目標(biāo)光度圖像，中間的亮點(diǎn)為觀測(cè)目標(biāo)。圖3為13日和15日觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)相對(duì)于望遠(yuǎn)鏡方位角和高度角隨時(shí)間變化的曲線，以極坐標(biāo)的形式表示,13日用實(shí)線表示，15日用虛線表示，每段曲線的初始方位和高度角通過曲線中標(biāo)注的點(diǎn)表示，可以看出在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)的方位和高度變化不大。

表2 觀測(cè)信息Table 2 The information of observation

圖2 目標(biāo)光度圖像Fig.2 Object′s luminosity figure

圖3 觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)方位角與高度角Fig.3 Space object′s azimuth and elevation in observe periods

2.2 平場(chǎng)、本底處理及流量定標(biāo)

我們首先對(duì)采集的本底與平場(chǎng)圖像進(jìn)行歸一化處理，并計(jì)算經(jīng)過平場(chǎng)處理后的圖像灰度值：

(1)

其中，GO為原始圖像的灰度值；Gbias為本底灰度值；Gflat為標(biāo)準(zhǔn)平場(chǎng)灰度值。根據(jù)現(xiàn)有的星表選擇定標(biāo)星并跟蹤觀測(cè)，由于望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)較小，不能用場(chǎng)星定標(biāo)，因此本文選擇Landolt星表里的恒星G162，采集到光度圖像后經(jīng)過本底、平場(chǎng)歸一化得到處理后的圖像，這樣可以消除望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)光度的影響。將處理后的圖像與星表中的位置進(jìn)行比對(duì)確定恒星，得到恒星光度流量值，再除以曝光時(shí)間，得到定標(biāo)星單位時(shí)間內(nèi)的流量值fcal，視星等值已知為Mcal=13.012，這樣可以獲得儀器的星等零點(diǎn)

M0=2.5log10fcal+Mcal，

(2)

從而計(jì)算得到目標(biāo)的視星等

Mobj=-2.5log10fobj+M0，

(3)

其中，fobj為待測(cè)目標(biāo)的流量值。

2.3 異常點(diǎn)及斜距歸一化處理

在使用SourceExtractor提取流量時(shí)會(huì)識(shí)別到非待測(cè)目標(biāo)的流量信息，從而得到錯(cuò)誤的星等值。觀測(cè)過程中望遠(yuǎn)鏡對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，目標(biāo)在圖像中的位置相對(duì)固定，但是因預(yù)報(bào)誤差其位置會(huì)產(chǎn)生變化，因此，在目標(biāo)軌道預(yù)報(bào)精確或目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度不快的情況下，可以根據(jù)目標(biāo)在圖像中的坐標(biāo)將錯(cuò)誤識(shí)別的目標(biāo)剔除，從而計(jì)算得到正確的星等。圖4為13日及15日的異常點(diǎn)在CCD中的坐標(biāo)信息，可以看到一部分點(diǎn)離散在目標(biāo)坐標(biāo)區(qū)域外，根據(jù)這一信息將坐標(biāo)錯(cuò)誤的點(diǎn)剔除。這一方法不能將被恒星污染、云層遮擋這樣的情況剔除，而這兩種情況下目標(biāo)的星等值會(huì)發(fā)生突變，所以可以將距離平均光變曲線0.5星等的數(shù)據(jù)點(diǎn)FITS(Flexible Image Transport System)圖像與在平均光變曲線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的FITS圖像進(jìn)行比對(duì)，確認(rèn)得到的是否是待測(cè)目標(biāo)的光度信息，圖4中15日目標(biāo)坐標(biāo)區(qū)域中的菱形點(diǎn)就是被恒星污染的異常點(diǎn)。

圖4 目標(biāo)異常點(diǎn)坐標(biāo)分布Fig.4 Outlier of space object′s coordinate distribution

將異常點(diǎn)剔除后得到目標(biāo)的光度數(shù)據(jù)，為了去除待測(cè)目標(biāo)斜距對(duì)目標(biāo)光度的影響，需要對(duì)得到的星等進(jìn)行斜距歸一化處理[11]，通常將衛(wèi)星斜距歸一化到1 000 km處。根據(jù)公式

(4)

得到歸一化后的星等Muni，其中，Robj為衛(wèi)星距測(cè)站的斜距；Runi=1 000 km。

圖5為剔除異常點(diǎn)、斜距歸一化后的光變曲線，由圖5可見，光度隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)周期性特征，而且在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)星等的變化周期基本保持不變，大致為125 s，整體光變曲線有一個(gè)緩慢的變化趨勢(shì)，這兩天的星等有緩慢增大的趨勢(shì)，曲線振幅在逐漸變大。下一步針對(duì)這兩條光變曲線進(jìn)行分析，以確定目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)速率及旋轉(zhuǎn)軸的指向。

圖5 觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)42 968的光變曲線Fig.5 The lightcurve of 42 968 in observation periods

3 火箭體旋轉(zhuǎn)狀態(tài)分析

火箭體屬于空間碎片且運(yùn)行軌道和姿態(tài)不受地面控制。描述火箭體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)主要包括旋轉(zhuǎn)周期、旋轉(zhuǎn)軸指向和旋轉(zhuǎn)初相位。本節(jié)主要根據(jù)第2節(jié)得到的目標(biāo)光變曲線確定目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)周期和旋轉(zhuǎn)軸指向，并分析得到的結(jié)果。

3.1 會(huì)合周期分析

會(huì)合周期是一種相對(duì)周期，取決于衛(wèi)星、測(cè)站及太陽的位置關(guān)系。根據(jù)網(wǎng)球拍定理[12]可知，自由剛體逐漸繞著目標(biāo)最大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軸旋轉(zhuǎn)。獵鷹九號(hào)火箭末級(jí)入軌時(shí)間較長(zhǎng)(從2017年10月發(fā)射至觀測(cè)時(shí)約兩年)，其幾何形狀近似為圓柱體，所以可以合理假設(shè)目標(biāo)繞著垂直于目標(biāo)側(cè)面的軸旋轉(zhuǎn)，對(duì)于測(cè)站來說，觀測(cè)到的星等變化周期只是旋轉(zhuǎn)周期的一半，故會(huì)合周期大約是250 s。為了更加精確地確定會(huì)合周期，本文采用相位離散最小化方法(Phase Dispersion Minimization, PDM)[13]將數(shù)據(jù)點(diǎn)分段進(jìn)行分析得到最優(yōu)解。相位離散最小化的原理是將觀測(cè)數(shù)據(jù)按試驗(yàn)周期計(jì)算，根據(jù)試驗(yàn)周期計(jì)算相位矢量，將相位矢量按(0, 1)區(qū)間劃分為不同的子區(qū)間，計(jì)算子區(qū)間與整個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)方差，使得兩者之比最小的試驗(yàn)周期即最精確的會(huì)合周期。

空間目標(biāo)的離散觀測(cè)值可以分為兩個(gè)矢量：星等矢量m及觀測(cè)時(shí)間矢量t，其中，第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)

可以表示為(mi,ti)，假設(shè)在一個(gè)觀測(cè)時(shí)段內(nèi)共有N個(gè)觀測(cè)離散點(diǎn)，即i=1, 2, …,N，則星等矢量m的方差σ2為

(5)

(6)

假設(shè)P為試驗(yàn)周期矢量，P中的元素為pk，根據(jù)試驗(yàn)周期計(jì)算時(shí)間矢量t的相位矢量φ。對(duì)于相位矢量Φ中的每個(gè)元素

(7)

Θ≈1；如果pk是正確的周期，Θ在試驗(yàn)周期內(nèi)會(huì)達(dá)到最小值，且趨近于0。

由火箭體的光度數(shù)據(jù)，t為觀測(cè)時(shí)段的時(shí)間點(diǎn)，m為觀測(cè)時(shí)段的目標(biāo)星等值，會(huì)合周期大約為250 s，所以試驗(yàn)周期矢量P為200～300，步長(zhǎng)取0.1，相位間隔步長(zhǎng)取0.1，即將(0, 1)區(qū)間劃分為10個(gè)子區(qū)間，使用上述參數(shù)及相位離散最小化方法計(jì)算得到更為準(zhǔn)確的火箭體會(huì)合周期。

圖6為兩個(gè)觀測(cè)時(shí)段內(nèi)試驗(yàn)周期及通過相位離散最小化方法計(jì)算得到的試驗(yàn)周期對(duì)應(yīng)的Θ值。由圖6(a)可以發(fā)現(xiàn)，在試驗(yàn)周期內(nèi)存在一個(gè)極小值點(diǎn)，13日在Θ最小處對(duì)應(yīng)的周期為249.230 s，由圖6(b)可以得到15日在Θ最小處對(duì)應(yīng)的周期為248.290 s。

圖6 火箭體會(huì)合周期分析Fig.6 Analysis of Rocket Body′s Synodic Period

3.2 旋轉(zhuǎn)軸指向分析

空間目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)包含旋轉(zhuǎn)周期及旋轉(zhuǎn)軸指向，通過相位離散最小化方法得到會(huì)合周期，觀測(cè)目標(biāo)的星等變化周期比較穩(wěn)定且相對(duì)于測(cè)站及太陽的相位角變化不大，所以該目標(biāo)的會(huì)合周期可近似看作旋轉(zhuǎn)周期。

在赤道慣性坐標(biāo)系下，旋轉(zhuǎn)軸以矢量P表示，轉(zhuǎn)化為赤經(jīng)α、赤緯δ為

(8)

在分析旋轉(zhuǎn)軸指向前需要建立目標(biāo)光度模型。火箭體本身并不發(fā)光，而是反射太陽光，測(cè)站觀測(cè)到的目標(biāo)圖像其實(shí)是火箭體的反射光，與目標(biāo)的表面材料、形狀和太陽-目標(biāo)-測(cè)站之間的幾何關(guān)系有關(guān)，三者的幾何關(guān)系如圖7，其中，uobs和usun分別為目標(biāo)到地球和太陽的方向單位矢量，un為目標(biāo)表面面元的法線方向單位矢量，uobs和usun之間的夾角即相位角[14]iPA，uh是相位角平分線方向單位矢量。由目標(biāo)的雙行根數(shù)得到位置信息，13日的雙行根數(shù)歷元為2019-12-12T18:50:17Z，15日的雙行根數(shù)歷元為2019-12-14T10:29:09Z，太陽的位置信息由噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室的DE430星歷給出，測(cè)站位置為(25.029 9 N,102.797 4 E)，海拔高度為1 991.83 m。將這三者的位置轉(zhuǎn)換到慣性系下表示為位置矢量，根據(jù)三者的位置矢量可求出uobs，usun，則相位角

圖7 太陽-目標(biāo)-測(cè)站之間的幾何關(guān)系Fig.7 The geometry relationship of sun-space object-observation station

(9)

觀測(cè)時(shí)段內(nèi)相位角的變化如圖8。

圖8 觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)相位角變化曲線Fig.8 Variation trend of object′s phase angle in observation period

火箭體的形狀可看作圓柱體，根據(jù)此假設(shè)可以計(jì)算火箭體的等效面積。假設(shè)太陽光在火箭體表面為漫反射[15]，圓柱體側(cè)面的法線方向定義為圓柱的上下底中心連線，向上底方向?yàn)檎?，圓柱體側(cè)面面元的法線方向?yàn)榇怪庇诿嬖较蛳蛲?，?duì)圓柱體側(cè)面面元積分就可以得到側(cè)面的等效面積。太陽入射角為isun，衛(wèi)星-測(cè)站方向矢量與法線方向矢量夾角為iobs，則圓柱體側(cè)面等效面積為

(10)

其中，θ滿足

(11)

其中，Acy為圓柱體側(cè)面面積；φ為圓柱體柱坐標(biāo)系的方位角參數(shù)；h為圓柱體高度；d為圓柱體底面直徑。

圓柱體上下兩底可近似看作平面，平面的等效面積為

Aplea=Aplcosisuncosiobs.

(12)

不考慮下底的火箭體噴嘴，火箭體上下底的法線方向分別沿著上下底平面從里向外，使用(12)式分別計(jì)算火箭體上下底的等效面積，根據(jù)火箭體側(cè)面及上下底的等效面積就可以確定火箭體的等效面積，從而計(jì)算目標(biāo)的模型光度。

以13日的數(shù)據(jù)為例，已知Δ0=0°，Δ1=90°，T0=249.23 s，遍歷3個(gè)參數(shù)：λ0∈[0, 360]，步長(zhǎng)為2；θ0∈[0, 180]，步長(zhǎng)為1；φ0∈[0, 360]，步長(zhǎng)為10。每次循環(huán)計(jì)算觀測(cè)時(shí)段內(nèi)觀測(cè)星等與模型星等之差的方差，遍歷所有參數(shù)后得到總體方差分布，以φ0劃分共有36個(gè)觀測(cè)值與計(jì)算值之差(O-C)的方差分布圖，在每個(gè)方差分布圖中橫坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)軸指向λ0，縱坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)軸指向θ0，每張O-C方差分布圖有兩個(gè)方差極小值區(qū)域，分別位于每張子圖中的左下方及右上方，且關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱。這是由于建立光度模型時(shí)，假設(shè)火箭體上底及下底面積相等導(dǎo)致的對(duì)稱性，根據(jù)這一推論可知在兩個(gè)方差極小值區(qū)域分別存在使得方差最小的參數(shù)組合，在每個(gè)方差極小值區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)最小方差收斂區(qū)域，O-C方差最小值點(diǎn)在其中一個(gè)方差收斂區(qū)間內(nèi)。

計(jì)算每張等高線圖內(nèi)最小方差及所對(duì)應(yīng)的(λ0,θ0,φ0)組合，得到36個(gè)最小方差點(diǎn)，在這36種組合中選擇最小方差對(duì)應(yīng)的組合：(λ0,θ0,φ0)=(212, 116, 120)。圖9(a)給出了最小方差組合對(duì)應(yīng)的方差分布圖，等高線顏色越接近藍(lán)色表示方差越小，越接近紅色表示方差越大。根據(jù)O-C方差的對(duì)稱性可知,在方差分布圖的左下方也應(yīng)存在使得O-C方差最小的參數(shù)組合，計(jì)算關(guān)于左下方差極小值區(qū)域O-C方差最小值的參數(shù)組合，得到圖9(b)，方差極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(λ0,θ0,φ0)=(32, 64, 290)，處于O-C方差收斂區(qū)間內(nèi)。

將以上得到的兩個(gè)參數(shù)組合分別代入光度模型，并比對(duì)模型光變曲線和觀測(cè)光變曲線，比對(duì)結(jié)果如圖10。圖10(a), (b)分別對(duì)應(yīng)圖9(a), (b)得到的參數(shù)，圖中標(biāo)識(shí)了每個(gè)參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的O-C方差值，可以發(fā)現(xiàn)圖10(a)O-C方差值更小，(b)的方差與(a)的方差相差不大并且目標(biāo)星等的變化趨勢(shì)也很好地?cái)M合出來。從圖10(a)可以看到，光度模型擬合了火箭體光度整體的變化趨勢(shì)，包括振幅逐漸變大的趨勢(shì)及每個(gè)周期星等極大值點(diǎn)的變化，不過對(duì)于每個(gè)周期星等極小值點(diǎn)處的光度突變光度模型并沒有很好地?cái)M合，這一部分的突變可能由于火箭體側(cè)面鏡反射導(dǎo)致的，而光度模型只考慮了目標(biāo)漫反射的情況。

圖9 13日O-C方差分布等高線圖Fig.9 Distribution of variance between observation value and calculate value′s difference in 2019-12-13

根據(jù)以上分析可以確定編號(hào)為42 968的目標(biāo)旋轉(zhuǎn)軸指向可能包含兩種組合，分別是(λ0,θ0)=(212, 116)及(λ0,θ0)=(32, 64)，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)初相位分別是120°，290°，兩者之差為170°，而且求得的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸指向赤緯λ0相差180°，兩個(gè)余緯θ0與90°之差的絕對(duì)值都為26°，正好對(duì)應(yīng)了光度建模時(shí)火箭末級(jí)上下底面積相等而導(dǎo)致求得的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸指向關(guān)于慣性系原點(diǎn)對(duì)稱的情況。

4 結(jié) 論

本文通過分析獵鷹九號(hào)火箭體的光變曲線確定其旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，根據(jù)2019年12月13日和15日實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)得到目標(biāo)光變曲線存在明顯的周期性，說明目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)較為穩(wěn)定。由于在兩天的觀測(cè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)相位角的不同造成了歸一化處理后的目標(biāo)絕對(duì)星等的細(xì)微差別。由光變曲線的周期并通過相位離散最小化方法確定了目標(biāo)的會(huì)合周期：13日目標(biāo)的會(huì)合周期為249.23 s，15日目標(biāo)的會(huì)合周期為248.29 s，在兩天的時(shí)間里目標(biāo)的周期并沒有發(fā)生明顯的變化。通過建立光度模型的方法計(jì)算目標(biāo)的模型星等，搜尋旋轉(zhuǎn)軸指向和旋轉(zhuǎn)初始相位，以模型星等與觀測(cè)星等之差的方差最小為判據(jù)，確定目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)軸指向。本文計(jì)算了13日的O-C方差，由于模型假設(shè)火箭體的上底及下底面積相等，所以得到了兩個(gè)可能的旋轉(zhuǎn)軸指向，分別為(λ0,θ0)=(212, 116)及(λ0,θ0)=(32, 64)，若要更加精確地確定旋轉(zhuǎn)軸指向還需更多的觀測(cè)數(shù)據(jù)并完善光度模型。