基于柔性襯底的平面螺旋電感的計(jì)算與仿真

喬照洋

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，射頻識(shí)別(RFID)技術(shù)和無源無線傳感技術(shù)已經(jīng)應(yīng)用于生物和醫(yī)療領(lǐng)域。根據(jù)生物體和人體醫(yī)療等應(yīng)用的需求，平面電感需要基于柔性襯底建立?；谌嵝砸r底的平面電感在工程應(yīng)用中還十分少見。RFID技術(shù)、無源無線傳感中有一類是利用了電感的近場(chǎng)耦合原理。因此，平面電感的設(shè)計(jì)和制作對(duì)于這類RFID技術(shù)和無源無線傳感技術(shù)十分關(guān)鍵。

柔性襯底電感的發(fā)展非常迅速，多種類型的柔性襯底器件已經(jīng)在國外研制出來。日本東京大學(xué)研究出柔性多通道神經(jīng)檢測(cè)探針陣列，用來檢測(cè)大腦中不同神經(jīng)的活躍性；德國生物醫(yī)學(xué)工程研究所研制出一種用于視網(wǎng)膜移植的柔性微電極陣列。

隨著混合微電子和微波集成電路領(lǐng)域技術(shù)的進(jìn)步，微膜微電感器的使用程度不斷增加。電感的設(shè)計(jì)在這段時(shí)期內(nèi)，很大程度上基于以上理論推導(dǎo)。電感的設(shè)計(jì)與工藝的制作是一個(gè)非常耗時(shí)的過程。因此，基于計(jì)算機(jī)仿真的電感設(shè)計(jì)方法能大大提高設(shè)計(jì)效率[1]。

1 柔性襯底簡介

傳統(tǒng)的微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)器件大多制作在硅、玻璃等剛性襯底上，制作的器件大多是無法彎曲的剛性結(jié)構(gòu)，然而在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)可撓性好、能貼附在任意曲面或不規(guī)則物體表面的類皮膚型器件的需求日益增多。

柔性器件具有很多優(yōu)點(diǎn)，它們廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)藥、大氣監(jiān)測(cè)和航空航天等領(lǐng)域中。常用的柔性襯底有聚酯、聚酰亞胺、很薄的金屬、聚二甲基硅氧烷等。

當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的柔性襯底材料之一是聚酰亞胺。它具有優(yōu)異的介電性能、力學(xué)機(jī)械性能、穩(wěn)定的物理化學(xué)性能和耐熱性能等。聚酰亞胺襯底可以任意修改圖形設(shè)計(jì)，任意安排空間布局[2]。

銅箔襯底和很薄的金屬有良好的機(jī)械性能，但柔性較差。

硅橡膠具有很好的彈性，而且還有氣體通透性、生物兼容性和優(yōu)質(zhì)的光學(xué)特性。

2 平面電感簡介

平面電感相對(duì)于普通電感有體積小、集成度高和工藝簡單等優(yōu)點(diǎn)。

普通電感的數(shù)值通常受物理因素、電感材料和鐵芯的影響，十分難以控制。在電感設(shè)計(jì)的過程中，設(shè)計(jì)者很難掌握電感的取值，而且線寬、線圈匝數(shù)和間距都會(huì)對(duì)電感值產(chǎn)生影響，使實(shí)驗(yàn)難度大大增加，實(shí)驗(yàn)的過程變得冗長。隨著科技進(jìn)步，人們逐漸開始改進(jìn)電感，把立體電感二維平面化。20世紀(jì)70年代至90年代末，研究人員對(duì)平面電感產(chǎn)生深厚的興趣。21世紀(jì)，貼片元件開始進(jìn)入人們的眼簾，然而在電路中它會(huì)產(chǎn)生寄生效應(yīng)。為了避免這些不必要的損失，研究人員已經(jīng)開始在電路的表面上制備這些電子器件。電子科學(xué)與技術(shù)未來的發(fā)展能否前進(jìn)的關(guān)鍵在于印刷電路。元件的密集度與集成化即將成為電子科學(xué)技術(shù)的重點(diǎn)。

普通電感的電感值大概在1～20 nH，Q值可以達(dá)到10,平面電感可以達(dá)到更高的電感值和Q值。平面螺旋電感的主要形狀有正方形、矩形、六邊形、八邊形和圓形。其中正方形螺旋電感最易設(shè)計(jì)，應(yīng)用最為廣泛。電感的幾何參數(shù)(導(dǎo)體的寬度,相鄰導(dǎo)體之間的間距，匝數(shù))和幾何形狀對(duì)平面電感參數(shù)的影響需要通過模擬和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證[3]。

圖1 平面電感的四種常見類型

3 平面電感參數(shù)計(jì)算

為了在射頻識(shí)別頻域內(nèi)精確模擬射頻(RF)平面螺旋電感的性能，研究者設(shè)計(jì)了一種計(jì)算RF平面螺旋電感的物理模型，這種模型使用格林豪斯法計(jì)算電感值，需要考慮渦流和襯底電阻以及寄生電容等對(duì)電感的影響，寄生電容包括電感與終端引出層間的交叉電容、襯底電容、電感與襯底間的電容等。這種模型能夠計(jì)算不一樣的設(shè)計(jì)形狀和因素的電感，為電感的設(shè)計(jì)和質(zhì)量的提高提供了一種很好的方法。電感的形狀不同，總的電感值也不同。可以根據(jù)電感的材料長度和所占面積來選擇具體形狀的平面電感。利用擴(kuò)展格洛夫方程、無互感格洛夫方程、布萊恩方程、特曼方程等公式計(jì)算螺旋形電感的互感和總電感。

3.1 平面電感值的計(jì)算

對(duì)于給定的形狀，定義電感參數(shù)：匝數(shù)n、寬度w、間距s，和外徑dout，內(nèi)徑din，平均直徑davg=0.5×(dout+din)，填充比Δ=(dout-din)/(dout+din)。

為了確定離散平面螺旋電感的電感值，使用了以下幾種算法：

(1) 修改后的韋爾公式：

Lmw=K1×μ0×n2×davg/(1+K2×Δ)

(1)

式中：μ0是真空磁導(dǎo)系數(shù)，μ0=4π×10-7N/A2;K1、K2的值和設(shè)計(jì)的圖形有關(guān),如表1所示。

表1 K1、K2與圖形形狀的關(guān)系

(2) 基于面電流近似法的計(jì)算公式：

Ls=(μ0×n2×davg×c1/2)×

[ln(c2/Δ)+c3×Δ+c4×Δ2]

(2)

表2 面電流近似計(jì)算公式中的參數(shù)C列表

(3) 基于數(shù)據(jù)擬合技術(shù)的計(jì)算公式:

Lmon=β×doutα1×ωα2×davgα3×nα4×sα5

(3)

式中：β,α為電感結(jié)構(gòu)因子，不同形狀的取值見表3。

表3 數(shù)據(jù)擬合計(jì)算公式中的結(jié)構(gòu)因子參數(shù)表

經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，通過應(yīng)用這些公式獲得的電感值的差異不超過10%。

3.2 平面電感串聯(lián)電阻的計(jì)算

對(duì)串聯(lián)電阻的計(jì)算應(yīng)用以下計(jì)算公式：

(4)

式中：P為金屬直流電阻率;l為螺旋的總長度；w為線寬；δ為金屬表面深度；t為金屬厚度。

3.3 平面電感電容的計(jì)算

在結(jié)構(gòu)上矩形導(dǎo)體表面和電路板十分接近，導(dǎo)致導(dǎo)體之間水平方向電容的產(chǎn)生。如圖2所示。

圖2 上有2個(gè)矩形導(dǎo)體(相距d)的電路板

圖2中：w為導(dǎo)體寬度；t為矩形導(dǎo)體厚度；d為2個(gè)矩形導(dǎo)體間的距離；l為矩形導(dǎo)體長度；εr為矩形導(dǎo)體相對(duì)介電常數(shù)。

單位長度的電容計(jì)算公式：

(5)

式中：ε0=8.854 187 817 6×10-12;εr(off)為矩形導(dǎo)體相對(duì)介電常數(shù)。

當(dāng)d小于h，εr(off)≈1；當(dāng)d約等于絕緣體的高度h，εr(off)≈(εr+1)/2。

3.4 平面互感的計(jì)算

對(duì)于L形薄膜電感，其總電感等于雙直線段自感的總和，但是小于相同長度下單根直線段的電感。在矩形或正方形平面線圈的情況下，互相平行的直線段會(huì)產(chǎn)生互感。

圖3表示由i1、i2產(chǎn)生的互感，在這情況下M1,2=dΦ1,2/di1，M2,1=dΦ2,1/di2，Φ1,2是通過L1、L2的電流i1產(chǎn)生的自感通量，Φ2,1是通過L1、L2的電流i2產(chǎn)生的自感通量。當(dāng)2個(gè)電流產(chǎn)生的頻率相同，總的互感MT等于M1,2和M2,1向量之和；當(dāng)這些頻率不同時(shí)，必須使用瞬時(shí)和。

圖3 單電流線圈產(chǎn)生的互感

平面矩形線圈如圖4所示，該線圈的總電感量等于所有互感和自感的總和。

圖4 平面矩形螺旋線圈

圖4中，段1和5之間的互感M1，5由通過段1的電流產(chǎn)生，互感M5，1由通過段5的電流產(chǎn)生。由于在2個(gè)段的頻率和相位是相同的，連接在它們之間的總互感等于M1，5+M5，1。段對(duì)2-6、3-7和4-8之間存在類比關(guān)系。在這些段對(duì)中，電流同方向的2段之間的互感正相關(guān)。另一方面，1和7之間的互感由段1電流引起的M1,7和段7電流引起的M7,1組成。連接這2個(gè)段的總互感是M1,7+M7,1，段1中的電流方向與段7中的相反，互感負(fù)相關(guān)。 1-3、5-7、5-3、2-8、2-4、6-8、6-4中存在相同的類比關(guān)系。在所有導(dǎo)線中，由于電流的大小是相同，所以Ma,b=Mb,a，因此總電感是：

LT=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+

2(M1,5+M2,6+M3,7+M4,8)-

2(M1,7+M1,3+M5,7+M5,3+

M2,8+M2,4+M6,8+M6,4)

(6)

完整線圈或部分線圈的一般計(jì)算法為:

LT=L0+∑M

(7)

式中：LT是總電感；L0是所有直導(dǎo)線的總自感；∑M是總互感，包括正互感與負(fù)互感。

上式可以重新寫為:

LT=L0+M+-|M-|

(8)

式中：M+是總的正互感;M-是總的負(fù)互感。

平行導(dǎo)線之間的互感是導(dǎo)線長度和幾何平均距離的函數(shù)，M=2ρQ,M的單位是mμH，ρ是以mm為單位的導(dǎo)線長度，Q是互感系數(shù)。

4 測(cè)量值與理論值的比較

為了對(duì)第3節(jié)的計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)證，用LRC數(shù)字電橋?qū)D5中的5個(gè)平面螺旋電感在100 MHz下進(jìn)行測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如表4所示。

圖5 實(shí)際測(cè)量的正方形螺旋電感

表4 平面電感測(cè)量值與計(jì)算值比較

可以得出：匝數(shù)N越大，理論計(jì)算值與實(shí)際值的偏差越大[4]。

5 平面電感的仿真

平面螺旋電感主要有2個(gè)特性參數(shù)：品質(zhì)因數(shù)Q和電感值L。品質(zhì)因數(shù)Q的大小是用來表示電感性能好壞的1個(gè)指標(biāo)，其定義為1個(gè)周期內(nèi)電感中存儲(chǔ)能量和消耗能量的比值。感抗是電感線圈對(duì)交流電流阻礙作用的大小，用2πfL表示。

仿真分析電感時(shí)，把電感當(dāng)做一個(gè)雙端口器件,如圖6所示。計(jì)算電感的等效電感值L和品質(zhì)因數(shù)Q時(shí)，將一端接地，如圖7，另一端等效阻抗為Zin,則Q的定義為Zin的虛部與實(shí)部的比值，L定義為虛部除以角頻率。

Q=Im(Zin)/Re(Zin)

(9)

L=Im(Zin)/ω

(10)

圖6 雙端口等效電路

圖7 單端接地等效電路

由圖6可以得到關(guān)系式：v1=Z11i1+Z12i2，v2=Z21i1+Z22i2。

圖7中，當(dāng)端口2接地后，得到關(guān)系式：i2=-Z21i1/Z22，代入式(9)、式(10)得到Zin=-v1/i1=1/Y11。

利用Ansys軟件仿真設(shè)計(jì)一個(gè)銅襯底的厚度為2 μm、線寬為15 μm、外徑為450 μm、內(nèi)徑為420 μm的矩形平面電感，如圖8所示。Q與f的仿真關(guān)系如圖9所示，L與f的仿真關(guān)系如圖10所示。

圖8 平面電感仿真圖

電感達(dá)到一定頻率就會(huì)自諧振，超過這個(gè)頻率就會(huì)表現(xiàn)出電容特性。通過仿真可以得出，Q隨f的變化先變大后變小，在3 GHz達(dá)到最大值；L隨f的變化先變大后變小再變大，在11.5 GHz達(dá)到最大值。Q與L很難在同一頻率達(dá)到最大。

圖9 Q與f的仿真關(guān)系圖

圖10 L與f的仿真關(guān)系圖

6 結(jié)束語

本文介紹了基于柔性襯底平面電感的串聯(lián)電阻、電容、互感、總電感的計(jì)算方法，給出了平面電感的結(jié)構(gòu)類型；對(duì)平面電感的實(shí)際電感值與理論計(jì)算值做了比較；通過仿真得到電感值和品質(zhì)因數(shù)與頻率的關(guān)系。通過改變電感結(jié)構(gòu)和電感參數(shù)，有助于實(shí)現(xiàn)不同類型的電感設(shè)計(jì)。