基于譜元模型的帶斜坡覆水場地地震動效應(yīng)分析

孔曦駿,李鴻晶

(1.南京工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)研究所,江蘇 南京 211800;2.南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院,江蘇 南京 211800)

涉水工程抗震設(shè)計時需要考慮地震動引起的動水壓力作用,《鐵路工程抗震設(shè)計規(guī)范》[1]《公路橋梁抗震設(shè)計細則》[2]《水電工程水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范》[3]等都對動水壓力的計算做出了明確規(guī)定。目前,國內(nèi)外規(guī)范中關(guān)于動水壓力的計算大多是基于流體不可壓縮的假設(shè),忽略了自由液面波動的影響,本質(zhì)上是將流體對固體的作用簡化為固體的附加質(zhì)量來進行計算[4-8]。但是上述關(guān)于動水壓力的計算只是基于壩體、深水橋墩等水下結(jié)構(gòu)由于地震作用而在水中運動時受到的水體壓力影響,即認為水體在地震過程中始終處于靜止狀態(tài)。然而對于覆水場地,當(dāng)?shù)卣鸩ㄍㄟ^巖土介質(zhì)進入水體時,特別是SV波斜入射或者P波入射情形下,水中存在透射的壓縮波,這種壓縮波直接或者經(jīng)過水體自由表面反射后,作用于水中結(jié)構(gòu)物表面,從而對結(jié)構(gòu)安全性產(chǎn)生影響。

地震引起的動水壓力可以分為3種情形:① 自由場動水壓力,見圖1(a);② 結(jié)構(gòu)物在靜水中運動產(chǎn)生的動水壓力,見圖1(b);③ 波浪作用產(chǎn)生的動水壓力,見圖1(c)。上述3種動水壓力的計算過程各不相同,其中,后兩種情形研究相對較多,而自由場動水壓力需要基于流體和固體的波動方程進行計算,并考慮流體和固體介質(zhì)之間的耦合效應(yīng),目前研究尚不充分。

圖1 地震引起的動水壓力Fig.1 Earthquake-induced hydrodynamic pressure

覆水場地地震動特性的研究方法主要有解析法和數(shù)值法兩種。王進廷等[9-10]、Wang等[11]、李偉華等[12]和趙成剛等[13]分別給出了不同場地模型的波動解析解,解析解具有很高的理論價值,但一般只能解決簡單規(guī)則地形的覆水場地問題。數(shù)值法因其能處理復(fù)雜場地問題而成為研究近場波動問題的主流方法。Maeda等[14]采用三維有限差分法模擬了帶火山湖的火山場地模型,并進行了有水和無水情況下場地效應(yīng)的對比分析,模擬結(jié)果表明,當(dāng)入射波周期低于2 s時,水域?qū)Φ卣鸩▊鞑ゾ哂兄匾绊?。朱鏡清等[15-16]將海水視為黏性不可壓縮流體,得出了剪切波在海水與海床土一維模型中傳播的差分數(shù)值解,同時考慮了海底淤泥層對海洋工程地震環(huán)境的影響。Ken[17]使用邊界元法分析了Rayleigh波入射情況下,海水對近海場地地表運動的影響,研究表明,海水越深,入射波頻率越高,海水對場地地震動的影響越明顯。李金成等[18]采用有限元法進行了二維海底凸起地形和凹陷地形下的流固耦合計算,結(jié)果表明,海水對凸起地形下海床土的地震反應(yīng)有降低作用。席仁強等[19]基于任意拉格朗日-歐拉描述,計算了海底三角形起伏場地以及沉管隧道引起的起伏場地的地震反應(yīng),結(jié)果表明,橫向非均勻場地對流場影響明顯。姜忻良等[20]和楊書燕等[21]研究了地震作用下河流對鄰近建筑物的影響,結(jié)果表明,建筑物離河流越近,地震反應(yīng)越大。Komatitsch等[22]將譜元法引入場地地震動的流固耦合分析中,采用速度勢作為流體方程的未知量,形成的流-固動力方程總質(zhì)量矩陣為對角陣形式,并開發(fā)了相應(yīng)的顯示并行計算程序SPECFEM2D與SPECFEM3D,主要分析了聲波在覆水場地中的傳播過程。寶鑫等[23]通過將人工邊界處節(jié)點的自由場位移轉(zhuǎn)化為等效荷載，提出了流體介質(zhì)動力人工邊界處的P波垂直輸入方法，并研究了海域島礁場地在P波垂直輸入時的地震反應(yīng)。杜修力等[24]研究了地震和波浪聯(lián)合作用下自由場海水的動水壓力變化,系統(tǒng)概括了地震產(chǎn)生的動水壓力種類,結(jié)果表明,淺水的動水壓力隨著水深的增加而線性增加,深水的動水壓力變化則與地震頻率有關(guān)。

筆者在改進SPECFEM2D程序的基礎(chǔ)上,以長江中游沙市站等水文站實測大斷面為背景[25],建立了不同坡度和不同水深的帶斜坡覆水場地模型,針對不同阻抗比的土層介質(zhì),從土底垂直輸入不同卓越頻率的平面SV波,研究了不同工況下地震引起的自由場江水動水壓力變化。本文研究幾何地形、水深、地震波卓越頻率以及土體性質(zhì)對江水地震動水壓力的影響規(guī)律,并為涉水結(jié)構(gòu)(如跨江大橋、過江管道等)的動水壓力荷載估算提供借鑒。

1 流-固耦合譜元方程

譜元法[26-27]依據(jù)插值模式主要分為Legendre譜元法[28]和Chebyshev譜元法[29-30],其中Legendre譜元法形成的質(zhì)量矩陣為對角陣形式,便于建立顯式動力算法,在大型波動分析中應(yīng)用廣泛。借助處理流體動力方程的速度勢格式[22],基于譜元法的流-固整體質(zhì)量矩陣仍然保持對角陣形式,運動方程可表示為

(1)

式中:U和Φ分別為固體位移矢量和流體速度勢,速度矢量V=Φ;Ms和Mf分別為固體質(zhì)量矩陣和流體質(zhì)量矩陣;Ds和Df分別為與固體吸收邊界和流體吸收邊界相關(guān)的矩陣;A為流體和固體兩種介質(zhì)的耦合矩陣,由交界面的位移和應(yīng)力連續(xù)條件產(chǎn)生;Ks和Kf分別為固體剛度矩陣和流體剛度矩陣;F為固體中波源的等效荷載矢量,亦可施加于流體區(qū)域。

流體的壓力p與速度勢Φ的關(guān)系為

(2)

式中，ρ為流體密度。

若不考慮流體自由液面的波動,即自由液面處的壓力為0,則自由液面處的邊界條件可以表示為Φ=0。

流固交界面處需滿足法向速度和法向力連續(xù),即

(3)

(4)

式中:n為流固交界面處法向單位向量,σ為固體介質(zhì)中的應(yīng)力矢量。

2 覆水場地譜元模型

選擇長江流域內(nèi)的覆水場地為研究對象,根據(jù)實測斷面資料以及水文信息[25],得到的場地模型如圖2所示。

圖2 帶斜坡覆水場地模型Fig.2 Overlying water field model with side slope

模型中,河床及河岸巖土介質(zhì)描述為均勻彈性介質(zhì),上覆河水為無黏性流體,即理想流體。河床平直,寬度取為1 000 m。一側(cè)河岸為垂直邊坡,另一側(cè)為斜坡,與水平河床的角度呈α。兩岸地表不在同一水平面上,河道深30 m。在枯水期和汛期水深有所不同,以d表示水深。幾何模型以河道左側(cè)坡腳處為原點,水平向(沿河床底部方向)為x軸,豎向(沿水深方向)為y軸。地表為自由邊界,在下部、左側(cè)和右側(cè)彈性介質(zhì)中設(shè)置人工邊界,形成的計算域范圍:寬3 000 m、高330～340 m?？紤]軟土、硬土和巖石3種介質(zhì),相應(yīng)的介質(zhì)參數(shù)列于表1中。

表1 介質(zhì)和水的材料參數(shù)

巖土介質(zhì)和水均采用譜單元模型進行離散,選擇的譜單元模型為二維四邊形實體單元。單元形函數(shù)為定義在Gauss Lobatto Legendre(GLL)積分節(jié)點上的拉格朗日插值函數(shù),即勒讓德函數(shù),單元階次取為4階[29]。譜單元內(nèi)的插值節(jié)點呈非均勻分布狀態(tài),為保證波在離散網(wǎng)格中的傳播,單元網(wǎng)格的尺寸需足夠小,單元網(wǎng)格尺寸的選取宜滿足:在彈性介質(zhì)中單位波長范圍內(nèi)平均至少有4.5個插值節(jié)點,在聲學(xué)介質(zhì)中單位波長范圍內(nèi)平均至少有5.5個插值節(jié)點。本文模型中,巖土介質(zhì)單元網(wǎng)格尺寸為5～10 m,水體單元網(wǎng)格尺寸為1.5～8 m。

3 輸入地震動

本文主要考察SV波垂直入射情況下覆水場地的地震動效應(yīng)。為了研究SV波頻譜成分的影響,選擇含有不同卓越頻率的Ricker波作為輸入地震動。Ricker波的頻譜在零頻附近成分較少,能較好地避免黏性邊界存在零頻偏移現(xiàn)象。Ricker波的加速度時程及加速度幅值譜如圖3所示(以卓越頻率f0=5 Hz為例),函數(shù)表達式為

(5)

式中:a(t)為加速度時程函數(shù),t為時間。

雖然地震產(chǎn)生的自由場動水壓力和結(jié)構(gòu)在水中振動產(chǎn)生的動水壓力原理不一樣,但為了便于比較兩者的量級,筆者選取8度抗震設(shè)防烈度作為參考標準,加速度峰值調(diào)為0.15g(加速度最大值amax=1.47 m/s2)。需要注意的是,Ricker波函數(shù)本身是關(guān)于t=0 s軸對稱的,為了完整地輸入Ricker波,本文修改了模型中射波輸入的起始時刻,如圖3(a)所示。

圖3 Ricker波加速度時程和幅值譜 (卓越頻率f0=5 Hz)Fig.3 Acceleration time history and acceleration amplitude spectrum of Ricker wave (predominant frequency f0=5 Hz)

4 動水壓力計算與分析

4.1 斜坡坡度的影響

斜坡在場地地震動研究中是具有重要意義的地形之一。由于本文模型中入射的地震波為垂直向上傳播的SV波,水體的波動主要來自垂直于河道兩側(cè)流固邊界處的運動分量。因此,研究斜坡坡度(α)對考察河岸與水體之間地震波傳播的影響程度十分有必要。圖4為水深d=30 m處,不同斜坡坡度下河床表面各測點處動水壓力的時程曲線。水深30 m在本模型中意味著河道充滿水,即考慮長江汛期時的情況。入射Ricker波的卓越頻率選取為5 Hz,處于實際地震頻率的主要分布范圍內(nèi)。

由圖4可知:地震波從河岸兩側(cè)(測點橫坐標x=0 m、測點橫坐標x=1 000 m)處傳入水中,并在水體內(nèi)來回震蕩并衰減。比較圖4(a)和4(f)可知,在1.2～2.0 s時,斜坡坡度為90°的模型比斜坡坡度為15°的模型整體動水壓力更大,這是因為隨著斜坡坡度的增大,傳入水體內(nèi)地震波的能量也越大,相對衰減也就越慢。

圖5為不同斜坡坡度下左側(cè)斜坡坡腳處(測點橫坐標x=0 m、測點縱坐標y=0 m)的動水壓力時程及峰值變化曲線,結(jié)合圖4中河床表面(x=0 m)處的動水壓力時程曲線,可以發(fā)現(xiàn)：斜坡坡度越大,斜坡坡腳處的動水壓力越大,其峰值與斜坡坡度大致呈線性正相關(guān)關(guān)系。

圖4 不同斜坡坡度下河床表面各測點處動水壓力時程曲線(f0=5 Hz、d=30 m)Fig.4 Time history curves of hydrodynamic pressures on the surface of river bed under different side slopes (f0=5 Hz,d=30 m)

圖5 不同斜坡坡度下坡腳處動水壓力時程和動水壓力峰值(x=0 m、y=0 m)Fig.5 Time history of hydrodynamic pressures and peak values at the toe of slope under different side slopes (x=0 m,y=0 m)

圖6(a)和6(b)分別為河床表面和河中橫向各測點的動水壓力峰值。由圖6(a)和6(b)可知:河道中間部分各測點(遠離兩側(cè)坡腳50 m范圍外,即圖6(a)中紅色框內(nèi)測點)動水壓力比較接近且受斜坡坡度影響較小,而河道兩側(cè)附近的動水壓力相對河道中間部分的動水壓力明顯更大,且斜坡越陡,河岸附近的動水壓力越大。圖6(c)和6(d)分別為x=0和50 m沿y軸方向各測點的動水壓力峰值。由于縱坐標正向是由河床指向河水表面，因此y的大小與測點距離河水表面的距離(即水深)是線性負相關(guān)的，y的減小即意味著水深的增加。由圖6(c)和6(d)可以看出:動水壓力峰值隨水深的增加而增大,斜坡坡度≤60°時,動水壓力隨水深增加而表現(xiàn)為線性增大,而斜坡坡度>60°時,坡腳處(x=0 m)的動水壓力峰值隨著水深增加呈拋物線型增大,增大趨勢漸緩。

圖6 不同斜坡坡度下各測點動水壓力峰值Fig.6 Peak hydrodynamic pressures of the field under different side slopes

為了便于比較,取河床表面遠離兩岸坡腳50 m以上各測點的動水壓力峰值平均值(17.08 kPa)為基準,得出不同斜坡坡度下河床表面各測點的動水壓力相對放大系數(shù)β(表2)。由圖6及表2知:河床右側(cè)1 000 m(x=1 000 m)處的動水壓力相對放大系數(shù)約為基準值的4.6倍,距離右側(cè)垂直岸壁50 m(x=950 m)處的動水壓力放大系數(shù)約為基準值的1.4倍,河床左側(cè)坡腳(x=0 m)及河床靠近中間部位(x=450和550 m)的動水壓力隨著斜坡坡度的增大而增大,左側(cè)坡腳β最大值為5.05,河道中間50 m范圍內(nèi)β最大值為1.41。由于河道兩側(cè)地震波同時到達河道中間(x=500 m)時,應(yīng)力相互抵消一部分,各測點的動水壓力隨著斜坡坡度的增大而減小,β從0.74減小至0.48。

4.2 水深的影響

長江一年四季水深不是恒定的,與枯水期和汛期有關(guān),且長江上下游各段水深差異比較大,深水段達到近百米,淺水段僅為幾米。本文參照長江中游沙市站等水文站的調(diào)查數(shù)據(jù)[25],考察的水深工況為10、20和30 m,其中,30 m為河道滿水的極限情況,10和20 m分別為常水位和普通汛期水位,此處同樣設(shè)定入射波卓越頻率為5 Hz。

圖7為3種斜坡坡度下(α=15°、45°和90°)河床表面各測點動水壓力峰值曲線。由圖7可以看出:水深越大,河床表面動水壓力峰值越大。表3為不同水深下河床表面各測點的動水壓力峰值。表4為不同斜坡坡度下河床表面各測點動水壓力峰值的比例系數(shù)。由表3和表4可知：當(dāng)水深從10 m增大到20 m時,各測點動水壓力峰值增大了約2倍,當(dāng)水深從10 m增長到30 m時,動水壓力峰值則增大了約3.5倍。

表3 不同水深下河床表面各測點動水壓力峰值

表4 不同斜坡坡度下河床表面各測點動水壓力峰值的比例系數(shù)

4.3 地震波卓越頻率的影響

為了研究地震波卓越頻率對覆水場地動水壓力的影響,假設(shè)Ricker波的卓越頻率取值范圍為1～20 Hz,模型的水深選取為30 m,斜坡坡度設(shè)定為45°。圖8為不同卓越頻率的Ricker波輸入時,河床表面各測點的動水壓力峰值。由圖8可以看出:河道兩側(cè)附近的動水壓力峰值相對河道中間部分的動水壓力明顯更大,且在低頻Ricker波輸入情況下更為明顯。圖9為河床表面不同位置的測點動水壓力峰值與入射波卓越頻率之間的關(guān)系。由圖9可以看出:各測點對卓越頻率為1 Hz的入射波反應(yīng)比較強烈,河岸兩側(cè)(x=0、1 000 m)尤其明顯,動水壓力峰值分別達到57 kPa (x=0 m)和104 kPa (x=1 000 m)。除河岸兩側(cè)外,各測點的動水壓力在卓越頻率為2 Hz時最小,然后隨著卓越頻率的提高而變大,在卓越頻率8 Hz左右達到另一個極大值后逐漸衰減并平穩(wěn)。綜上所述,河岸兩側(cè)的動水壓力對低頻地震波的輸入十分敏感,而河床表面遠離岸邊的動水壓力則對卓越頻率為1或7～9 Hz時的地震波輸入比較敏感。

圖8 不同卓越頻率的Ricker波輸入下河床表面各測點動水壓力峰值(α=45°、d=30 m)Fig.8 Peak hydrodynamic pressures on the river bed surface due to Ricker waves with different predominant frequencies(α=45°, d=30 m)

圖9 河床表面不同位置處動水壓力峰值與卓越頻率的關(guān)系Fig.9 Relationship between peak hydrodynamic pressures and predominant frequency on the river bed surface

4.4 土體介質(zhì)的影響

彈性波在不同介質(zhì)交界面的傳播需要滿足位移和應(yīng)力連續(xù)條件,一維波在界面上的反射和透射則完全取決于兩側(cè)介質(zhì)的阻抗之比。圖10為3種土層介質(zhì)下,河床表面各測點的動水壓力峰值曲線。表5為河岸兩側(cè)的動水壓力峰值及河床中間各測點的動水壓力峰值平均值。由圖10和表5可以看出:土層的阻抗越大,波傳入水中的透射系數(shù)越大,傳遞的能量越高,水體的動水壓力峰值也就越大。

圖10 不同土層介質(zhì)下河床表面各測點動水壓力峰值(α=45°、d=30 m)Fig.10 Peak hydrodynamic pressures on the river bed surface under different soil types(α=45°, d=30 m)

表5 不同土層介質(zhì)下河岸兩側(cè)及河床中間動水壓力峰值

5 結(jié)論

1)斜坡坡度對河岸附近水體的動水壓力有明顯影響:坡度越大,河岸附近水體的動水壓力越大,河岸坡腳處的動水壓力峰值與坡度大致呈線性正相關(guān)關(guān)系。遠離河岸50 m以上的動水壓力幾乎不受斜坡坡度影響,但河道中間部分附近的動水壓力會隨斜坡坡度發(fā)生小幅度變化。因此,橋墩設(shè)置在河岸坡腳附近時,宜重視動水壓力的作用及其帶來的影響。

2)水深對河床表面動水壓力有明顯影響。水越深,動水壓力越大,水深30 m時河床表面的動水壓力是水深10 m時相同位置動水壓力的3.5倍左右?？紤]到長江等水系水深會因為枯水期和汛期而發(fā)生變動,河床表面的動水壓力宜按照河道滿水情況來進行保守計算。

3)入射地震波的卓越頻率對水體動水壓力影響顯著。河岸附近水體的動水壓力對低頻地震波十分敏感,河道遠離岸邊水體的動水壓力則對卓越頻率為1或7～9 Hz時的地震波比較敏感。

4)土體介質(zhì)的阻抗越大,傳入水體內(nèi)的地震波能量也越大。筆者假設(shè)土體為單一均勻介質(zhì),考慮到實際場地介質(zhì)的復(fù)雜性,土體介質(zhì)對地震作用下江河水體內(nèi)的動水壓力影響值得進一步研究。