滯后型泛函微分方程的解關(guān)于參數(shù)的可微性

楊銀杏

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1957年Kurzweil[1]建立的廣義常微分方程理論在處理常微分方程、滯后型泛函微分方程、拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)及脈沖微分方程等問(wèn)題時(shí)有著重要作用,已被許多學(xué)者研究,并取得了一些新的成果[2-3].Federson等[4]建立了滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系,從而,廣義常微分方程中的很多相關(guān)理論都可以應(yīng)用到滯后型泛函微分方程中.文獻(xiàn)[5]中研究了廣義常微分方程的解關(guān)于初值和參數(shù)的可微性,盡管廣義常微分方程的解關(guān)于t不一定是可微的，甚至不是連續(xù)的,但方程右端函數(shù)關(guān)于參數(shù)(或關(guān)于x)的可微性仍能保證廣義常微分方程的解關(guān)于參數(shù)(或初值條件)是可微的.本文借助滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系,考慮滯后型泛函微分方程

(1)

的解關(guān)于參數(shù)的可微性.

方程(1)等價(jià)于積分方程

(2)

其中：函數(shù)x:[t0-r,t0+σ]→Rn,r>0,σ>0；xt:[-r,0]→Rn且定義xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],t∈[t0,t0+σ],λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn,其中

P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?G([-r,0],Rn)，

G1∈G([t0-r,t0+σ],Rn)，

(B)對(duì)所有的(x,λ1),(y,λ2)∈G1×Λ,u1,u2∈[t0,t0+σ],存在Lebesgue可積函數(shù)L:[t0,t0+σ]→R,使得

本文利用廣義常微分方程的解關(guān)于參數(shù)的可微性,討論滯后型泛函微分方程(1)的解關(guān)于參數(shù)的可微性.

1 預(yù)備知識(shí).

定義1[6]函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]上稱為Kurzweil可積的,如果存在I∈Rn,使得對(duì)任意的ε>0,存在正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+),對(duì)[a,b]的任何δ-精細(xì)分劃D:a=t0

特別地,當(dāng)

f:[a,b]→Rn，g:[a,b]→R，U(τ,t)=f(τ)g(t)

定義2[5]設(shè)F:Ω→Rn,Ω?Rn+1,函數(shù)x:[a,b]→Rn,若對(duì)所有的t∈[a,b],(x(t),t)∈Ω,s1,s2∈[a,b],有

其中，右端積分為Kurzweil積分,則稱x為廣義常微分方程

(3)

的解.

定義3[6]設(shè)F:Ω→Rn+l,其中Ω=G1×[t0,t0+σ]×Λ.如果F屬于函數(shù)族W(Ω,h,ω),則下列條件成立: 對(duì)任意的(x,t1,λ),(x,t2,λ)∈Ω,有

(4)

令z1=(x,λ1),z2=(x,λ2),對(duì)任意的(z1,t1),(z1,t2),(z2,t1),(z2,t2)∈Ω,有

從而,對(duì)任意的(x,t1,λ1),(x,t2,λ1),(y,t1,λ2),(y,t2,λ2)∈Ω,有

(5)

其中:h:[t0,t0+σ]→R為不減連續(xù)函數(shù);ω:[0,+]→R是連續(xù)的增函數(shù)且ω(0)=0.

引理1[5]設(shè)A:[a,b]×[a,b]→Rn×n,y,z:[a,b]→Rn，且A滿足

‖A(τ,t)-A(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(6)

其中h:[a,b]→R為不減左連續(xù)函數(shù).若對(duì)任意的s∈[a,b],有

則z在區(qū)間[a,b]上是正則的.

引理2[5]設(shè)函數(shù)A:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,且A相對(duì)于左連續(xù)函數(shù)h滿足式(6),則對(duì)于每個(gè)z0∈Rn,初值問(wèn)題：

存在唯一解z:[a,b]→Rn.

引理3[4]設(shè)f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足條件(A)和(B),φ∈G([-r,0],Rn).如果(y,λ)∈G1×Λ是滯后型泛函微分方程

(7)

的一個(gè)解，則如下形式的函數(shù)(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→G1×Λ，

是廣義常微分方程

(8)

的一個(gè)解,其中x∈G1,t∈[t0,t0+σ]；F:G1×[t0,t0+σ]×Λ→Rn，且

(9)

注:引理3的詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中的定理3、4.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?G([-r,0],Rn),λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→G1,f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是連續(xù)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)fx,fλ存在，且在P×[t0,t0+σ]×Λ上連續(xù),滿足條件(A),(B).對(duì)任意的λ∈Λ,方程(1)等價(jià)于廣義常微分方程

(10)

且方程(10)在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是方程(10)的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.進(jìn)一步,如果下列條件成立:

(1)對(duì)每個(gè)固定的t∈[t0,t0+σ],函數(shù)x(t,λ)F(x,t,λ)在G1×Λ上連續(xù)可微.

(2)函數(shù)x0在λ0處可微.

則對(duì)所有的t∈[t0,t0+σ],函數(shù)λx(t,λ)在λ0處是一致可微的,且其導(dǎo)數(shù)Z(t)=xλ(t,λ0),t∈[t0,t0+σ]是廣義常微分方程

(11)

的唯一解.

證明根據(jù)假設(shè),對(duì)每個(gè)x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1≤t2≤t0+σ,存在正常數(shù)A1,A2,B1,B2,使得

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1，‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2‖x-y‖，‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2‖x-y‖,

由G1中所定義的范數(shù)可得

同理可得

即Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),其中h(t)=h1(t)+h2(t),h1(t)=(A1+A2)t,h2(t)=(B1+B2)t,ω(t)=t.

由假設(shè),存在常數(shù)A3>0,使得‖f(xt,t,λ)-f(yt,t,λ)‖≤A3‖x-y‖,則

對(duì)每個(gè)x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ]及不減左連續(xù)函數(shù)k:[t0,t0+σ]→R,令k(t)=A3t,則

‖F(xiàn)(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖≤(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖)|k(t2)-k(t1)|.

(12)

對(duì)任意的λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ],根據(jù)假設(shè)有

由文獻(xiàn)[5]可知,在區(qū)間[t0,t0+σ]上,每個(gè)解x都是正則的左連續(xù)函數(shù).如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,則

其中V(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-F(x(τ,λ0),t,λ).通過(guò)式(12)可得

‖V(τ,t1,λ1)-V(τ,t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|k(t1)-k(t2)|.

由文獻(xiàn)[5]可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)+

s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.利用Gronwall′s不等式[5],有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)ek(t0+σ)-k(t0),s∈[t0,t0+σ].

從而,對(duì)所有s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ,當(dāng)Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0時(shí),(x(s,λ0+Δλ),λ1)一致收斂于(x(s,λ0),λ2).

令A(yù)(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),則A(τ,t,λ)滿足式(6).由引理1和引理2可知,方程(11)有唯一解Z:G1×Λ→Rn,且Z是正則的.因此存在常數(shù)K>0,使得對(duì)任意的t∈[t0,t0+σ],有‖Z(t)‖≤K.

對(duì)任意的Δλ∈Rl,當(dāng)‖Δλ‖<ρ時(shí),令

下證對(duì)所有r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則ξ(r,Δλ)一致趨于0.

對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得Δλ∈Rl,‖Δλ‖<δ時(shí),有

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<ε,t∈[t0,t0+σ],

及

從而

W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)=

令

F(1)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ0),Fλ(x(τ,λ0),t,λ0)),

F(2)=(Fx(x(τ,λ0),s,λ0),Fλ(x(τ,λ0),s,λ0)),

則

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

由于函數(shù)F(x,t,λ)在G1×[t0,t0+σ]×Λ上相對(duì)于(x,λ)是連續(xù)可微的,并且定義ξ(r,Δλ),對(duì)于任意的ε>0,t,s∈[t0,t0+σ],可有

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

從而(利用Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω))

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤2ε(‖ξ(τ,Δλ)‖+K)+2|h(t)-h(s)|‖ξ(τ,Δλ)‖≤

2ε(‖ξ(τ,Δλ)‖+K)+2|h(t0+σ)-h(t0)|‖ξ(τ,Δλ)‖,

利用三角不等式得

‖ξ(r,Δλ)‖≤‖ξ(r,Δλ)-ξ(t0,Δλ)‖+‖ξ(t0,Δλ)‖≤

最后,由Gronwall′s不等式可得[5]

‖ξ(r,Δλ)‖≤ε(2Kσ+1)e2{ε+[h(t0+σ)-h(t0)]}σ，

對(duì)于任意的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ.當(dāng)Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則ξ(r,Δλ)→0. 證畢.