氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)及其應(yīng)用綜述

沈鈞煒，張宇寧,*，冼海珍

氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)及其應(yīng)用綜述

沈鈞煒1,2，張宇寧1,2,*，冼海珍1,2

（1. 華北電力大學(xué)電站能量傳遞轉(zhuǎn)化與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206；2. 華北電力大學(xué)能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，北京 102206）

氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)指的是氣泡在液體中通過(guò)擴(kuò)散、對(duì)流等質(zhì)量傳輸機(jī)制而生長(zhǎng)或溶解的物理過(guò)程及相關(guān)效應(yīng)，其在醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、核領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。影響傳質(zhì)效應(yīng)的參數(shù)主要包括氣泡用于傳質(zhì)作用的界面面積、溶解氣體的濃度、周圍流場(chǎng)的作用等。本文對(duì)已有的傳質(zhì)效應(yīng)及相關(guān)物理模型進(jìn)行了一個(gè)較為系統(tǒng)的綜述，對(duì)傳質(zhì)效應(yīng)所涉及的傳質(zhì)方程求解、泡壁運(yùn)動(dòng)方程求解、閾值條件計(jì)算等進(jìn)行了數(shù)學(xué)解析求解。此外，對(duì)非牛頓流體、液態(tài)金屬等介質(zhì)中的傳質(zhì)效應(yīng)研究以及高濃度模型做了簡(jiǎn)要的描述與分析。

泡動(dòng)力學(xué)；傳質(zhì)效應(yīng)；整流擴(kuò)散；閾值條件

在核領(lǐng)域，空化和氣泡動(dòng)力學(xué)一直被廣泛關(guān)注?？栈F(xiàn)象作為一種特殊的流體現(xiàn)象，常常出現(xiàn)于核反應(yīng)堆及其附屬裝置的管道與泵中，可能會(huì)導(dǎo)致泵性能和效率的嚴(yán)重降低，同時(shí)還會(huì)伴有物理?yè)p傷、振動(dòng)和噪聲，從而嚴(yán)重影響泵的安全運(yùn)行。由于核反應(yīng)堆所涉及的泵需要在極端工況下能夠穩(wěn)定運(yùn)行，空化所帶來(lái)的安全隱患非常巨大[1,2]。此外，氣泡生長(zhǎng)脫離及其沸騰核化過(guò)程也將嚴(yán)重影響核反應(yīng)堆效率、運(yùn)行安全。因此，針對(duì)氣泡的運(yùn)動(dòng)及其傳熱傳質(zhì)等行為的研究具有重大的意義[3]。本文對(duì)已有的氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)的模型進(jìn)行綜述。

傳質(zhì)效應(yīng)是氣泡在液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，溶解于其中的氣體在濃度梯度及周圍流場(chǎng)等作用下，而在泡壁處產(chǎn)生的擴(kuò)散、對(duì)流等質(zhì)量傳輸作用。在聲場(chǎng)的作用下，氣泡的運(yùn)動(dòng)會(huì)變成一種被稱為整流擴(kuò)散的過(guò)程。整流擴(kuò)散過(guò)程的核心特征之一是存在一個(gè)聲壓閾值。當(dāng)聲壓大于這一閾值時(shí)，氣泡則會(huì)增大，反之則減小。該閾值與液體中溶解氣體的量、氣泡半徑、聲場(chǎng)頻率等密切相關(guān)[4]。整流擴(kuò)散過(guò)程主要包括三個(gè)效應(yīng)[5]：

第一，氣泡在振蕩時(shí)，氣泡體積和內(nèi)部壓力會(huì)發(fā)生改變。在亨利定律的主導(dǎo)下，氣泡內(nèi)部壓力的變化將進(jìn)一步引起氣泡泡壁處所溶解的氣體濃度的改變。

第二，氣泡體積振蕩時(shí)，氣泡泡壁面積會(huì)發(fā)生變化，這意味著可用于傳質(zhì)作用的面積會(huì)變化。

第三，氣泡的體積振蕩會(huì)引起液體中的徑向運(yùn)動(dòng)，其速度與徑向坐標(biāo)的平方成反比，其可通過(guò)傳質(zhì)過(guò)程中的對(duì)流項(xiàng)影響傳質(zhì)效應(yīng)。

下面，本文將簡(jiǎn)要回顧氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)理論模型的研究歷史。

早在1949年，Blake[6]便對(duì)氣泡泡壁傳質(zhì)擴(kuò)散問(wèn)題進(jìn)行了理論分析。通過(guò)假設(shè)氣泡的運(yùn)動(dòng)為非常小的正弦振動(dòng)，他得到了擴(kuò)散問(wèn)題的第一個(gè)解。遺憾的是，該工作僅考慮了面積變化的影響。Epstein和Plesset[4]假設(shè)在氣體的擴(kuò)散過(guò)程中，氣泡壁和周圍液體的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)緩慢的過(guò)程，因此可將擴(kuò)散方程中的對(duì)流項(xiàng)忽略不計(jì)，將其獨(dú)立于泡壁運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。Hsieh和Plesset[7]則將邊界條件展開(kāi)為關(guān)于氣泡泡壁平衡位置的泰勒級(jí)數(shù)，解決了運(yùn)動(dòng)邊界的問(wèn)題，成功在擴(kuò)散方程中加入了對(duì)流項(xiàng)，但是也僅局限于小振幅正弦振蕩的情形。Eller和Flynn[8]運(yùn)用了Plesset和Zwick[9]基于薄擴(kuò)散層近似的邊界層分析方法，在拉格朗日坐標(biāo)系下進(jìn)行傳質(zhì)邊界層分析，消除了小正弦振蕩假設(shè)的限制。同時(shí)，通過(guò)時(shí)間平均法，他們進(jìn)一步將傳質(zhì)方程的求解和泡壁運(yùn)動(dòng)方程的求解成功解耦為兩個(gè)問(wèn)題，形成了較為完善的閾值理論。

Eller和Flynn[8]的閾值理論成為許多后續(xù)研究者的基礎(chǔ)框架。如Crum[10]對(duì)該閾值理論進(jìn)行了擴(kuò)展研究。Crum通過(guò)數(shù)值模擬分析了高聲場(chǎng)強(qiáng)度下遠(yuǎn)離閾值理論假設(shè)下的氣泡增長(zhǎng)速率情況[10]。另外，Crum還分析了表面活性劑對(duì)氣泡的影響，發(fā)現(xiàn)其對(duì)氣泡增長(zhǎng)速率影響巨大[10]。為解決聲壓遠(yuǎn)大于閾值時(shí)所帶來(lái)的非線性氣泡的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，F(xiàn)yrillas和Szeri[5]充分研究了該條件下單氣泡的振蕩情況，發(fā)展了相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論模型。在拉格朗日坐標(biāo)下，F(xiàn)yrillas和Szeri將亨利定律邊界條件問(wèn)題分解為了光滑和振蕩兩個(gè)問(wèn)題，從而滿足復(fù)雜的非定常邊界條件[5]。

其后，Zhang[11]考慮了能量耗散機(jī)制、泡內(nèi)壓力不均勻性、表面張力和液體的可壓縮性，使傳質(zhì)效應(yīng)的理論模型更為成熟。在Zhang[12,13]的工作中，還研究了粘彈性流體及液態(tài)金屬中的傳質(zhì)效應(yīng)。Chu和Lopez[14-16]對(duì)氣泡的歷史效應(yīng)進(jìn)行了研究。歷史效應(yīng)是指氣泡當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)受到前一時(shí)刻任何其他傳質(zhì)現(xiàn)象（如環(huán)境壓力隨時(shí)間變化）的影響[15]。

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)氣泡傳質(zhì)效應(yīng)其他方面進(jìn)行拓展。Prosperetti[17,18]對(duì)蒸汽泡的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)進(jìn)行了分析。Zhang[19,20]在蒸汽和氣體混合泡的傳質(zhì)效應(yīng)方面進(jìn)行了細(xì)致研究。Dollet[21]對(duì)軟組織和生物物質(zhì)中的氣泡動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了綜述。Soto[22,23]和Lyubimova[24]分析了超聲波對(duì)傳質(zhì)效應(yīng)的作用，得出了超聲波可以令表面氣泡在擴(kuò)散作用下的體積振蕩大大增強(qiáng)的結(jié)論。Shen[25]研究了氣泡與氣泡間的相互作用。Qin[26]在此基礎(chǔ)上建立了能同時(shí)考慮氣泡粘彈性行為、氣泡與氣泡間相互作用和周圍介質(zhì)粘彈性作用的動(dòng)力學(xué)模型。

本文對(duì)傳質(zhì)效應(yīng)一些重要模型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了詳細(xì)的展開(kāi)。本文第1～3節(jié)介紹了傳質(zhì)方程和泡動(dòng)力學(xué)方程的基本框架，以及Epstein和Plesset[4]在泡壁傳質(zhì)效應(yīng)方面的開(kāi)創(chuàng)性工作。第4節(jié)作為本文的重點(diǎn)，展示了一個(gè)較為完整的閾值理論體系，Eller和Flynn[8]在之前無(wú)數(shù)工作的基礎(chǔ)上，將整個(gè)傳質(zhì)過(guò)程看作一個(gè)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過(guò)程，創(chuàng)新性地將擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)與泡壁運(yùn)動(dòng)解耦為兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的問(wèn)題，再通過(guò)時(shí)間平均法使上述這兩個(gè)問(wèn)題耦合。之后的Crum[27]，Zhang[11]和Fyrillas[5]的工作在這個(gè)基礎(chǔ)上對(duì)其存在的一些不足進(jìn)行了完善，如高聲場(chǎng)強(qiáng)度預(yù)測(cè)不足等，從而完善了這個(gè)經(jīng)典的傳質(zhì)效應(yīng)體系。第5～8節(jié)介紹了非牛頓流體、液態(tài)金屬等介質(zhì)中的傳質(zhì)效應(yīng)研究以及高濃度模型，進(jìn)一步拓展了傳質(zhì)效應(yīng)模型所涉及的研究領(lǐng)域。

1 傳質(zhì)效應(yīng)基本方程

Fick于1855年提出了分子擴(kuò)散過(guò)程描述濃度梯度和傳質(zhì)通量關(guān)系的菲克定律，以此得到傳質(zhì)的基本方程為[8]

傳質(zhì)方程的初始及邊界條件為[8]

2 泡壁運(yùn)動(dòng)方程

在本文中，泡壁運(yùn)動(dòng)方程使用Keller方程，即考慮了流體可壓縮性、表面張力、流體粘度、熱力學(xué)粘度等的泡動(dòng)力學(xué)方程[28]

其中

3 自由振蕩的傳質(zhì)模型

作為研究傳質(zhì)效應(yīng)奠基性的工作之一，Epstein和Plesset[4]將傳質(zhì)問(wèn)題看作是一個(gè)靜態(tài)問(wèn)題來(lái)解，因此將傳質(zhì)方程的對(duì)流項(xiàng)忽略，從而使方程（1）簡(jiǎn)化為

然后，進(jìn)一步定義變量[4]

這樣此靜態(tài)問(wèn)題便變成和一個(gè)傳熱方程非常相似的問(wèn)題了，因此其解為[4]

Epstein和Plesset的工作具有較強(qiáng)的開(kāi)創(chuàng)性，是之后很多后續(xù)學(xué)者做這方面研究的基礎(chǔ)。但其不足之處在于研究對(duì)象是靜態(tài)問(wèn)題，忽略了方程中的對(duì)流項(xiàng)。此外，他們并沒(méi)有研究聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的傳質(zhì)效應(yīng)。事實(shí)上，對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題（即考慮傳質(zhì)方程中的對(duì)流項(xiàng)），也就是氣泡在液體中以及聲場(chǎng)存在情況下的一般擴(kuò)散問(wèn)題，異常復(fù)雜。對(duì)傳質(zhì)現(xiàn)象完整的數(shù)學(xué)描述是包括了擴(kuò)散方程和泡壁運(yùn)動(dòng)方程的，而擴(kuò)散方程通過(guò)對(duì)流項(xiàng)強(qiáng)烈依賴于泡壁運(yùn)動(dòng)方程，因此對(duì)流項(xiàng)不能被忽略。

4 聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的傳質(zhì)模型

4.1 傳質(zhì)方程推導(dǎo)

Eller和Flynn[8]在Epstein工作的基礎(chǔ)上，將對(duì)流效應(yīng)考慮了進(jìn)去，并且創(chuàng)新性地將擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)與泡壁運(yùn)動(dòng)解耦為兩個(gè)問(wèn)題。對(duì)于解耦的物理依據(jù)，簡(jiǎn)述如下。氣泡的振蕩速度相比傳質(zhì)速度而言是非?？焖俚?，在氣泡的一個(gè)周期振蕩過(guò)程中，通過(guò)氣泡泡壁氣體傳質(zhì)的量很少。因此，可以假設(shè)一個(gè)振蕩周期內(nèi)發(fā)生的氣體傳質(zhì)可以忽略，將其視作準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，這樣便使得方程可以進(jìn)行部分解耦。換言之，傳質(zhì)引起的氣泡泡壁運(yùn)動(dòng)與聲場(chǎng)引起的氣泡泡壁運(yùn)動(dòng)相比非常小，因此傳質(zhì)對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)的影響也可以忽略。在小的時(shí)間尺度下，如一個(gè)氣泡振蕩周期內(nèi)，將傳質(zhì)效應(yīng)忽略不計(jì)。在數(shù)千次氣泡振蕩周期的大時(shí)間尺度上，再考慮傳質(zhì)效應(yīng)并將其進(jìn)行計(jì)算。本節(jié)中的推導(dǎo)都是在Eller和Flynn[8]的上述假設(shè)基礎(chǔ)之上展開(kāi)的。

基于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過(guò)程的假設(shè)，Eller和Flynn[8]使用了Plesset和Zwick[9]的解析法，對(duì)包含對(duì)流項(xiàng)的傳質(zhì)方程（1）進(jìn)行了解析求解。

解得[8]

在這兩個(gè)變量的轉(zhuǎn)化下，簡(jiǎn)化了初始及邊界條件，將傳質(zhì)方程的形式變?yōu)閇8]

由于將一個(gè)氣泡振蕩周期中的氣體擴(kuò)散忽略了，因此可以認(rèn)定氣泡內(nèi)氣體的摩爾量在一個(gè)氣泡振蕩周期下是常數(shù)，同時(shí)假設(shè)這個(gè)過(guò)程為等溫過(guò)程，此時(shí)的理想氣體狀態(tài)方程為[8]

這樣可以將邊界條件（23）變換為[8]

再將方程（20）左側(cè)括號(hào)內(nèi)的部分進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到[8]

一階精度方程為[8]

4.2 不同精度傳質(zhì)方程求解

接著沿用Plesset和Zwick[9]的工作，對(duì)零階精度方程進(jìn)行拉普拉斯變換，令

則得到

則方程（38）的通解為

進(jìn)行逆拉普拉斯變換得到零階精度方程的解為[8]

對(duì)于一階精度方程（32）～（35），使用格林函數(shù)的方法進(jìn)行求解?？芍浑A精度的格林函數(shù)為[8]

通過(guò)格林函數(shù)得到的一階精度解的形式為[8]

將方程（42）代入（45）進(jìn)行推導(dǎo)得[8]

4.3 傳質(zhì)速率

氣體的摩爾量變化率由擴(kuò)散通量得到，為[8]

其中，由于精確到了一階精度方程，可近似為

Eller和Flynn的模型很好地解決了Epstein和Plesset工作中忽略對(duì)流項(xiàng)的問(wèn)題，同時(shí)建立了一個(gè)完善的閾值理論。

4.4 泡動(dòng)力學(xué)方程封閉

Crum[27]和Zhang[11]基于Eller的模型進(jìn)行了一系列的工作，提出了一個(gè)更為完善的閾值理論?；贓ller模型中傳質(zhì)方程的解（55），Crum[27]擺脫了其基于等溫過(guò)程的局限性，將多變過(guò)程引入，即理想氣體狀態(tài)方程[27]

傳質(zhì)方程的解變?yōu)閇27]

對(duì)于方程的解保留到需求精度，這樣便可以克服非線性方程難以求解的困難。對(duì)于泡壁運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用小擾動(dòng)法可求得其解析解，假設(shè)

將其代入方程（5）中，具體推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)[29]的附錄G，其解析解為[11,29]

其中

其中

通過(guò)泡壁運(yùn)動(dòng)方程的解，可以得到傳質(zhì)方程的解（59）中時(shí)間平均項(xiàng)為[27]

圖1 在22.1 kHz聲場(chǎng)下的聲壓振幅隨氣泡半徑的變化圖。圖中十字形離散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)值，點(diǎn)劃線為Eller的理論預(yù)測(cè)，實(shí)線為Crum的理論預(yù)測(cè)[30]。

Crum[27]和Zhang[11]的工作改進(jìn)了Eller和Flynn模型的閾值理論，但仍存在局限之處。如圖1所示，Eller和Flynn的模型在較低的聲場(chǎng)強(qiáng)度下，可以達(dá)到理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)基本一致。但是，在遠(yuǎn)離閾值條件的情況下，實(shí)驗(yàn)得到的氣泡增長(zhǎng)速率要大于理論預(yù)測(cè)。在文獻(xiàn)[31]中，對(duì)這一缺陷的原因進(jìn)行了分析，即Eller和Flynn模型的解本質(zhì)是通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得到的，其中高于二階的項(xiàng)被截?cái)嗔?。因此，?dāng)聲壓振幅足夠大時(shí)，這一方法的缺陷就被放大了。

4.5 Fyrillas模型

Eller和Flynn的閾值理論及基于此的其他所有學(xué)者的工作，基本的假設(shè)都基于薄擴(kuò)散層近似，即擴(kuò)散只在氣泡附近的薄層內(nèi)有影響。Fyrillas和Szeri的模型突破了薄擴(kuò)散層假設(shè)的局限。在Fyrillas和Szeri[5]的工作中，將亨利定律定義的邊界條件分為常數(shù)部分和振蕩部分，這兩個(gè)部分分別會(huì)產(chǎn)生光滑問(wèn)題和振蕩問(wèn)題。其中，振蕩問(wèn)題和光滑問(wèn)題的解在液體中的任何地方都成立，但振蕩問(wèn)題只在氣泡表面附近的液體薄層中不等于零，而光滑問(wèn)題則是通過(guò)對(duì)流增強(qiáng)的擴(kuò)散在一個(gè)緩慢的時(shí)間尺度上演化[5]。

Fyrillas模型中將傳質(zhì)方程轉(zhuǎn)化為了無(wú)量綱的形式，即[5]

經(jīng)過(guò)拉格朗日坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化后，得到擴(kuò)散方程為[5]

得到振蕩問(wèn)題為[5]

光滑問(wèn)題為[5]

對(duì)于振蕩問(wèn)題，其方程對(duì)應(yīng)于邊界條件的振蕩部分，這部分對(duì)傳質(zhì)方程的解并沒(méi)有貢獻(xiàn)，因?yàn)槠湓跁r(shí)間上是漸近的。對(duì)于光滑問(wèn)題，作為邊界條件的常數(shù)部分，它的解構(gòu)成了傳質(zhì)方程的解[5,31]

Fyrillas模型中將傳質(zhì)問(wèn)題分解成了振蕩問(wèn)題和光滑問(wèn)題兩部分。其中振蕩問(wèn)題解釋了邊界條件中非定常的部分，這部分在遠(yuǎn)離氣泡表面薄擴(kuò)散層時(shí)接近零，即只在薄擴(kuò)散層中才會(huì)產(chǎn)生不同于零的濃度場(chǎng)。光滑問(wèn)題解釋了邊界條件中穩(wěn)定的部分，以及氣體是朝向氣泡還是遠(yuǎn)離氣泡擴(kuò)散的原因。

Fyrillas模型在與前文介紹的Eller[8]以及Crum[27]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比時(shí)，如圖2所示，可以清楚看到對(duì)于聲壓低于210 dB，三種方法給出的氣泡增長(zhǎng)率類似。然而，一旦超過(guò)該聲壓（例如圖2中所示的220 dB），其余兩種方法與Fyrillas模型的結(jié)果相比會(huì)有一個(gè)較大的差距。

圖2 Fyrillas、Eller、Crum三者的公式在不同聲場(chǎng)強(qiáng)度下，氣泡半徑隨時(shí)間的變化。氣泡初始半徑為，聲場(chǎng)頻率為，溶液過(guò)飽和度為113.5%[31]。

5 粘彈性流體

非牛頓流體中的氣泡動(dòng)力學(xué)是流體力學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典課題[32]。其中Zhang[13]詳細(xì)研究了粘彈性流體中的氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)。人體或動(dòng)物組織中包含粘彈性介質(zhì)，其中由于氣泡的空化會(huì)產(chǎn)生一些嚴(yán)重的疾病，如腫瘤[33]。Zhang[13]的工作是在原來(lái)的泡壁運(yùn)動(dòng)方程中加入了Kelvin-Voigt模型，即簡(jiǎn)單線性粘彈行為的力學(xué)模型，此時(shí)泡壁運(yùn)動(dòng)方程如下[13,34]

其中

圖3 在頻率為1 MHz、的條件下，氣泡在水中與在粘彈性介質(zhì)中的整流擴(kuò)散聲壓幅值閾值比較圖。圖中實(shí)線為粘彈性介質(zhì)預(yù)測(cè)曲線，虛線是介質(zhì)為水的預(yù)測(cè)曲線[13]。

6 高濃度模型

在一些海洋哺乳動(dòng)物進(jìn)行深潛后，它們體內(nèi)毛細(xì)血管中的氣體濃度會(huì)達(dá)到一個(gè)很高的水平，如300%的過(guò)飽和度，這就是傳質(zhì)效應(yīng)高濃度模型的應(yīng)用背景[35]。在已有的傳質(zhì)效應(yīng)模型中，氣泡泡壁處的液體中的濃度與氣泡的半徑相關(guān)，當(dāng)氣泡處在上述所說(shuō)的高濃度模型中，氣泡的增長(zhǎng)速度很快，導(dǎo)致泡壁處液體中產(chǎn)生了額外的氣體濃度梯度，使已有的傳質(zhì)模型預(yù)測(cè)不足。Ilinskii[36]預(yù)測(cè)了在這種高濃度情況下，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)模型對(duì)氣泡的增長(zhǎng)速率有所低估[36]。

氣泡在液體中進(jìn)行振蕩時(shí)，會(huì)在氣泡泡壁處的液體中產(chǎn)生一個(gè)溫度梯度。這個(gè)溫度梯度對(duì)氣泡的振蕩運(yùn)動(dòng)影響很小，可以被忽略，但是其對(duì)泡壁處液體中氣體溶解度的影響并不能忽略[36]。Ilinskii[36]使用了熱傳導(dǎo)方程對(duì)已有的傳質(zhì)模型進(jìn)行了完善，精確描述了高濃度模型下整流擴(kuò)散的氣泡生長(zhǎng)。

熱傳導(dǎo)方程為[9]

其代表泡內(nèi)氣體的質(zhì)量。熱傳導(dǎo)方程變換為[36]

引入以下兩個(gè)關(guān)系式[36]

則可從公式（92）中得到關(guān)系式[36]

將式（94）～（97）代入方程（93）中得到如下方程為[36]

其中

得到與泡內(nèi)壓力有關(guān)的公式為[36]

7 歷史效應(yīng)

Fyrillas和Szeri[5]模型中假設(shè)氣泡表面擴(kuò)散邊界層比氣泡半徑小得多，并且其厚度處在動(dòng)態(tài)的變化中，這是一種極限情況。但是，現(xiàn)實(shí)情況中可能會(huì)遇到另一種極限情況，即擴(kuò)散邊界層大大超過(guò)氣泡半徑，如氣泡處于湍流中時(shí)[14]。

圖4 過(guò)飽和度的液體中的氣泡半徑隨時(shí)間的變化圖。（a）是沒(méi)有聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的情況，（b）是聲壓為205 dB，（c）是聲壓為215 dB。實(shí)線代表Ilinskii改進(jìn)后的模型的結(jié)果，虛線代表Fyrillas模型的結(jié)果[36]。

定義新變量[14]

則傳質(zhì)方程變?yōu)?/p>

初始及邊界條件為[14]

為了求解傳質(zhì)方程，將公式（102）進(jìn)行拉普拉斯變換，令

則得到

求解得

推得[14]

傳質(zhì)速率依舊通過(guò)擴(kuò)散通量得到，即

將式（109）進(jìn)行逆拉普拉斯變換并代入上式中即可得到傳質(zhì)速率的解為[14]

其中，方程右側(cè)最后一項(xiàng)就是歷史效應(yīng)相關(guān)的項(xiàng)，可由環(huán)境壓力、表面張力或其他因素變化引起。例如，當(dāng)氣泡內(nèi)部壓力隨環(huán)境壓力的變化而變化時(shí)，歷史效應(yīng)便會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)[14]。

8 液態(tài)金屬

液態(tài)金屬中的超聲波脫氣是鑄造過(guò)程中非常重要的方面[37]。其中氣泡的振蕩運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)超聲波脫氣效率產(chǎn)生影響。因此，需要對(duì)液態(tài)金屬中的氣泡整流擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行求解，預(yù)測(cè)超聲波脫氣中氣泡傳質(zhì)行為。

液態(tài)金屬的傳質(zhì)效應(yīng)不同于水，其氣體在熔融金屬中的溶解度由Sievert定律決定，即[38]

依照3.1節(jié)中使用的傳質(zhì)方程解法，得到不同于公式（59）的解，為[12]

得到其閾值條件為[12]

9 結(jié)論

本文對(duì)已有的氣泡泡壁傳質(zhì)效應(yīng)的模型進(jìn)行了詳細(xì)的綜述，從無(wú)聲場(chǎng)的自由振蕩到高強(qiáng)度的聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)振蕩，從牛頓流體到粘彈性流體甚至液態(tài)金屬，均對(duì)其涉及到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了詳細(xì)討論和闡述（見(jiàn)表1）。

表1 不同條件及假設(shè)下適用的傳質(zhì)效應(yīng)模型

本文介紹的傳質(zhì)效應(yīng)所涉及的典型模型，各自對(duì)應(yīng)不同的場(chǎng)景或假設(shè)。最基礎(chǔ)的Epstein[4]的模型只適用于無(wú)聲場(chǎng)的條件。在聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下，Eller[8]的模型適用于較低的聲場(chǎng)強(qiáng)度，而高聲場(chǎng)強(qiáng)度下須使用Fyrillas[5]的模型。Fyrillas[5]模型中假設(shè)氣泡表面擴(kuò)散邊界層比氣泡半徑小得多。當(dāng)擴(kuò)散邊界層達(dá)到另一個(gè)極限，即擴(kuò)散邊界層大于氣泡半徑時(shí)，應(yīng)采用Chu[14]的模型。另一個(gè)方面，當(dāng)液體中氣體濃度較高時(shí)，如達(dá)到300%的飽和度，則需使用Ilinskii[36]的模型并考慮泡壁處溫度場(chǎng)變化。以上的模型都是基于牛頓流體所建立。若研究對(duì)象為粘彈性流體時(shí)，應(yīng)采用Zhang和Li[13]的模型。研究液態(tài)金屬中的傳質(zhì)效應(yīng)則應(yīng)采用Zhang[12]的模型。

致謝

感謝國(guó)家自然科學(xué)基金（51976056；U1965106）資助項(xiàng)目，華北電力大學(xué)電站能量傳遞轉(zhuǎn)化與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室“能動(dòng)之光”研究計(jì)劃（NDZG202010）資助項(xiàng)目為本研究過(guò)程提供的資助。

［1］ Fu Q, Zhang F, Zhu R, et al. A systematic investigation on flow characteristics of impeller passage in a nuclear centrifugal pump under cavitation state［J］．Annals of Nuclear Energy, 2016, 97: 190-197.

［2］ 博金海, 王飛．小破口失水事故研究綜述［J］．核科學(xué)與工程, 1998(02): 81-88.

［3］ 張曉杰, 白博峰．球形燃料孔隙內(nèi)汽泡生長(zhǎng)與脫離［J］．核科學(xué)與工程, 2020, 40(05): 916-924.

［4］ Epstein P S, Plesset M S. On the stability of gas bubbles in liquid-gas solutions［J］．The Journal of Chemical Physics, 1950, 18(11): 1505-1509.

［5］ Fyrillas M M, Szeri A J. Dissolution or growth of soluble spherical oscillating bubbles［J］．Journal of Fluid Mechanics, 1994, 277: 381-407.

［6］ Blake F G. The onset of cavitation in liquids［J］．Tech. Memo., 1949 (12).

［7］ Hsieh D Y, Plesset M S. Theory of rectified diffusion of mass into gas bubbles［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1961, 33(2): 206-215.

［8］ Eller A, Flynn H G. Rectified diffusion during nonlinear pulsations of cavitation bubbles［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1965, 37(3): 493-503.

［9］ Plesset M S, Zwick S A. A nonsteady heat diffusion problem with spherical symmetry［J］．Journal of Applied Physics, 1952, 23(1): 95-98.

［10］ Crum L A, Hansen G M. Generalized equations for rectified diffusion［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1982, 72(5): 1586-1592.

［11］ Zhang Y, Li S. A general approach for rectified mass diffusion of gas bubbles in liquids under acoustic excitation［J］．Journal of heat transfer, 2014, 136(4).

［12］ Zhang Y. Rectified Diffusion of Gas Bubbles in Molten Metal during Ultrasonic Degassing［J］．Symmetry, 2019, 11(4): 536.

［13］ Zhang Y, Li S. Mass transfer during radial oscillations of gas bubbles in viscoelastic mediums under acoustic excitation［J］．International Journal of Heat and Mass Transfer, 2014, 69: 106-116.

［14］ Chu S, Prosperetti A. History effects on the gas exchange between a bubble and a liquid［J］．Physical review fluids, 2016, 1(6): 064202.

［15］ Pe?as-López P, Parrales M A, Rodríguez-Rodríguez J, et al. The history effect in bubble growth and dissolution. Part 1. Theory［J］．Journal of fluid mechanics, 2016, 800: 180-212.

［16］ Pe?as-López P, Soto á M, Parrales M A, et al. The history effect on bubble growth and dissolution. Part 2. Experiments and simulations of a spherical bubble attached to a horizontal flat plate［J］．Journal of fluid mechanics, 2017, 820: 479-510.

［17］ Prosperetti A. Vapor bubbles［J］．Annual review of fluid mechanics, 2017, 49: 221-248.

［18］ Hao Y, Zhang Y, Prosperetti A. Mechanics of gas-vapor bubbles［J］．Physical review fluids, 2017, 2(3): 034303.

［19］ Zhang Y, Guo Z, Du X. Wave propagation in liquids with oscillating vapor-gas bubbles［J］．Applied Thermal Engineering, 2018, 133: 483-492.

［20］ Zhang Y, Gao Y, Guo Z, et al. Effects of mass transfer on damping mechanisms of vapor bubbles oscillating in liquids［J］．Ultrasonics sonochemistry, 2018, 40: 120-127.

［21］ Dollet B, Marmottant P, Garbin V. Bubble dynamics in soft and biological matter［J］．Annual Review of Fluid Mechanics, 2019, 51: 331-355.

［22］ Soto á M, Pe?as P, Lajoinie G, et al. Ultrasound-enhanced mass transfer during single-bubble diffusive growth［J］．Physical Review Fluids, 2020, 5(6): 063605.

［23］ Pe?as P, Soto á M, Lohse D, et al. Ultrasound-enhanced mass transfer during the growth and dissolution of surface gas bubbles［J］．International Journal of Heat and Mass Transfer, 2021, 174: 121069.

［24］ Lyubimova T, Rybkin K, Fattalov O, et al. Experimental study of temporal dynamics of cavitation bubbles selectively attached to the solid surfaces of different hydrophobicity under the action of ultrasound［J］．Ultrasonics, 2021, 117: 106516.

［25］ Shen Y, Zhang L, Wu Y, et al. The role of the bubble–bubble interaction on radial pulsations of bubbles［J］．Ultrasonics Sonochemistry, 2021, 73: 105535.

［26］ Qin D, Zou Q, Lei S, et al. Cavitation Dynamics and Inertial Cavitation Threshold of Lipid Coated Microbubbles in Viscoelastic Media with Bubble–Bubble Interactions［J］．Micromachines, 2021, 12(9): 1125.

［27］ Crum L A. Acoustic cavitation series: part five rectified diffusion［J］．Ultrasonics, 1984, 22(5): 215-223.

［28］ Keller J B, Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1980, 68(2): 628-633.

［29］ Zhang Y. Analysis of radial oscillations of gas bubbles in Newtonian or viscoelastic mediums under acoustic excitation［R］．2012.

［30］ Crum L A. Measurements of the growth of air bubbles by rectified diffusion［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1980, 68(1): 203-211.

［31］ Crum L A, Mao Y. Acoustically enhanced bubble growth at low frequencies and its implications for human diver and marine mammal safety［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 1996, 99(5): 2898-2907.

［32］ Street J R. The rheology of phase growth in elastic liquids［J］．Transactions of the Society of Rheology, 1968, 12(1): 103-131.

［33］ Coussios C C, Roy R A. Applications of acoustics and cavitation to noninvasive therapy and drug delivery［J］．Annu. Rev. Fluid Mech., 2008, 40: 395-420.

［34］ Yang X, Church C C. A model for the dynamics of gas bubbles in soft tissue［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 2005, 118(6): 3595-3606.

［35］ Houser D S, Howard R, Ridgway S. Can diving-induced tissue nitrogen supersaturation increase the chance of acoustically driven bubble growth in marine mammals?［J］．Journal of Theoretical Biology, 2001, 213(2): 183-195.

［36］ Ilinskii Y A, Wilson P S, Hamilton M F. Bubble growth by rectified diffusion at high gas supersaturation levels［J］．The Journal of the Acoustical Society of America, 2008, 124(4): 1950-1955.

［37］ Eskin D, Alba-Baena N, Pabel T, et al. Ultrasonic degassing of aluminium alloys: basic studies and practical implementation［J］．Materials Science and Technology, 2015, 31(1): 79-84.

［38］ Gupta C K. Chemical Metallurgy: Priciples and Practice; Viley［R］．2003.

A Review on Mass Transfer Effects across Bubble Wall and Its Applications

SHEN Junwei1,2，ZHANG Yuning1,2,*，XIAN Haizhen1,2

（1. Key Laboratory of Power Station Energy Transfer Conversion and System (Ministry of Education), North China Electric Power University, Beijing 102206, China; 2.School of Energy, Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China）

Mass transfer effects across the bubble wall are physical process and related effects, which are employed to study the growth or dissolution of bubbles in the liquid through mass diffusion and convection. It is widely used in medical, acoustic and nuclear fields. The parameters affecting the mass transfer effects include the following given factors: the interface area of bubbles for mass transfer, the concentration of dissolved gas and the effect of surrounding flow field. This paper systematically summarizes the previous identified mass transfer effects together with related physical models, and provides a detailed mathematical and analytical solutions to the mass transfer equation, bubble wall motion equation and threshold value condition calculation involved in the mass transfer effects. In addition, the mass transfer effects in non-newtonian fluids and liquid metals are described and analyzed briefly together with the introduction of high concentration model.

Bubble dynamics; Mass transfer effects; Rectified diffusion; Threshold value

TL351.2

A

0258-0918（2021）06-1091-14

2021-11-02

國(guó)家自然科學(xué)基金（51976056；U1965106）資助項(xiàng)目，華北電力大學(xué)電站能量傳遞轉(zhuǎn)化與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室“能動(dòng)之光”研究計(jì)劃（NDZG202010）資助項(xiàng)目

沈鈞煒（1998—），浙江杭州人，博士研究生，現(xiàn)主要從事流體力學(xué)方面研究

張宇寧，E-mail：yuning.zhang@foxmail.com