從簡(jiǎn)單模型入手探究陀螺儀在磁場(chǎng)中的減速問(wèn)題

馮 鑫，范弘杰，程玉錕，趙 偉，陶小平，浦其榮，趙 霞，張?jiān)雒?/p>

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

近年來(lái)基于IYPT(International Young Physicists’ Tournament)題目的中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽活動(dòng)在國(guó)內(nèi)高校中開(kāi)展的越來(lái)越廣泛.這些具有很強(qiáng)開(kāi)放性和可探索性的題目每年吸引了很多同學(xué)投入到相關(guān)學(xué)習(xí)和研究工作中，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)物理知識(shí)的熱情，通過(guò)開(kāi)展相關(guān)的教學(xué)和比賽活動(dòng)有效提升了高校普通物理的教學(xué)質(zhì)量.

2019年的IYPT題目中的第12題是一道關(guān)于磁致減速的問(wèn)題. 一個(gè)由非鐵磁性的導(dǎo)電材料制成的旋轉(zhuǎn)的陀螺儀，被置于磁場(chǎng)中時(shí)會(huì)減速，要求研究相關(guān)參數(shù)對(duì)于減速的影響.

對(duì)于這個(gè)磁場(chǎng)中導(dǎo)體材料陀螺的減速問(wèn)題可以用電磁學(xué)知識(shí)來(lái)初步定性分析，導(dǎo)電材料在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)切割磁感線會(huì)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中會(huì)受到安培力，安培力矩作為阻礙陀螺儀旋轉(zhuǎn)的阻力矩會(huì)導(dǎo)致陀螺減速.

一般磁場(chǎng)下陀螺儀的減速問(wèn)題可以用麥克斯韋方程組求解，但過(guò)程較為復(fù)雜，也難以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行可重復(fù)性的定量驗(yàn)證. 本文以磁場(chǎng)中的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱模型為基礎(chǔ)，分析了陀螺儀轉(zhuǎn)軸與磁場(chǎng)方向間不同角度下磁場(chǎng)導(dǎo)致陀螺儀減速的機(jī)理，得到了該模型下電磁阻力矩的近似表達(dá)式，并進(jìn)行了量綱分析. 實(shí)驗(yàn)上為了能相對(duì)直接評(píng)估電磁阻力矩的大小，將力學(xué)量測(cè)量轉(zhuǎn)換為電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流測(cè)量，以直流永磁電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)陀螺儀，驗(yàn)證了所建立模型的理論分析結(jié)果，歸納出陀螺儀減速過(guò)程中電磁阻力矩所滿足的一般關(guān)系.

1 理論分析

減速問(wèn)題中的磁場(chǎng)分布，在理論和實(shí)驗(yàn)中都只考慮均勻磁場(chǎng)情況，并不影響分析該問(wèn)題的主要物理圖像. 對(duì)于非均勻磁場(chǎng),需要在分析中加入磁場(chǎng)梯度的影響[1]，或者簡(jiǎn)單的選擇一個(gè)特定位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度值[2]，作為整個(gè)磁場(chǎng)代表值. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題中磁場(chǎng)方向和陀螺儀轉(zhuǎn)軸方向的相對(duì)取向，先考慮磁場(chǎng)方向垂直于轉(zhuǎn)軸和平行于轉(zhuǎn)軸兩個(gè)特殊方向，再擴(kuò)展考慮一般情況. 磁場(chǎng)方向垂直于轉(zhuǎn)軸，即平行于轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，如圖1所示，為分析方便選擇區(qū)域?yàn)榘客勇輧x的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)，若勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍很大，包含整個(gè)陀螺儀，則顯然旋轉(zhuǎn)陀螺儀轉(zhuǎn)盤(pán)中不會(huì)產(chǎn)生渦流[2]，也就不會(huì)產(chǎn)生電磁致減速現(xiàn)象，這一點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)上也可以明顯觀察到. 因此分析磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)，假定陀螺儀圓盤(pán)上的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)施加軸向磁場(chǎng).

1.1 磁場(chǎng)方向與陀螺轉(zhuǎn)軸方向垂直

嚴(yán)格建模計(jì)算陀螺儀轉(zhuǎn)子產(chǎn)生渦流的電磁阻力矩，需要根據(jù)麥克斯韋方程組，結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解，過(guò)程相對(duì)復(fù)雜[2,3]，考慮到陀螺儀可認(rèn)為是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)，可以利用簡(jiǎn)單的導(dǎo)體圓柱模型分析電磁阻力矩的產(chǎn)生過(guò)程.

圖1 磁場(chǎng)方向垂直轉(zhuǎn)軸位形和無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱模型

如圖1所示，若有一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)繞軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)的圓柱形導(dǎo)體，其半徑為R，電導(dǎo)率為σ，密度為ρ，置于方向垂直于轉(zhuǎn)軸的無(wú)限大勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B. 該圓柱導(dǎo)體可看成距自身轉(zhuǎn)軸距離不同的很多導(dǎo)體微元組成，如圖1所示，這些導(dǎo)體微元切割磁感線會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流J感應(yīng). 截取該圓柱體上高度為Δh的一段圓盤(pán)進(jìn)行分析，在忽略渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的情況下，取與x軸夾角為α，角度為d的扇形區(qū)域，該扇形區(qū)域上距圓心r處的微元dr，其截面積為ds=rddr，如圖1所示. 磁場(chǎng)方向水平指向右側(cè)時(shí)，該微元所受安培力垂直紙面向外，即產(chǎn)生垂直向下的阻力矩,阻礙陀螺轉(zhuǎn)動(dòng). 此時(shí)高度為h的微元產(chǎn)生的總動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)e可表示為

e=BΔhωrsinα

(1)

由微觀歐姆定律，有

σG=j

(2)

其中G為單位長(zhǎng)度導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，j是電流密度. 上兩式中e和G又顯然滿足：

e=ΔhG

(3)

聯(lián)立上述式(1)-(3)可以得到

j=σBωrsinα

(4)

進(jìn)而可以得出該導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中受到的安培力矩的表達(dá)式[6]為

dM=σωΔhB2r3(sinα)2drdα

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行積分可以得到單位高度的導(dǎo)體圓柱的安培力矩表達(dá)式為

(6)

從式(6)可以看出，安培阻力矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度的二次方和角速度的一次方成正比. 同時(shí)考慮到雖然陀螺儀一般為厚度有限的圓盤(pán)，但由于圓盤(pán)與無(wú)限長(zhǎng)圓柱具有相同的軸對(duì)稱性，且產(chǎn)生減速效應(yīng)的電流只是軸向電流，因而該問(wèn)題中的陀螺儀圓盤(pán)受到的安培阻力矩與該理想模型應(yīng)只相差一個(gè)和盤(pán)厚、半徑有關(guān)的系數(shù)，若陀螺儀圓盤(pán)厚度為h，半徑為R，則根據(jù)式(6)其所受的安培力矩可表示為

M垂直=λ(h,R)σhB2R4ω

(7)

對(duì)于磁場(chǎng)中的陀螺儀減速過(guò)程，除電磁阻力矩外，還應(yīng)考慮空氣阻力和摩擦等阻力的作用. 整體減速效應(yīng)可以近似取到常值阻尼和與速度成一次關(guān)系的一次阻尼，忽略高次項(xiàng)，即

(8)

其中k為阻尼系數(shù)，對(duì)式(8)求解可得到角速度的減速過(guò)程公式為

(9)

式(9)說(shuō)明，陀螺儀的角速度隨時(shí)間滿足指數(shù)衰減關(guān)系. 此外可以注意式(9)中的阻尼系數(shù)應(yīng)包含非磁場(chǎng)產(chǎn)生的k0和磁場(chǎng)產(chǎn)生kB兩部分，即

k=k0+kB

(10)

根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，總阻力矩M，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，以及角加速度應(yīng)滿足如下關(guān)系:

(11)

式(11)中M其他為其他因素產(chǎn)生的阻力矩，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為

(12)

其中ρ為導(dǎo)體圓盤(pán)的密度，結(jié)合式(8)、(10)、(11)可得

M垂直=IkBω

(13)

將式(7)和(12)帶入式(13)，磁場(chǎng)的安培阻力矩產(chǎn)生的阻力系數(shù)為

(14)

1.2 磁場(chǎng)方向與陀螺轉(zhuǎn)軸方向平行

當(dāng)磁場(chǎng)方向平行于陀螺圓盤(pán)轉(zhuǎn)軸時(shí)，如前所述可假定磁場(chǎng)只作用于轉(zhuǎn)盤(pán)上一個(gè)小的矩形區(qū)域[3]，如圖2所示，該區(qū)域置于距圓盤(pán)中心充分遠(yuǎn)的位置，磁場(chǎng)垂直盤(pán)面. 穩(wěn)定后在某一固定時(shí)刻，由于導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于在導(dǎo)體圓盤(pán)上“嵌入”一個(gè)“電池”，而流經(jīng)該區(qū)域的電流將受安培力作用，這時(shí)圓盤(pán)受到一個(gè)阻礙其運(yùn)動(dòng)的安培力矩，因而減速. 對(duì)一般情況，可以將不規(guī)則、不均勻的磁場(chǎng)分割為多個(gè)小的這類均勻磁場(chǎng)，這時(shí)關(guān)于圓盤(pán)軸無(wú)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的磁場(chǎng)也一定具有減速效應(yīng).

圖2 磁場(chǎng)方向平行轉(zhuǎn)軸位形和圓盤(pán)上矩形均勻磁場(chǎng)小區(qū)域模型

若磁場(chǎng)區(qū)域沿電流方向長(zhǎng)為a,垂直電流方向?qū)挒閎，此區(qū)域距離盤(pán)心為r,圓盤(pán)電導(dǎo)率為σ,陀螺圓盤(pán)厚度為h. 某一時(shí)刻，圓盤(pán)的旋轉(zhuǎn)角速度大小為ω，則該均勻磁場(chǎng)區(qū)域?qū)w切割磁感線產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)e為

e=Baωr

(15)

若此區(qū)域相對(duì)圓盤(pán)充分小，此時(shí)等效電池的內(nèi)阻可以表示為

(16)

為得到感應(yīng)電流需要計(jì)算外電阻，等效外電阻的求解需要算出整個(gè)盤(pán)面的電流分布，但若磁場(chǎng)位形確定時(shí)，等效外電阻阻值一定為一常量，記為R,則由歐姆定律得

I=ασBbhωr

(17)

式(17)中α是磁場(chǎng)位形和圓盤(pán)幾何尺寸確定時(shí)的常數(shù)，其滿足

(18)

于是此時(shí)安培力矩可以表示為

M平行=ασB2abhωr2

(19)

從式(19)可以看出，與磁場(chǎng)方向垂直轉(zhuǎn)軸時(shí)的結(jié)果類似，此時(shí)安培阻力矩也與磁感應(yīng)強(qiáng)度的二次方和角速度的一次方成正比.

1.3 直流電機(jī)轉(zhuǎn)矩與阻力矩

為更方便的研究電磁阻力矩與磁場(chǎng)及角速度的相互依賴關(guān)系，實(shí)驗(yàn)中引入額定電壓為6V的130式直流永磁電機(jī)輔助，利用其一定電流下的轉(zhuǎn)矩來(lái)平衡電磁阻力矩，進(jìn)而將力學(xué)量測(cè)量轉(zhuǎn)換為電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流測(cè)量. 一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，直流電動(dòng)機(jī)穩(wěn)定時(shí)的輸出轉(zhuǎn)矩與其電樞電流強(qiáng)度平均值有非常好的線性關(guān)系[4,5]，即

M=η(I-I0)

(20)

當(dāng)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)陀螺儀以穩(wěn)定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)滿足

MB+Mf=M

(21)

其中MB為電磁阻力矩，Mf為摩擦力阻力矩，結(jié)合式(10)可知Mf應(yīng)滿足

Mf=k0ω

(22)

由式(7)和式(20)—(22)可得，磁場(chǎng)方向垂直于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度和角速度的依賴關(guān)系為

(23)

由式(19)-(22)可得，磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度和角速度的依賴關(guān)系為

(24)

1.4 量綱分析

在式(7)、(19)或式(23)、(24)中可以發(fā)現(xiàn)，電磁阻力矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度平方成正比，和角速度成正比. 對(duì)于這一點(diǎn)，從物理分析中的量綱分析方面也可以進(jìn)行說(shuō)明.

對(duì)于旋轉(zhuǎn)陀螺儀在磁場(chǎng)中受到的磁力矩M,可能與外磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B，旋轉(zhuǎn)角速度ω，材料電導(dǎo)率σ，以及系統(tǒng)幾何參量(不妨統(tǒng)一記為D)有關(guān). 若假定長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流的量綱分別為L(zhǎng)、M、T、I，則各物理量的量綱表示如下:

[B]=L0M1T-2I-1

(25)

[ω]=L0M0T-1I0

(26)

[σ]=L-3M-1T3I2

(27)

[D]=L1M0T0I0

(28)

若電磁力矩滿足

M=λBαωβσγDδ

(29)

式(29)中λ為無(wú)量綱常數(shù). 同時(shí)力矩M的量綱滿足

[M]=L2M1T-2I0

(30)

即可解得

M=λB2ω1σ1D5

(31)

量綱分析的結(jié)果式(31)與式(7)、式(19)的結(jié)果一致，關(guān)于電磁阻力矩的推導(dǎo)結(jié)果可以認(rèn)為是合理的.

1.5 磁場(chǎng)方向相對(duì)于陀螺儀轉(zhuǎn)軸取向任意角度時(shí)

當(dāng)磁場(chǎng)方向相對(duì)于陀螺儀轉(zhuǎn)軸方向取向任意時(shí)，情況較為復(fù)雜，但可以在之前兩種特殊情況基礎(chǔ)上，對(duì)任意取向下的減速過(guò)程作粗略的討論. 此時(shí)可令磁場(chǎng)方向始終為水平方向，陀螺儀轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角為α.

磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸的部分可認(rèn)為沒(méi)有減速效應(yīng)，故公式中只應(yīng)包含垂直于轉(zhuǎn)軸的減速效應(yīng)，即cosα項(xiàng). 同時(shí)陀螺儀自身與摩擦有關(guān)的一次阻尼系數(shù)也將發(fā)生變化，阻尼系數(shù)與作用力大小成正比，故公式應(yīng)包含sinα和cosα項(xiàng). 由于垂直于轉(zhuǎn)軸的磁場(chǎng)分量激發(fā)的沿盤(pán)面的渦流會(huì)受平行于轉(zhuǎn)軸(垂直于盤(pán)面)的磁場(chǎng)分量產(chǎn)生的安培阻力矩，即兩方向磁場(chǎng)的減速效應(yīng)不獨(dú)立存在，故公式應(yīng)包含sinαcosα交叉項(xiàng)[7,8].

基于上述考慮，磁場(chǎng)方向相對(duì)于陀螺儀轉(zhuǎn)軸取向任意時(shí)減速系數(shù)k應(yīng)滿足如下關(guān)系

k=acosα+bsinα+ccos αsinα+d

(32)

式(32)中a、b、c、d為待定的角度無(wú)關(guān)參數(shù).

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 磁場(chǎng)方向與陀螺轉(zhuǎn)軸方向垂直時(shí)的減速過(guò)程實(shí)驗(yàn)

在理論分析1.1中的式(9)表明陀螺儀的角速度隨時(shí)間滿足指數(shù)衰減關(guān)系，這種依賴關(guān)系可以在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行實(shí)際檢驗(yàn).

圖3 黃銅陀螺儀、亥姆霍茲線圈和高斯計(jì)

圖4 陀螺儀角速度和時(shí)間關(guān)系曲線

圖5 阻尼系數(shù)k與磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)中使用了如圖3中所示黃銅制陀螺儀.先將陀螺儀加速到一定轉(zhuǎn)速，之后迅速將其固定于亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)之中，磁場(chǎng)方向垂直于陀螺儀轉(zhuǎn)軸. 實(shí)驗(yàn)中使用光電門(mén)搭配擋光片測(cè)量計(jì)算旋轉(zhuǎn)陀螺儀的速度，使用圖3中的高斯計(jì)測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度. 根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)描繪磁場(chǎng)下的角速度(可轉(zhuǎn)換為線速度)隨時(shí)間依賴關(guān)系，并扣除無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的影響.

實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了多個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度下陀螺儀的減速過(guò)程，可將這些減速過(guò)程與式(9)進(jìn)行比較分析. 圖4是磁感應(yīng)強(qiáng)度B=12 mT時(shí)的減速曲線，其中擬合曲線使用式(9)類型函數(shù)y=ae-bx+c進(jìn)行擬合，可以看到擬合曲線和測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)匹配較好，陀螺儀在磁場(chǎng)中的減速過(guò)程可認(rèn)為符合指數(shù)衰減規(guī)律. 也可將不同磁場(chǎng)下的減速過(guò)程數(shù)據(jù)(擬合曲線)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，研究減速過(guò)程的阻尼系數(shù)k與磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度的依賴關(guān)系，從前面理論分析部分式(8)-(11)可以看出，阻尼系數(shù)與磁感應(yīng)強(qiáng)度間應(yīng)符合二次函數(shù)拋物線型依賴關(guān)系. 圖5是由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算得到的阻尼系數(shù)與磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系曲線，其變化趨勢(shì)與式(14)相似的二次函數(shù)擬合曲線符合的較好.實(shí)驗(yàn)上佐證了前述理論部分的合理性.

2.2 直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

圖6 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀器

通過(guò)引入直流電動(dòng)機(jī)作為驅(qū)動(dòng)，利用式(20)—(24)可以更直接地測(cè)量和分析特定角速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度下的電磁阻力矩. 實(shí)驗(yàn)中使用如圖6中所示的130式永磁有刷直流電機(jī)，將其與陀螺儀鏈接后，放入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中. 用“上行下行法”調(diào)節(jié)電流大小并記錄與之對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定角速度值.

固定磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度不變時(shí)，根據(jù)式(23)，表征力矩大小的驅(qū)動(dòng)電流應(yīng)與陀螺儀穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成線性關(guān)系，同時(shí)與外磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度成二次函數(shù)關(guān)系. 實(shí)驗(yàn)中改變磁場(chǎng)時(shí)難以保證陀螺儀轉(zhuǎn)速穩(wěn)定不變，因此只在固定外磁場(chǎng)條件下測(cè)量了轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時(shí)陀螺儀旋轉(zhuǎn)角速度和驅(qū)動(dòng)電流的依賴關(guān)系. 實(shí)驗(yàn)中固定不同外磁場(chǎng)強(qiáng)度下進(jìn)行了多組測(cè)量，驅(qū)動(dòng)電流與陀螺儀穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之間顯示了很好的線性關(guān)系，圖7中下圖是磁感應(yīng)強(qiáng)度為193.82 mT的測(cè)量數(shù)據(jù)，可以看到線性關(guān)系符合的較好.

圖7 直流電動(dòng)機(jī)電樞電流與外加磁場(chǎng)和陀螺儀轉(zhuǎn)速關(guān)系

將測(cè)得的電動(dòng)機(jī)電樞電流、陀螺儀轉(zhuǎn)速和磁感應(yīng)強(qiáng)度在一個(gè)三維坐標(biāo)中作圖，數(shù)據(jù)關(guān)系用式(23)來(lái)進(jìn)行擬合，從圖7中右圖來(lái)看，擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)符合較好. 說(shuō)明前述模型和假設(shè)條件基本合理，可用來(lái)解釋陀螺儀在磁場(chǎng)中的減速過(guò)程.

2.3 磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)的減速實(shí)驗(yàn)

當(dāng)磁場(chǎng)方向與陀螺儀轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，根據(jù)前述理論分析，磁場(chǎng)范圍限制在圓盤(pán)上的一個(gè)小區(qū)域中. 如圖8所示，實(shí)驗(yàn)中將一個(gè)相對(duì)大且薄的鋁盤(pán)作為陀螺儀圓盤(pán)，圓盤(pán)材質(zhì)為6061鋁，直徑159.40 mm，厚度2.60 mm，直流電機(jī)提供驅(qū)動(dòng)力，固定兩塊相同磁鐵于圓盤(pán)上下兩側(cè)正對(duì)相吸，使磁感線垂直穿過(guò)圓盤(pán)上一個(gè)相對(duì)小的區(qū)域，磁鐵尺寸為10 mm×10 mm×25 mm. 通過(guò)改變磁鐵個(gè)數(shù)和間距以改變磁感應(yīng)強(qiáng)度，通過(guò)改變磁場(chǎng)夾持裝置位置以改變磁場(chǎng)到圓盤(pán)中心的位置. 使用光電門(mén)和擋光片測(cè)量不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下，圓盤(pán)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度.

圖8 磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸整體裝置和光電門(mén)

實(shí)驗(yàn)中使用如圖8中右圖所示光電門(mén)測(cè)量穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的角速度平均值，利用穩(wěn)定狀態(tài)的電動(dòng)機(jī)電樞電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量值可驗(yàn)證其相互依賴關(guān)系. 從測(cè)量數(shù)據(jù)可以看出，磁場(chǎng)大小和位置固定時(shí)陀螺儀圓盤(pán)穩(wěn)態(tài)角速度和電動(dòng)機(jī)電樞電流，即電磁阻力矩的依賴關(guān)系，和式(19)一致，符合線性關(guān)系，圖9所示為磁感應(yīng)強(qiáng)度B=100 mT時(shí)圓盤(pán)角速度和電動(dòng)機(jī)電樞電流關(guān)系擬合結(jié)果，可認(rèn)為符合線性關(guān)系.

圖9 磁場(chǎng)方向平行陀螺儀轉(zhuǎn)軸且B=100 mT時(shí)角速度和電動(dòng)機(jī)電流的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變盤(pán)片上下兩側(cè)永磁鐵個(gè)數(shù)(保持最近兩個(gè)永磁鐵位置不變)，改變圓盤(pán)上固定區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下得到與圖9類似的不同線性依賴關(guān)系的斜率. 圖10是不同線性斜率與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的依賴關(guān)系，擬合曲線顯示明顯的二次函數(shù)特性，與式(23)和(24)的結(jié)果符合較好. 實(shí)驗(yàn)中高斯計(jì)存在零點(diǎn)漂移導(dǎo)致二次函數(shù)最低點(diǎn)有一定偏移.

圖10 磁場(chǎng)方向平行于陀螺儀轉(zhuǎn)軸時(shí)，阻尼系數(shù)與磁感應(yīng)強(qiáng)度的依賴關(guān)系

1.2中的式(16)是以磁場(chǎng)區(qū)域相對(duì)陀螺圓盤(pán)無(wú)限小為基礎(chǔ)的，根據(jù)式(19)，若認(rèn)為r的改變對(duì)系數(shù)α影響很小，使α幾乎不變，那么有電磁阻力矩應(yīng)與磁場(chǎng)區(qū)域距離圓盤(pán)中心距離r的二次方成正比的結(jié)論. 實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變磁場(chǎng)區(qū)域距離圓盤(pán)中心的距離r，得到了阻尼系數(shù)相對(duì)于r的關(guān)系，如圖11所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果并不是明顯的二次函數(shù)關(guān)系，在距離圓盤(pán)中心較近時(shí)近似線性關(guān)系，r>5 cm(圓盤(pán)半徑大約7.5 cm)但仍在圓盤(pán)范圍內(nèi)時(shí)阻尼系數(shù)隨r變化非常緩慢，趨近于飽和. 推測(cè)α應(yīng)該依賴于r，在r較小時(shí)可以認(rèn)為二者成反比關(guān)系，這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果有待于嚴(yán)格的理論分析.

圖11 電流和角速度的關(guān)系系數(shù)與磁場(chǎng)區(qū)域到圓盤(pán)中心距離r的關(guān)系

2.4 磁場(chǎng)方向相對(duì)陀螺儀轉(zhuǎn)軸任意取向時(shí)的減速過(guò)程

圖12 改變陀螺儀轉(zhuǎn)軸與磁場(chǎng)方向夾角的減速實(shí)驗(yàn)裝置

為了對(duì)1.5中得到的磁場(chǎng)方向相對(duì)于陀螺儀轉(zhuǎn)軸任意取向時(shí)的減速過(guò)程滿足的關(guān)系式(32)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)中將陀螺儀加速后，以不同取向放入水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使陀螺儀轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角α. 如圖12所示，通過(guò)自制的角度測(cè)量板可以近似測(cè)量夾角α，在不同角度下，通過(guò)光電門(mén)并配合擋光片測(cè)量陀螺儀的減速過(guò)程.

圖13 陀螺儀轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角α與阻尼系數(shù)關(guān)系

實(shí)驗(yàn)中保持磁感應(yīng)強(qiáng)度在51.4 mT, 陀螺儀與豎直方向夾角α從0°到65°，每隔5°測(cè)量一次陀螺儀的減速過(guò)程，將測(cè)量計(jì)算得到的阻尼系數(shù)與陀螺儀轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角α的關(guān)系用式(32)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖13所示，可見(jiàn)阻尼系數(shù)與夾角α的依賴關(guān)系與式(32)符合的較好. 結(jié)合分析過(guò)程可以進(jìn)一步推測(cè)若陀螺儀自身阻尼較小可忽略時(shí)，式(32)中的cosα項(xiàng)應(yīng)可忽略[7,8].

2.5 陀螺儀減速過(guò)程與材料電阻率的關(guān)系

陀螺儀減速問(wèn)題中，所用陀螺儀導(dǎo)體材料的電阻率涉及能量的耗散，電阻率變化時(shí)應(yīng)會(huì)影響減速過(guò)程. 從前述理論分析式(23)和(24)可以看出，陀螺儀減速過(guò)程中的電磁阻力矩與電阻率成正比. 為驗(yàn)證這一推論，實(shí)驗(yàn)上需要保證在其他參數(shù)相同的狀態(tài)下改變陀螺儀材料種類，這一實(shí)驗(yàn)還需要進(jìn)一步的詳細(xì)研究.

3 總結(jié)

IYPT題目普遍具有較強(qiáng)開(kāi)放性和可研究性. 非鐵磁性導(dǎo)體的陀螺儀在磁場(chǎng)中減速這個(gè)問(wèn)題中，陀螺儀所用導(dǎo)體材料、陀螺儀尺寸、結(jié)構(gòu)和磁場(chǎng)相關(guān)參數(shù)都是開(kāi)放的，題中可變條件非常多，不易通過(guò)麥克斯韋方程組給出全面且統(tǒng)一的答案.

本文從無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱模型入手，通過(guò)合理的近似推導(dǎo)得到了陀螺儀轉(zhuǎn)軸與磁場(chǎng)方向垂直和平行兩種條件下電磁阻力矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度、角速度、電導(dǎo)率等參數(shù)的依賴關(guān)系的表達(dá)式，進(jìn)一步分析得到了磁場(chǎng)方向相對(duì)陀螺儀轉(zhuǎn)軸任意取向時(shí)陀螺儀減速阻尼系數(shù)的表達(dá)式. 為驗(yàn)證理論分析的合理性，首先使用量綱分析進(jìn)行了初步驗(yàn)證，之后在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中引入直流電動(dòng)機(jī)提供驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩，通過(guò)測(cè)量和數(shù)據(jù)分析比對(duì)，驗(yàn)證了基本模型推導(dǎo)得到的電磁阻力矩和減速過(guò)程的合理性. 通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)的分析可以得出，在陀螺儀轉(zhuǎn)軸與磁場(chǎng)方向垂直和平行時(shí)，電磁阻力矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度的二次方和角速度的一次方成正比. 當(dāng)磁場(chǎng)方向相對(duì)陀螺儀轉(zhuǎn)軸任意取向時(shí),阻尼系數(shù)滿足式(32). 陀螺儀在磁場(chǎng)中受到的電磁阻力矩與陀螺儀電阻率成正比.