立足現實關注發(fā)展

【摘要】以一道拓廣探索題為母題，以開放的基調預置問題，通過動態(tài)變化生成一些結論，直至走向教學目標，然后繼續(xù)引導學生發(fā)掘其潛在價值，在孕伏中滲透，在探索中進階，指向學生的可發(fā)展性.

【關鍵詞】面積;角平分線;拓廣探索題

教材中的拓廣探索性題目，一般內涵豐富，再生性強，值得進一步探索、挖掘，充分利用好這些資源對平時的教育教學意義不菲，是落實探究意識，滲透核心素養(yǎng)的好素材、好載體.

以下以人教版8年級上冊第56頁拓廣探索第12題的教學為例作出說明.

1功能分析

（1）以上述第12題為基，可以探索“三線（高線、中線、角平分線）”分三角形成兩個三角形的面積比與兩條分線段比的關系，感受結論的統(tǒng)一性與和諧性，滲透數學之美;

（2）進一步探究角平分線分線段之比與另外兩條邊之比的關系，靈活應用角平分線的性質（即“角平分線上任一點到角兩邊的距離相等”），滲透同一圖形面積不變原理;

（3）在動態(tài)變化中捕捉可用信息，定格關鍵點或關鍵位置，在動靜結合中感知“三線”狀態(tài)帶來的面積之變與不變，讓面積法入心入理.

2教學實施

2.1教學設想

了了幾言，一道題目，簡潔的表達，精干的外表，和諧的結論，本身蘊含著數學之美.有關三角形的面積問題，在小學階段學生已經能夠計算，但只是停留在具體數字化運算的層面，現在初中學段再面對三角形的面積時，除了從具體化走向形式化的運算外，還應有邏輯推理之蘊意.在教學時，作為本拓廣探索性問題，為了充分發(fā)揮其可探索的功能，彰顯其應有的教學價值，指向思維深處的追索，筆者嘗試把所求證的結論隱去，并讓給定的條件動態(tài)化，預置為具有動態(tài)之美的開放情境，如此以來，相當于把整個問題給開放了，所以才有了探索結果的多向度、多元化.

2.2教學過程

2.2.1開放問題，有效提取若D是BC邊上的動點，我們發(fā)現，點D在運動過程中，被分成的兩個三角形的面積在不斷發(fā)生著變化，那么這兩個三角形面積的大小關系與點D的位置變化會有怎樣的聯(lián)系？

（1）提出問題：S△ABD與S△ACD的面積關系，可以使用BD與CD關系來描述，除此之外，還可以如何表達？

（2）思考：當我們發(fā)現AD是三角形的角平分線時，我們由此聯(lián)想到什么？

具體教學時筆者采用了方法2，感覺方法1指向性過于明確，如此的發(fā)問遷移的痕跡較濃重，而方法2是基于學生的認知聯(lián)想，是對學生角的平分線命題域（CPFS）[1]的完善，將有助于學生形成有效的認知組塊，便于后繼面對相關問題時的使用和提取，進而成為解題的有力武器.

學生的認識有：①∠BAD=∠CAD;②角平分線上任一點到角兩邊的距離相等.

至此，筆者繼續(xù)發(fā)問：第二句話是通過文字（自然）語言表達的，我們知道數學語言有三種形態(tài)，若使用其它形態(tài)語言（圖形語言和符號語言）該如何表達？

至此，筆者引導學生用文字語言進行表達，通過交流、調適，達成如下共識：

“三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段與夾這個角的兩邊對應成比例”.隨即筆者指出，這就是著名的“角平分線的性質定理”（現行人教版教材已經去掉，但作為拓展延伸研究，頗具智能價值）.

說明：在后繼相似三角形學習后，這一素材將會有更大的探索空間，是構造相似三角形用之解決問題的經典案例，留待后續(xù)研究.在此實施開放教學就是考慮到學生的可接受性、可發(fā)展性，以及圖形所提供的結論的可接受性、可發(fā)展性而設置的.

2.2.2縱深思考，有意滲透

思考（1）（把條件特殊化）若△ABC滿足AB=AC，我們會有什么新的發(fā)現？

BD=CD.

師（點化）：這就是說，此時三角形的角平分線搖身一變變成了三角形的中線，至此，同學們還會有什么進一步的認識？

這個時候會有△ABD與△ACD全等，進一步獲得∠BDA=∠CDA=90°，這樣一來AD這條線就非常特殊了，這個新認識可是個了不起的發(fā)現——等腰三角形的“三線合一”定理.

設計意圖由一般到特殊的有意滲透，筆者認為是有意義、有價值的滲透，讓學生看到了特殊化的力量以及幾何研究的基本套路.

師：剛才我們的思考體現了數學上研究問題的哪一種常用思想方法？

生：一般到特殊.

師：是的，這是研究幾何圖形很重要的思想方法.從一般到特殊，條件得以強化，我們往往會有更多的發(fā)現.這也是研究幾何圖形的基本套路.

（2）反觀圖形，不論點D所處的位置如何，△ABD與△ACD總有公共的高，則一定有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.此即為張景中院士所說“三共定理”中的“共高定理”[2].

（3）若把兩個圖形結合起來思考，我們還可以進一步獲得一些關系式：12AB·DE=12BD·AH，即AB·DE=BD·AH，同理可得：AC·DF=CD·AH.

可見，它們結合起來共同體現出一個恒定關系——同一圖形面積不變定理.

設計說明若止步于環(huán)節(jié)2.2.1，其價值性受限于眼前，若通過老師有意識的引領，會看到問題本身或解決問題的過程中蘊含的發(fā)展性功能，否則給人一種意猶未盡的感覺，使得啟動起來的思維未竟而終，實為可惜！由此，設計了這一教學環(huán)節(jié).

3教學反思

3.1立足現實，關注發(fā)展

一個幾何圖形若從發(fā)展的角度去思考，其結論是不唯一的，是豐富多彩的，并且它們之間往往密切關聯(lián)，存在內在的邏輯關系.若止步于一個結論，其價值性就小了，但若關注到其生長性，就可以發(fā)現長出了一個個的枝條，直至成為一個枝繁葉茂的圖形之樹.這就是關注發(fā)展、著眼學生思維進階的教學.華羅庚先生曾說過：我講書喜歡埋些伏筆，有些重要概念、方法盡可能早在具體問題中提出，并不止一次提出.……我也喜歡生書熟講，熟書生溫的方法，似乎在溫熟書，但把新東西講進去了.這句話體現的就是不斷地滲透，使得新脫胎于舊，舊融入于新，分不清新知、舊知彼此，讓學生體驗到新知是舊知的自然生長，在不知不覺中，弄懂了，學會了，長智了！

作為角平分線的性質定理，縱然現行教材沒有作為定理嵌入，但如此美妙、和諧的結論，對其展開探究是有意義的，其價值性不可低估，對激發(fā)學生的深度思考、深入探究起著啟智開塞的作用.以上華老的經典論述也為筆者的教學行為助了力，蓄了勢.

等腰三角形的“三線合一”定理本來是后續(xù)的知識，在現有的探索之下，只要踐行“一般到特殊”的探研思路，不難發(fā)現它的存在.這都是“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”的成果，是順理成章的，是學生思維的汩汩流淌，而非強托硬拽的認知霸權.“一般到特殊”既是幾何常用研究之路，也是學生思維創(chuàng)新的一種策略，不斷踐行、不斷滲透，終有收益.

3.2借力計算，面積不變面積法古之有之，堪稱中國數學的經典之法，往往在使用時表現出簡捷、明快、精巧、新穎等特點，常會收到出奇制勝的效果.如果我們在解題時能深入挖掘題目中的隱含條件或潛在信息，善于根據有關幾何量與涉及的有關圖形面積之間的內在聯(lián)系，巧用面積法進行溝通，往往能使題目中量與量之間的關系變得簡單明了，可謂樸實中蘊藏奇異，簡單中透出真力.

同一圖形面積不變原理（如前文2.2.2（3）中的關系式“AB·DE=BD·AH”和“AC·DF=CD·AH”）是面積法得以有效使用的保障，學生從小學就開始認識面積，這應該是我們最擅長的計算了，但以此推理，把計算與推理對接本身就是一種挑戰(zhàn)，一種超越常態(tài)的觀念.張景中院士曾試圖通過面積構建起整個初中幾何體系，他認為：面積就是串聯(lián)幾何所有其他元素、甚至整個幾何定理、方法、思路、公理系統(tǒng)的那條主線，是開啟幾何新思路之門的那把鑰匙.并說可以與歐氏幾何一爭在中學的地位，這都從一定意義上說明了圖形面積的重要性.

參考文獻

[1]喻平，單墫.數學學習心理的CPFS結構理論[J].2003（02）：13-16.

[2]張景中.一線串通的初等數學.湖北：湖北科學技術出版社.2017.

作者簡介：邢成云，“萬人計劃”全國教學名師、山東省特級教師、齊魯名師、全國首期名師領航工程人選，山東省優(yōu)秀教師、山東省師德標兵、山東省教學能手、山東省有突出貢獻的中青年專家，發(fā)表論文180多篇，其中被中國人大書報復印資料中心全文轉載17篇，被索引25篇，兩次獲得山東省省級教學成果一等獎.