初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)考研題中的妙用

鄭彭丹

(湖南省長(zhǎng)沙市中南林業(yè)科技大學(xué)涉外學(xué)院 410004)

一、引言

函數(shù)是我們解決實(shí)際問題的重要工具，初等數(shù)學(xué)中我們討論了一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)等初等數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn).在大學(xué)階段，我們深入地學(xué)習(xí)微積分這個(gè)工具，對(duì)函數(shù)的討論也會(huì)使用更高級(jí)的微積分的工具來(lái)進(jìn)行.那么往往我們的學(xué)習(xí)思路會(huì)固化，比方說(shuō)對(duì)函數(shù)性態(tài)的討論，我們馬上會(huì)想到要去求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)定理去判斷.事實(shí)上，在考試如戰(zhàn)場(chǎng)的碩士研究生入學(xué)考試當(dāng)中，如果我們能快速的解出一道題，節(jié)約寶貴的時(shí)間，不按部就班的使用高等數(shù)學(xué)中的定理結(jié)論，而是另辟蹊徑的使用一下初等數(shù)學(xué)中的方法，也未嘗不可.下面我們舉幾個(gè)例子，主要看一下二次函數(shù)和一次函數(shù)在數(shù)學(xué)考研題中的妙用.

二、幾道數(shù)學(xué)考研題

例1(2004數(shù)學(xué)二、三，4分)設(shè)f(x)=|x(1-x)|，則( ).

A.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

B.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

C.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

從而當(dāng)-10,f(x)凹，當(dāng)1>x>0時(shí)，f″(x)<0,f(x)凸，于是(0，0)為拐點(diǎn).又f(0)=0,x≠0、1時(shí)，f(x)>0，從而x=0為極小值點(diǎn)，所以，x=0是極值點(diǎn)，(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，故選C.

這道題考察的是分段函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)情況，按照要求只需要討論該函數(shù)在x=0處f′(x),f″(x)的符號(hào)即可.這道題的難點(diǎn)在于函數(shù)是一個(gè)以絕對(duì)值形式給出來(lái)的分段函數(shù)，求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)增加了題目的難度.整個(gè)求解過程稍顯繁瑣，我們可以用二次函數(shù)圖像快速的把這道題解出來(lái).不難看出函數(shù)y=x(1-x)是一個(gè)二次函數(shù)，而且與x軸相交于(0,0)、(1,0)兩點(diǎn)，開口向下，見圖1，對(duì)函數(shù)取絕對(duì)值，相當(dāng)于把圖1里的函數(shù)圖像位于x軸下方的圖像做一個(gè)對(duì)稱，位于x軸上方，見圖2所示.

于是我們從圖2上很容易判斷出在原點(diǎn)處，函數(shù)取到極小值，且左右兩側(cè)函數(shù)圖像的凹凸性發(fā)生了改變，點(diǎn)(0,0)是拐點(diǎn).這是一道選擇題，不需要具體的解題過程，我們充分利用二次函數(shù)及其圖像的特點(diǎn)，迅速找到答案.無(wú)獨(dú)有偶，下面的例2也可以做類似的處理.

例2 (2001數(shù)學(xué)二，3分)曲線y=(x-1)2(x-3)2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

解法一此道題需要知道拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此我們依然需要對(duì)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，

y′=2(x-1)(x-3)2+2(x-3)(x-1)2

y″=2(x-3)2+4(x-1)(x-3)+4(x-3)(x-1)+2(x-1)2

=2(x-3)2+8(x-1)(x-3)+2(x-1)2

=4(3x2-12x+11)

此時(shí)拐點(diǎn)只可能是二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，我們不妨對(duì)函數(shù)再求三階導(dǎo)

y?=24(x-2)

解法一是最常規(guī)的一種解題思路，只是計(jì)算上頗繁瑣，在函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的化簡(jiǎn)上要浪費(fèi)比較多的時(shí)間，另外計(jì)算上非常容易出現(xiàn)失誤.還有一種解題方法可以避開化簡(jiǎn)二階導(dǎo)數(shù)，見下面的解法二.

解法二由于本題的函數(shù)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以它要么沒有拐點(diǎn)，要么有兩個(gè)拐點(diǎn)，直接排除選項(xiàng)(B)和(D)，又將y′化簡(jiǎn)得到y(tǒng)′=4(x-1)(x-2)(x-3)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)y′運(yùn)用羅爾定理，知道y″有兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi)，且y?≠0，故y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn).

解法二的關(guān)鍵是對(duì)y′進(jìn)行了變形，從而想到了運(yùn)用羅爾定理，找到y(tǒng)″的兩個(gè)零點(diǎn)，而不是直接計(jì)算.雖然解法二能成功的避開計(jì)算上的繁瑣，但是要能想到利用羅爾定理，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也是要求比較高的.那么還有沒有其他的解題思路呢？我們似乎從上面的例1受到一些啟發(fā)，下面我們來(lái)看解法三.

解法三函數(shù)y=(x-1)(x-3)是一個(gè)二次函數(shù)，而且，我們可以大概的知道它的圖像如圖3所示，對(duì)于函數(shù)y=(x-1)2(x-3)2的圖像，類似例1，我們可以得到|(x-1)(x-3)|的圖像，并對(duì)其適當(dāng)放縮即可，大概如圖4所示，不難看出，函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn).

比較上述三種解法，顯然，我們巧妙的使用二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，非常迅速的而且很簡(jiǎn)單的就解出了這道題.例1和例2均是利用了二次函數(shù)的特點(diǎn)，快速得到選擇題的答案.那么，我們稍作總結(jié)，例1和例2考察的是函數(shù)的性態(tài)，可以結(jié)合函數(shù)圖像找出答案，恰巧題目已知函數(shù)的圖形又可以通過熟知的初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖形來(lái)得到，因此，諸如這樣的求函數(shù)性態(tài)的小題題型，當(dāng)函數(shù)圖像能夠容易得到時(shí)我們可以考慮圖像法.

例3(2016數(shù)學(xué)二，4分)設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間[0,1]上( ).

A.當(dāng)f′(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)

B.當(dāng)f′(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)

C.當(dāng)f″(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)

D.當(dāng)f″(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)

解根據(jù)題設(shè)選項(xiàng)，欲比較f(x)和g(x)的大小，不妨令F(x)=f(x)-g(x)，則F(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，且F(0)=F(1)=0，對(duì)F(x)求導(dǎo)得F″(x)=f″(x)，故當(dāng)f″(x)≥0時(shí)，函數(shù)F(x)是凹函數(shù)，也即有F(x)≤F(1)=F(0)=0，從而F(x)=f(x)-g(x)≤0，選D.

在上述解答過程中，我們構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)，利用F″(x)的符號(hào)，判斷出函數(shù)F(x)的凹凸性，從而找到答案.實(shí)際上，這道題中g(shù)(x)就是一個(gè)一次函數(shù)，而且是連接兩點(diǎn)(0,f(0))和(1,f(1))的直線方程，當(dāng)f″(x)≥0時(shí)，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，由凹函數(shù)的定義立馬有f(x)≤g(x)，于是答案選D.因此，如果熟知一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，這道題基本上不需要計(jì)算，可以很快找到答案.

三、結(jié)論

本文通過分析幾道考研數(shù)學(xué)題，發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)在高等數(shù)學(xué)解題過程也會(huì)有妙用.本文著重分析了一次函數(shù)和二次函數(shù)在考研選擇題中的妙用，一來(lái)給參加碩士研究生考試的廣大考生提供一種解題思路，二來(lái)也啟發(fā)低年級(jí)的學(xué)生們，無(wú)論處在學(xué)習(xí)的哪個(gè)階段，都需要打好基礎(chǔ)，只有基礎(chǔ)牢固，才能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用，巧妙運(yùn)用！