基于ARIMA模型對(duì)中、美、德三國(guó)CPI的分析與預(yù)測(cè)

馬瑤 孫中玉 鄒益玲

要：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是衡量通貨膨脹的重要指標(biāo)。運(yùn)用ARIMA時(shí)間序列模型對(duì)中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)2000年1月至2020年4月的月度居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與建模。首先，通過(guò)ADF單位根檢驗(yàn)、自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖來(lái)確定模型階數(shù);其次，通過(guò)比較各個(gè)模型的AIC與BIC值來(lái)確定最佳模型;最后，通過(guò)對(duì)模型殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證模型的可靠性，并對(duì)2020年5—12月各國(guó)的CPI指數(shù)進(jìn)行模型預(yù)測(cè)與分析。結(jié)果表明，ARIMA模型能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)CPI指數(shù)的變化趨勢(shì)，且政府對(duì)疫情的干預(yù)會(huì)對(duì)CPI的變化產(chǎn)生重要影響。

關(guān)鍵詞：CPI;ARIMA模型;時(shí)間序列分析;趨勢(shì)預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)：F726? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1673-291X（2021）08-0001-04

引言

新型冠狀病毒肺炎疫情在全世界范圍的大面積傳播，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展產(chǎn)生重大沖擊，以至各行各業(yè)大多進(jìn)入停產(chǎn)停工階段。為了更加直觀快速地了解這次疫情對(duì)人民日常生活的影響，本文擬通過(guò)時(shí)間序列模型來(lái)分析居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）的變化趨勢(shì)和政府在疫情期間采取的應(yīng)對(duì)政策對(duì)CPI變化的影響。CPI（Consumer Price Index）指數(shù)一般被用來(lái)衡量通貨膨脹程度，能反映城鄉(xiāng)居民家庭一般所購(gòu)買的消費(fèi)商品和服務(wù)價(jià)格水平的變動(dòng)情況 （雷鵬飛，2014）[1]。若CPI升幅過(guò)大，則表明通脹已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定因素，國(guó)家會(huì)有緊縮貨幣政策和財(cái)政政策的風(fēng)險(xiǎn)（Mohamed J.，2020）[2]。因此，對(duì)CPI指數(shù)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，不僅能使政府和國(guó)家對(duì)未來(lái)可能發(fā)生的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)做出準(zhǔn)確與及時(shí)的判斷，而且能夠幫助政府對(duì)當(dāng)前不適應(yīng)未來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的政策進(jìn)行及時(shí)的調(diào)整，以便促進(jìn)經(jīng)濟(jì)繁榮、快速發(fā)展。

由于不同國(guó)家對(duì)于疫情的處理方式不同，導(dǎo)致疫情期間各個(gè)國(guó)家CPI的變化也產(chǎn)生巨大的差異。本文將使用python（3.7.3）語(yǔ)言對(duì)中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)的CPI月度數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，并驗(yàn)證模型的可靠性，進(jìn)而對(duì)2020年下半年的CPI指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析，分析疫情期間政府的行為對(duì)本國(guó)CPI變化的影響。

一、數(shù)據(jù)來(lái)源與模型簡(jiǎn)介

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源

本文選取的中國(guó)、美國(guó)、德國(guó)CPI月度數(shù)據(jù)分別來(lái)源于中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站（http：//data.stats.gov.cn/）和全球經(jīng)濟(jì)指標(biāo)網(wǎng)站（https：//zh.tradingeconomics.com/）。

（二）數(shù)據(jù)預(yù)分析

從圖1的CPI時(shí)序圖中可以看出，中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)2000—2020年的CPI數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非平穩(wěn)性的特征。

（三）模型簡(jiǎn)介

基本的時(shí)間序列模型有自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型、自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型以及差分整合移動(dòng)平均自回歸模型（ARIMA）等（Box G E.2008）[3]。ARIMA模型旨在確定最合適的p、d、q參數(shù)值，并將其應(yīng)用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)與分析。對(duì)于特定的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，先根據(jù)序列的平穩(wěn)性確定差分次數(shù)d，再依據(jù)ACF圖和PCAF圖來(lái)確定AR（p）和MA（q）項(xiàng)的p和q值。

季節(jié)ARIMA模型由ARIMA模型和季節(jié)性效應(yīng)模型兩部分構(gòu)成（孫穎，2016）[4] 。其一般形式為：

φp（L）Φp（LS）▽D▽dxt=θg（L）ΦQ（LS）εt

其中，p為自回歸系數(shù)，q為移動(dòng)平均系數(shù)，d為使非平穩(wěn)時(shí)間序列成為平穩(wěn)序列所做的差分次數(shù)，P為季節(jié)性自回歸階數(shù)，S為季節(jié)性周期，Q表示季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù)。εt表示均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布。

二、模型識(shí)別與建立

（一）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由數(shù)據(jù)預(yù)分析可知，中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)的CPI序列為非平穩(wěn)性序列。為了進(jìn)一步建模分析，對(duì)三個(gè)國(guó)家的CPI序列進(jìn)行一階差分處理使序列平穩(wěn)化，得到新的時(shí)間序列DCPI。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)DCPI序列的平穩(wěn)性，進(jìn)行單位根（ADF）檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)使用T統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，比較不同樣本下t統(tǒng)計(jì)量在1%、5%、10%測(cè)試水平下的臨界值。如果檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)值小于臨界值，則該時(shí)間序列平穩(wěn);否則，該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 （周安華，2017）[5] 。從表1中可以看出，德國(guó)的DCPI序列的t值大于1%檢驗(yàn)水平的臨界值，即該一階差分序列存在單位根，為非平穩(wěn)時(shí)間序列。而美國(guó)和中國(guó)的t值均小于1%、5%、10%水平下的臨界值，且p值均小于0.05，則美國(guó)和中國(guó)的DCPI序列是平穩(wěn)的。

一般而言，中國(guó)的CPI指數(shù)存在春節(jié)效應(yīng)，即在每年春節(jié)時(shí)CPI指數(shù)上漲，存在季節(jié)性效應(yīng) （查文中，2009）[6] 。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)一階差分后的序列是否存在季節(jié)性趨勢(shì)，繪制DCPI序列的ACF與PACF圖，如圖2所示。從圖2中可以看出，德國(guó)與中國(guó)的CPI指數(shù)存在季節(jié)性效應(yīng)，即當(dāng)k=12時(shí)，一階差分序列的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)均顯著不為0，印證了序列存在季節(jié)性趨勢(shì)的特點(diǎn)，且周期為12。為了進(jìn)一步提取序列的季節(jié)性趨勢(shì)，對(duì)中國(guó)和德國(guó)的DCPI序列進(jìn)行12步季節(jié)差分，獲得新的時(shí)間序列D12CPI。

為了檢驗(yàn)季節(jié)差分后序列的平穩(wěn)性，對(duì)D12CPI序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，其結(jié)果如表2（見(jiàn)下頁(yè)）所示。從表2可以看出，中國(guó)和德國(guó)的ADF檢驗(yàn)值均小于1%、5%、10%水平下的臨界值（左側(cè)檢驗(yàn)），且p值均小于0.05，因此拒絕原假設(shè)，即中國(guó)和德國(guó)的D12CPI是平穩(wěn)的。

（二）模型識(shí)別與定階

ARIMA模型的識(shí)別與定階是模型構(gòu)建至關(guān)重要的一步（郭曉峰.2012）[7] 。根據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)可知，對(duì)美國(guó)的CPI序列選擇ARIMA（p，d，q）模型，而對(duì)中國(guó)和德國(guó)采用ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）S模型。從圖2中可以看出，美國(guó)的ACF圖和PACF圖在1階截尾，因此美國(guó)的ARIMA模型的p和q可以取0、1、2，d=1。

通過(guò)對(duì)中國(guó)和德國(guó)的DCPI序列經(jīng)一階季節(jié)差分之后發(fā)現(xiàn)，季節(jié)性雖然有所削弱，但并未消除，且進(jìn)行二階季節(jié)差分并無(wú)顯著的效果。因此，對(duì)該時(shí)間序列只進(jìn)行一階季節(jié)差分，即模型參數(shù)D=1。從圖3中可以看出，中國(guó)和德國(guó)的ACF圖在0階截尾，PACF圖也在0階截尾，因此，p=0或1， q=0。本文中對(duì)P取0、1或2，Q取0或1。

一般使用Akaike提出的AIC準(zhǔn)則和Bayesian提出的BIC準(zhǔn)則，即選取AIC與BIC函數(shù)值均達(dá)到最小的模型為相對(duì)最優(yōu)模型 （Akaike H.1974）[8] 。本文通過(guò)對(duì)可供選擇的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，發(fā)現(xiàn)中國(guó)、美國(guó)、德國(guó)各有4個(gè)模型的變量的系數(shù)所對(duì)應(yīng)的p值均小于檢驗(yàn)水平0.05。通過(guò)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，進(jìn)而比較這些模型的AIC值和BIC值，其結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，其中ARIMA（0， 1， 0）（0， 1， 0）12模型、ARIMA（0， 1， 0）模型、ARIMA（0， 1， 0）（0， 1， 1）12的AIC函數(shù)值和BIC函數(shù)值均最小。因此，本文選擇以上三個(gè)模型分別作為中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)的最佳擬合模型。

（三）模型檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)分為兩部分。一是模型顯著性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)擬合模型的殘差序列是否為白噪聲序列。若殘差序列為白噪聲序列，則說(shuō)明原始CPI序列的有用信息已經(jīng)被提取充分，模型顯著有效;反之，則需要重新選擇模型。二是參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。ARIMA（0， 1， 0）（0， 1， 0）12模型、ARIMA（0， 1， 0）模型、ARIMA（0， 1， 0）（0， 1， 1）12模型通過(guò)了參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)，即該模型的參數(shù)是顯著的。

一般情況下，常用的白噪聲檢驗(yàn)方法是Q檢驗(yàn)。表4（見(jiàn)下頁(yè)）分別為中國(guó)、美國(guó)、德國(guó)的ARIMA模型的殘差序列的Q檢驗(yàn)結(jié)果，從表中可以看出，Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值均大于顯著性檢驗(yàn)水平0.05，因此，可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該模型的殘差序列為白噪聲序列，即該模型通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。

（四）模型預(yù)測(cè)與分析

本文選用樣本靜態(tài)預(yù)測(cè)對(duì)中國(guó)、美國(guó)和德國(guó)2020年5月至12月的CPI指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中，2020年5月和6月的CPI用來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并對(duì)2020年下半年的CPI指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析。圖3為三個(gè)國(guó)家的CPI預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較，從圖中可以看出，模型預(yù)測(cè)的CPI值與實(shí)際值較為接近，且能夠捕捉CPI的變化趨勢(shì)。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，5月和6月的實(shí)際值均在預(yù)測(cè)的95%置信區(qū)間內(nèi)，CPI在合理的誤差范圍內(nèi)波動(dòng)，表明當(dāng)前建立的ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度高，能較好地反映各國(guó)CPI的規(guī)律與趨勢(shì)。由預(yù)測(cè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，2020年下半年中國(guó)的CPI指數(shù)在103.4上下浮動(dòng)，德國(guó)的CPI指數(shù)在106.8上下浮動(dòng)，且由于中國(guó)和德國(guó)政府的有效控制，CPI有下降的趨勢(shì)并慢慢趨于穩(wěn)定;而美國(guó)的CPI指數(shù)始終呈現(xiàn)出上漲的趨勢(shì)，表明新冠肺炎疫情的爆發(fā)不僅對(duì)全球各國(guó)經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)運(yùn)行產(chǎn)生了巨大沖擊，造成經(jīng)濟(jì)衰退，而且對(duì)CPI指數(shù)的變化也產(chǎn)生重大影響，使得CPI異常增長(zhǎng)。

基于疫情期間各國(guó)CPI的變化，可以推測(cè)出政府的舉措對(duì)人民的生活水平產(chǎn)生重要的影響。在應(yīng)對(duì)疫情時(shí)，中國(guó)政府采取了堅(jiān)決有力的措施，中國(guó)人民對(duì)于政府決策的配合度也很高，這使得疫情在中國(guó)很快得到有效控制，國(guó)民生命財(cái)產(chǎn)的損失得到遏制，沒(méi)有出現(xiàn)大規(guī)模的日用品供應(yīng)短缺、價(jià)格上漲，CPI指數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)大幅增長(zhǎng)。

美國(guó)因疫情死亡的人數(shù)一路飆升經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率下滑，大量民眾失業(yè)，甚至出現(xiàn)大暴亂。美國(guó)的決策者應(yīng)迅速采取措施來(lái)減少傷亡人數(shù)，并采取適當(dāng)?shù)呢?cái)經(jīng)政策和貨幣政策等措施，以保持價(jià)格穩(wěn)定，避免產(chǎn)生嚴(yán)重的通貨膨脹。

德國(guó)在疫情防控方面也取得了重大進(jìn)展，在全國(guó)范圍進(jìn)一步限制公共活動(dòng)，遏制新冠肺炎疫情蔓延。除加強(qiáng)疫情防控措施外，還推出大規(guī)模經(jīng)濟(jì)援助計(jì)劃，應(yīng)對(duì)疫情對(duì)經(jīng)濟(jì)造成的沖擊，減少疫情對(duì)國(guó)民的日常生活的影響。

三、結(jié)論

本文利用ARIMA模型對(duì)各國(guó)2000年1月至2020年4月的月度CPI數(shù)據(jù)建立了具有較高預(yù)測(cè)精度的ARIMA模型對(duì)2020年下半年的CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析，模型預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差均小于1%。經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，該預(yù)測(cè)模型產(chǎn)生的誤差在合理范圍內(nèi)，則用該模型預(yù)測(cè)2020年的CPI指數(shù)具有一定的準(zhǔn)確性和參考價(jià)值。但是ARIMA模型的短期預(yù)測(cè)是比較理想的，要從長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中獲得良好的結(jié)果還需要進(jìn)一步研究。

針對(duì)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，政府和國(guó)家應(yīng)該給予重視并積極采取如下措施。（1）發(fā)行債券，加大財(cái)政補(bǔ)貼力度。（2）適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行超前的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，例如交通運(yùn)輸、教育、醫(yī)療等行業(yè)。（3）做好合理的引導(dǎo)，加大國(guó)家的調(diào)控力度，減少市場(chǎng)的流動(dòng)性，使物價(jià)上漲壓力減緩。（4）在防止通貨膨脹的同時(shí)也要密切關(guān)注是否產(chǎn)生通貨緊縮等，以此刺激經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，與企業(yè)、民眾共克時(shí)艱。

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