培養(yǎng)幾何直觀的四種途徑

韋愷華

(江蘇省常州市濱江中學(xué) 213001)

“數(shù)學(xué)是描述數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).”而“圖形”作為空間形式最主要的表現(xiàn)形式，可以幫助我們分析問題、尋求解決問題的方法.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力可以幫助學(xué)生很好的理解概念的本質(zhì)，把困難的問題變得容易.本文從四個(gè)途徑說明初中階段的課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的想象力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

一、培養(yǎng)畫圖習(xí)慣將抽象問題形象化

無論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.而學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中常常會(huì)遇到一些抽象的問題，如果借助圖形來理解概念，分析問題，往往能將抽象的數(shù)學(xué)問題變簡(jiǎn)單.

例1等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為70°，其底角的度數(shù)為多少？(閱讀題目，獨(dú)立思考，同桌交流)

教學(xué)說明閱讀題目后，教師先引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖來理解題目的信息，通過交流，學(xué)生基本能夠畫出兩種可能的圖形，并標(biāo)注出題中的有效信息，再請(qǐng)學(xué)生結(jié)合示意圖分析自己的解題思路，突出畫圖對(duì)解決問題的便捷，能更加直觀地分析問題.

幾何直觀主要就是借助圖形分析和解決問題.在教學(xué)中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)畫圖對(duì)解決問題的益處，從畫基本圖形開始，進(jìn)一步幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，提高學(xué)生的幾何畫圖水平，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

二、重視變換讓圖形動(dòng)起來

圖形的運(yùn)動(dòng)(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折)只改變圖形的位置、不改變圖形的形狀和大小，這一內(nèi)容不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要學(xué)習(xí)對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要思想方法.在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究圖形時(shí)，讓圖形動(dòng)起來，常常能得到圖形的一些性質(zhì)，證明結(jié)論的正確性.

例2 蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)，在證明線段垂直平分線的性質(zhì)時(shí)，就運(yùn)用了圖形運(yùn)動(dòng)的方法，問題：線段AB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)P在l上，PA與PB相等嗎？

圖1 圖2

教學(xué)說明在本環(huán)節(jié)，學(xué)生能從線段垂直平分線的定義出發(fā)，通過SAS證Rt△AOP≌Rt△BOP證得PA=PB，這里采用了證明幾何題最常用的“綜合法”；事實(shí)上，幾何命題的證明方法很多，除以三段論證為主要形式的“綜合法”外常見的還有反證法、同一法等，也常通過圖形的運(yùn)動(dòng)來證實(shí)圖形的一些性質(zhì).

這里可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用紙片將△AOP沿直線l翻折，則∠POA=∠POB，因此OA在射線OB上，且OA=OB，所以點(diǎn)A與B重合，以“兩點(diǎn)確定一條直線”為基本事實(shí)，可知PA與PB重合，所以PA=PB.這樣的說理過程符合邏輯，言之有據(jù)，能得出正確的結(jié)論，只是學(xué)生在表述時(shí)會(huì)存在困難，教師可給予適當(dāng)幫助，讓學(xué)生感悟到證明圖形的性質(zhì)有不同的方法，以幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法認(rèn)識(shí)和研究圖形的一些性質(zhì).

三、“數(shù)形結(jié)合”多角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

華羅庚曾說，數(shù)缺形時(shí)難直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用極其廣泛.一方面，“數(shù)”可作為“形”的抽象概述，另一方面，“形”能成為“數(shù)”的直觀表現(xiàn)，將“數(shù)”與“形”相互結(jié)合，相互滲透，可以將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀地反映出來，成為解決數(shù)學(xué)問題的重要策略.蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)《勾股定理》章節(jié)的內(nèi)容很好地提供了讓學(xué)生感悟“從數(shù)到形”，“從形到數(shù)”的“數(shù)形結(jié)合”思想過程.

例3 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.

圖3

應(yīng)用：如圖3，由Rt△ABC的三邊向外作正方形，若最大正方形的邊長(zhǎng)為8cm，則正方形M與正方形N的面積之和為____cm2．

教學(xué)說明勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，不僅定理本身，很多的應(yīng)用問題都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.在本問題中，將正方形面積轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長(zhǎng)問題，找到三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.一方面，由△ABC是直角三角形，可知AB2+AC2=BC2；另一方面AB2、AC2、BC2又分別代表了以AB、AC、BC為邊長(zhǎng)的正方形的面積.因此最大正方形的面積等于正方形M與正方形N的面積之和，即64.

以數(shù)助形，以形助數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，在教學(xué)過程中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，提高他們用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，可以提升他們的思維品質(zhì)，更好的感受數(shù)學(xué)思維之美.

四、善用基本圖形解決問題

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會(huì)遇到各種幾何圖形，線段、射線、直線、三角形、四邊形等基本圖形，對(duì)研究較為復(fù)雜的圖形有重要的作用，因此，在教學(xué)過程中強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本圖形的運(yùn)用，培養(yǎng)他們運(yùn)用基本圖形去發(fā)現(xiàn)問題，分析問題的能力是非常必要的，這里以圓中的一個(gè)最值問題為例，簡(jiǎn)要說明掌握基本圖形對(duì)解決問題的重要性.

例4 已知：如圖4，圓錐的底面圓的半徑為1，母線長(zhǎng)OA為2，C為母線OB的中點(diǎn)，在圓錐的側(cè)面上，一只螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路線長(zhǎng)為多少？

圖4 圖5

教學(xué)說明教學(xué)中，首先要引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)圓錐表面的A、C兩點(diǎn)而言，只有將圓錐側(cè)面展開成扇形才能找到點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路線長(zhǎng)，這里將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面問題的過程中，準(zhǔn)確判斷出點(diǎn)C最終的位置對(duì)學(xué)生的空間想象力有一定的要求；接下來需要找出展開后扇形的一些基本信息：半徑，圓心角，計(jì)算發(fā)現(xiàn)展開扇形所對(duì)圓心角為180°，如圖5，則∠AOD為90°；最后利用基本圖形直角三角形的勾股定理，求解出線段AC的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路線長(zhǎng).

很多的幾何問題最終都需要轉(zhuǎn)化成一些基本圖形來解決，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本圖形的應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化他們對(duì)基本圖形性質(zhì)的運(yùn)用能力，可以為今后學(xué)習(xí)更深層次的幾何問題打下基礎(chǔ).

幾何直觀在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中是非常重要的，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過培養(yǎng)畫圖習(xí)慣將抽象問題形象化，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；通過重視圖形變換，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)證明過程的不同表達(dá)形式；通過數(shù)與形的巧妙結(jié)合，提升他們的思維品質(zhì)，多角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)；通過借助基本圖形解決問題，讓學(xué)生經(jīng)歷探索、體驗(yàn)、分析的過程.