待定系數(shù)法求解微分方程的特解的一點(diǎn)探究

朱慶 王喜 汪海玲

【摘要】二階常系數(shù)微分方程在微分方程的研究中具有十分重要的意義。若非齊次項(xiàng)為g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）時，待定系數(shù)法即先假設(shè)方程的某種形式的特解，其系數(shù)是待定的，它是求解這類微分方程特解的常用方法。這種方法的優(yōu)勢在于將特解帶入方程后就可直接待定出常系數(shù)，其局限性是需準(zhǔn)確寫出特解的假設(shè)形式。本文將結(jié)合歐拉公式及線性微分方程解的一般理論，證明在當(dāng)前非齊次項(xiàng)形式下，其特解的假設(shè)形式為什么不能設(shè)為如下sin 和 cos 函數(shù)具有比例對應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt））。

【關(guān)鍵詞】二階微分方程? 待定系數(shù)法? 歐拉公式? 特解

【基金項(xiàng)目】廣西研究生教育創(chuàng)新項(xiàng)目“雙一流建設(shè)背景下廣西高等院校研究生創(chuàng)新能力和職業(yè)能力發(fā)展的培養(yǎng)研究”（JGY2019030）;廣西師范大學(xué)第三批課程思政示范課程建設(shè)項(xiàng)目重點(diǎn)項(xiàng)目“常微分方程”（項(xiàng)目主持人——朱慶）;廣西師范大學(xué)第四批課程思政示范課程建設(shè)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模”（項(xiàng)目主持人——彭華勤）;廣西師范大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目“基于我校學(xué)情的一體化數(shù)學(xué)分析習(xí)題集的建立”（202110602213）;廣西師范大學(xué)2019年課程思政示范課程建設(shè)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)分析”（項(xiàng)目主持人——馬林濤）。

【中圖分類號】O175.1? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）30-0060-02

待定系數(shù)法用于常系數(shù)微分方程

ay″+by′+cy=g（t），a，b，c為任意常數(shù)? ? ? ? （1）

右端g（t）是某些基本函數(shù)的情況，常見的有多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦（或余弦）函數(shù)以及它們的某種乘積組合。這種方法的特點(diǎn)就在于不需通過積分運(yùn)算，而用代數(shù)方法即可求得非齊次線性微分方程的特解，即將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為某一個代數(shù)問題來處理，因而比較簡便。同時，待定系數(shù)法是一種常見的求解常系數(shù)非齊次微分方程的方法，該方法推廣到求解三階，四階甚至更高階的微分方程。

值得注意， 在此類型的求解過程中正確寫出特解形式是待定系數(shù)法的關(guān)鍵問題。在國內(nèi)外許多教材中得出，若非齊次項(xiàng)g（t）為多項(xiàng)式與三角函數(shù)的乘積Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt）的單個表達(dá)式，其中Pn（t）是最高次冪為n的實(shí)值多項(xiàng)式，α，β為實(shí)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，方程（1）的特解需設(shè)為：

[（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）]eαt （2）? ? ? 若無說明，本文均不考慮α±iβ是代數(shù)方程ay2+by+c=的共軛特征根。將特解（2）帶入方程（1）中，通過待定系數(shù)法求出實(shí)數(shù)cj，dj（j=0，1，…，n），繼而獲得微分方程的特解。

在此處，我們不可避免地提出疑問，對于g（t）=Pn（t）eαtcos（βt），其特解是否能寫成如下：

（q0tn+q1tn-1+…+qn）·eαt （Acos（βt）+Bsin（βt））? （3）

三項(xiàng)相乘的形式，其中，q0，q1，…，qn，C，K均是實(shí)數(shù)。事實(shí)上，通過具體例題，我們可以判斷形式（3）是不合理的，后文我們將從理論上推導(dǎo)，證明特解形式（2）的正確性。

在文獻(xiàn)[1]和[2]中，對于g（t）是兩項(xiàng)相加的情形時，即

g（t）=[Pn（t）cos（βt）+Qm（t）sin（βt）]eαt，

相應(yīng)的特解假設(shè)為

Y（t）=[2Re（D（t））cos（βt）+2Im（D（t））sin（βt）]eαt，

其中，D（t）為t的l次多項(xiàng)式， l=max{n，m}。對于單個表達(dá)式，不妨假設(shè)非齊次項(xiàng)中Qm（t）≡0，則g（t）=Pn（t）cos（βt）eαt，由此可知特解中D（t）是實(shí)函數(shù)，即Im（D（t））≡0 ，從而特解變?yōu)閅（t）=2Re（D（t），cos（βt）eαt ，這顯然不合理。

我們考慮如下常系數(shù)非齊次微分方程

ay″+by′+cy=g1（t），? ? ? ? ? ? ? ? （4）

ay″+by′+cy=g2（t），? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

它們對應(yīng)的特解分別記為Y1，Y2。

若齊次項(xiàng)g1（t）=g2（t），則Y1，Y2是一組共軛的特解。事實(shí)上，由于

aY″1+bY′1+cY1=g1，

對上述方程兩邊取共軛，可知

aY″1+bY′1+cY1=g1，

值得注意的是，g1=g2且

aY″2+bY′2+cY2=g2，

根據(jù)解的性質(zhì)[3]，從而

Y1=Y2

現(xiàn)探究微分方程（1）具有如下形式的非齊次項(xiàng)g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）的特解的假設(shè)形式，其中Pn（t）為實(shí)值多項(xiàng)式，α，β為實(shí)數(shù)。不失一般性，本文僅考慮其中一種情形g（t）=eαtPn（t）sin（βt）。

根據(jù)Euler公式[4] sin（βt）=（eiβt-e-iβt）/（2i），可知

g（t）=eαtPn（t）sin（βt）=Pn（t）

=e（α+iβ）t-e（α-iβ）t，

不妨令g1（t）=e（α+iβ）t，g2（t）=-e（α-iβ）t，顯然

g1（t）=g2（t）

依據(jù)非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)情形下的特解的假設(shè)規(guī)律，可設(shè)g1（t）的特解為

Y1=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t，

相應(yīng)的g2（t）的特解為

Y2=（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

值得注意的是， A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均為一組復(fù)數(shù)。不難得知，Aj=Bj（j=0，1，…，n）。文獻(xiàn)[5]在討論方程（1）的特解過程中認(rèn)為A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均為實(shí)數(shù)，是不合理的。

現(xiàn)設(shè)

Aj=aj+i·bj，Bj=aj-i·bj （j=0，1，…，n），

其中，aj和bj是互不相關(guān)的實(shí)數(shù)，從而Aj+Bj=2aj，Aj-Bj=2ibj.

根據(jù)非齊次線性微分方程的疊加性原理可得方程（1）的特解Y=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t+（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

由Euler公式，

Y=eαt（cos（βt）+isin（βt））（A0tn+A1tn-1+…+An）+eαt（cos（βt）-isin（βt））（B0tn+B1tn-1+…+Bn）=eαtcos（βt）[（A0+B0）tn+…+（An+Bn）]+i·eαtsin（βt）[（A0-B0）tn+…+（An-Bn）]=[Re（（An-k-Bn-k）tk）]eαtcos（βt）-[Im（（An-k-Bn-k）tk）]eαtsin（βt）.

簡化符號，即

Y=eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

其中，cj=Re（Aj+Bj）=2aj，dj=-Im（Aj-Bj）=-2bj（j=0，1…，n）是一組對應(yīng)之間互不相關(guān)的實(shí)數(shù)，不一定具有比例關(guān)系。

綜上所述，方程（1）中若非齊次項(xiàng)g（t）為多項(xiàng)式與三角函數(shù)的乘積的單個表達(dá)式Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt），其特解的假設(shè)形式是不能設(shè)為如下比例關(guān)系的表達(dá)式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt）），準(zhǔn)確的形式仍然是eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[3]吳贛昌.微積分上下冊（經(jīng)管類·第五版）[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2019.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[5]ILLIAME.BOYCE，RICHARDC.DIPRIMA， OUGLAS

B.MEADE. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems[M]. Cenveo Publisher， 2017.

作者簡介：

朱慶（1988年-），女，漢族，湖北天門人，理學(xué)博士，研究方向?yàn)槌Ｎ⒎址匠痰睦碚摷捌鋺?yīng)用。

王喜（2001年-），男，漢族，四川達(dá)州人，本科在讀，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

汪海玲（1979年-），女，漢族，湖北黃岡人，副教授，理學(xué)博士，研究方向?yàn)槲⒎址匠痰睦碚摷捌鋺?yīng)用。