融合仿真數(shù)據(jù)的小子樣圓概率誤差評估

寧小磊， 吳穎霞， 趙新

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心， 陜西 華陰 714200)

0 引言

在直升機(jī)機(jī)載空地導(dǎo)彈、簡易制導(dǎo)火箭等裝備鑒定和定型試驗(yàn)中，圓概率誤差(CEP)作為武器系統(tǒng)攻擊精度指標(biāo)[1]，歷來備受承試方重視。傳統(tǒng)CEP試驗(yàn)方法主要依據(jù)現(xiàn)場實(shí)彈飛行試驗(yàn)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行，但隨著裝備單子樣價格的日益昂貴，能夠獲取的現(xiàn)場實(shí)彈數(shù)據(jù)越來越少。若仍采用傳統(tǒng)試驗(yàn)評估方法，則存在CEP評估精度不高的問題。綜合應(yīng)用仿真手段融合評估是解決上述問題的有效途徑，但如何融合實(shí)彈/仿真數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)CEP的一體化評估，目前尚未有被各方廣泛認(rèn)同的操作方法[2-4]。

Bayes方法能夠充分利用先驗(yàn)信息和現(xiàn)場數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷[2]，因此可以用來融合實(shí)彈/仿真數(shù)據(jù)[3-5]，但該方法存在先驗(yàn)分布確定的問題[6-8]，當(dāng)先驗(yàn)信息失真時估計(jì)精度甚至下降。目前在試驗(yàn)評估領(lǐng)域使用先驗(yàn)分布的基本條件是仿真數(shù)據(jù)和實(shí)彈飛行數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)相容性檢驗(yàn)[9-11]。但在小子樣情況下，由于抽樣隨機(jī)性現(xiàn)場試驗(yàn)抽樣分布與總體分布很可能存在較大差異，這時即使仿真數(shù)據(jù)和實(shí)彈飛行數(shù)據(jù)相容性較好，但仍存在仿真先驗(yàn)分布和總體分布不是同一分布的風(fēng)險，造成“錯誤”的使用先驗(yàn)分布[7-8]。針對這一問題，文獻(xiàn)[10]采用加權(quán)自助抽樣技術(shù)構(gòu)造了先驗(yàn)分布；文獻(xiàn)[6]通過引入修正冪參數(shù)構(gòu)造帶冪函數(shù)的先驗(yàn)分布，以控制驗(yàn)前信息對驗(yàn)后估計(jì)的影響；文獻(xiàn)[8]通過加權(quán)計(jì)算仿真先驗(yàn)分布和無信息先驗(yàn)分布，構(gòu)造了混合先驗(yàn)分布；文獻(xiàn)[5]通過考慮先驗(yàn)信息可信度構(gòu)造了先驗(yàn)分布，并改進(jìn)了后驗(yàn)加權(quán)系數(shù)的計(jì)算方法。上述文獻(xiàn)針對仿真數(shù)據(jù)的融合評估，提出了一些科學(xué)構(gòu)造先驗(yàn)分布的改進(jìn)方法，但本質(zhì)上都是通過加入無信息先驗(yàn)分布減少仿真先驗(yàn)參加計(jì)算后驗(yàn)參數(shù)的權(quán)重，是一種相對保守的改進(jìn)策略，并未充分利用先驗(yàn)信息。

針對上述問題，本文提出一種基于“有效樣本”的實(shí)彈與仿真數(shù)據(jù)融合算法與小子樣CEP評估方法。使用重要性抽樣中抽樣效率的評估模型度量仿真先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差，確定考慮先驗(yàn)信息有偏差時的先驗(yàn)分布。融合評估時在仿真樣本權(quán)重的計(jì)算上同時依據(jù)仿真先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差和樣本量調(diào)整。當(dāng)仿真數(shù)據(jù)不好甚至仿真信息失真時，該方法能夠有效避免因仿真數(shù)據(jù)“淹沒”現(xiàn)場數(shù)據(jù)導(dǎo)致評估結(jié)果無效甚至錯誤的問題。

1 CEP計(jì)算及問題分析

1.1 計(jì)算CEP的基本方法

以瞄準(zhǔn)點(diǎn)或平均彈著點(diǎn)為中心，包含50%彈著點(diǎn)的半徑就是CEP，國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB102A-98彈藥系統(tǒng)術(shù)語和國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB6289-2008地地彈道式導(dǎo)彈命中精度評定方法分別定義了CEP，二者的區(qū)別在于是否考慮彈著點(diǎn)的系統(tǒng)誤差。通常系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小且可以修正，因此又近似地把瞄準(zhǔn)點(diǎn)作為平均彈著點(diǎn)。

(1)

當(dāng)σY=σZ=σ時，進(jìn)行適當(dāng)變換，可得

CEP=1.177 4σ.

(2)

為了計(jì)算CEP，總是估計(jì)出未知參數(shù)σ后，代入(2)式求取。

1.2 計(jì)算CEP的Bayes方法

則方差σ2的Bayes估計(jì)[2]如下：

1) 當(dāng)μ已知時，有

(3)

2) 當(dāng)μ未知時，有

(4)

根據(jù)上述描述，則CEP的Bayes估計(jì)為

CEPB=1.177 4B.

(5)

1.3 問題分析

(6)

圖1 仿真樣本權(quán)重Fig.1 Weights of simulation samples

圖2 CEP估計(jì)誤差Fig.2 Estimated error of CEP

2 基于重要性抽樣確定仿真先驗(yàn)分布

2.1 改進(jìn)思路

為了防止第1節(jié)所述問題發(fā)生，一個有效的解決方法是當(dāng)仿真先驗(yàn)分布與總體分布有偏差時，根據(jù)“偏差”修正仿真先驗(yàn)分布，適當(dāng)調(diào)整仿真樣本參與Bayes估計(jì)的權(quán)重，且當(dāng)兩個分布之間的偏差比較小時增大仿真樣本權(quán)重，當(dāng)兩個分布之間的偏差較大時減小仿真樣本權(quán)重，從而避免Bayes方法估計(jì)時仿真樣本權(quán)重不受“偏差”的影響，解決仿真數(shù)據(jù)“淹沒”實(shí)彈試驗(yàn)數(shù)據(jù)的問題。

為實(shí)現(xiàn)上述改進(jìn)，需要度量仿真先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差，同時還需要根據(jù)這種偏差確定改進(jìn)后的仿真先驗(yàn)分布，實(shí)現(xiàn)仿真樣本權(quán)重的合理調(diào)整。為此，本文提出運(yùn)用重要性抽樣方法中抽樣效率的評估模型度量仿真先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差，在此基礎(chǔ)上提出一種基于“有效樣本”的飛行/仿真數(shù)據(jù)融合算法與小子樣CEP評估方法，根據(jù)偏差調(diào)整仿真數(shù)據(jù)參與CEP評估的比例，融合評估時仿真樣本權(quán)重同時依據(jù)仿真先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差和樣本量調(diào)整。

2.2 基于重要性抽樣確定仿真先驗(yàn)分布的應(yīng)用分析

2.2.1 重要性抽樣方法

使用Monte Carlo方法求取如下積分：

(7)

式中：I為積分值；x為積分變量；D為積分區(qū)域；h(x)g(x)為被積函數(shù)。將被積函數(shù)拆分為h(x)和g(x)，則h(x)可視為統(tǒng)計(jì)量，g(·)為概率分布函數(shù)。假設(shè)從g(·)中抽取樣本x={xk,k=1,2,…,NMC}，其中NMC為抽樣樣本量，則

(8)

為了降低Monte Carlo抽樣方差，使計(jì)算資源集中在感興趣的重要區(qū)域抽樣，減少那些函數(shù)值幾乎為0對估計(jì)結(jié)果影響甚微的區(qū)域抽樣，提出重要性抽樣方法[12-13]，其主要思想是首先從一個容易抽樣的實(shí)驗(yàn)分布π(·)中產(chǎn)生獨(dú)立樣本，然后在估計(jì)中引入重要性權(quán)重來校正偏差，即

(9)

式中：π(·)為重要性分布函數(shù)。重要性抽樣的另一個好處是當(dāng)直接從分布函數(shù)g(·)中抽樣困難(例如抽樣消耗大、周期長、過程復(fù)雜等情景)甚至是抽樣不可能時，重要性抽樣方法給出一個可操作的實(shí)現(xiàn)(7)式計(jì)算的技巧。

(10)

(11)

式中：x為實(shí)際觀測數(shù)據(jù)樣本，一般為真實(shí)系統(tǒng)輸出，是真實(shí)值的函數(shù)或與真實(shí)值相關(guān)。文獻(xiàn)[13]對(11)式所示重要性權(quán)重的高斯分布計(jì)算模型合理性進(jìn)行了討論，并指出能夠反映“加權(quán)樣本與真值越接近，其權(quán)重越大，反之權(quán)重越小”這一規(guī)律的任何函數(shù)都可用來計(jì)算重要性權(quán)重，只是與(11)式的高斯分布函數(shù)相比，沒有高斯分布函數(shù)平滑[13]。

2.2.2 重要性抽樣方法的抽樣效率

(12)

式中：u為被估對象估計(jì)值；var(·)為方差運(yùn)算。

(13)

重要性抽樣統(tǒng)計(jì)量的方差與直接抽樣方法統(tǒng)計(jì)量的方差之差為

(14)

從(14)式中可見，要求重要性抽樣統(tǒng)計(jì)量的方差小于直接抽樣方法統(tǒng)計(jì)量的方差，就需要w(x)=g(x)/π(x)<1，對重要性分布函數(shù)的選擇提出了理論要求，根據(jù)該要求文獻(xiàn)[12-13,15-16]給出了最優(yōu)的重要性分布函數(shù)是后驗(yàn)分布函數(shù)g(·)，但由于真實(shí)后驗(yàn)分布函數(shù)的形狀事前不知道，這個最優(yōu)的重要性抽樣分布只是理論上的。評價抽樣方法是有效的，一般可由抽樣方法得到的估計(jì)量的方差大小進(jìn)行評定。文獻(xiàn)[12,15-16]提出了一種評價重要性抽樣的有效方法和衡量重要性分布函數(shù)性能的基準(zhǔn)量，定義重要性分布函數(shù)的相對數(shù)值效率(RNE)[16]為

(15)

2.2.3 重要性抽樣在仿真先驗(yàn)分布確定中的應(yīng)用

在導(dǎo)彈等高價值類裝備鑒定/定型試驗(yàn)中，破壞性實(shí)彈飛行試驗(yàn)消耗很大,一般是抽樣困難事件或小樣本抽樣。模擬仿真實(shí)驗(yàn)由于其經(jīng)濟(jì)性、無破壞性等優(yōu)勢，抽樣容易。假設(shè)X為實(shí)彈飛行試驗(yàn)樣本，g(·)為真實(shí)分布，可視X為從g(·)抽取的樣本，但從g(·)中抽樣是困難的高價值事件；X0為仿真實(shí)驗(yàn)樣本，π(·)為仿真實(shí)驗(yàn)分布，可視π(·)為重要性分布函數(shù)。根據(jù)裝備鑒定/定型試驗(yàn)中兩種試驗(yàn)手段的特點(diǎn)，可以利用重要性抽樣思想，從容易抽樣的重要性分布π(·)中抽取大量合適樣本，然后在估計(jì)中引入實(shí)彈飛行樣本X和重要性權(quán)重w來校正偏差，從而達(dá)到提高小樣本實(shí)驗(yàn)估計(jì)精度的目的。

重要性抽樣方法在仿真先驗(yàn)分布確定中的應(yīng)用過程具體如下：抽取仿真樣本X0，用實(shí)彈飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)X修正仿真樣本估計(jì)權(quán)重，具體步驟為：

1)計(jì)算仿真樣本權(quán)重。估計(jì)均值μ時，重要性權(quán)重w為

(16)

估計(jì)方差σ2時，由于σ2=EX2-(EX)2，把X2作為樣本觀測信息，則重要性權(quán)重w為

(17)

2)按(15)式計(jì)算仿真樣本權(quán)重的方差，并計(jì)算RNE.

3)計(jì)算等效樣本KES，公式如下：

(18)

式中：round(·)為取整函數(shù)。(18)式可解釋為KES個權(quán)重樣本相當(dāng)于從目標(biāo)函數(shù)(總體分布)中抽取KES個獨(dú)立同分布樣本。KES稱為有效樣本或等效樣本，就是用一個“虛擬”的抽樣樣本量表征先驗(yàn)分布精度，或者說是先驗(yàn)分布與總體分布之間的偏差。其工程意義可以解釋為從仿真先驗(yàn)分布中抽樣，并基于仿真樣本進(jìn)行評估，其評估誤差相當(dāng)于基于KES個實(shí)彈試驗(yàn)樣本量的評估誤差。

KES具備以下基本性質(zhì)：

1) 當(dāng)仿真分布與總體分布相同時，KES=M.

2) 當(dāng)仿真分布與總體分布有偏差時，KES

3) 0≤KES≤M.

當(dāng)仿真實(shí)驗(yàn)分布與真實(shí)分布相同時，仿真樣本與飛行樣本為獨(dú)立同分布抽樣，樣本權(quán)重相同。此時w(X)=1，var(w(X))=0，有KES=M，相當(dāng)于M個實(shí)彈樣本的估計(jì)精度。

2.3 基于重要性抽樣確定的仿真先驗(yàn)分布

使用重要性抽樣方法抽樣效率模型度量仿真先驗(yàn)分布與總體分布偏差L，將仿真實(shí)驗(yàn)樣本量M適當(dāng)?shù)氐刃椤捌叫小钡膶?shí)彈飛行試驗(yàn)樣本量KES，并由此確定面向試驗(yàn)評估的仿真先驗(yàn)分布如下：

IG(α′0,β0)，

(19)

3 融合仿真數(shù)據(jù)的小子樣CEP評估步驟

小子樣CEP評估步驟具體總結(jié)如下：

步驟2確定仿真先驗(yàn)分布。

通常系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小且可以修正，因此可以近似地把瞄準(zhǔn)點(diǎn)作為平均彈著點(diǎn)，計(jì)算時認(rèn)為μ=0，CEP評估時僅用試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)方差σ2，其共軛先驗(yàn)分布形式如下：

IG(α′0,β0).

(20)

(20)式中超參數(shù)α′0的計(jì)算過程如下：

Forj=1：N

fori=1：M

(21)

end

(22)

end

(23)

則有

(24)

根據(jù)(19)式、(24)式，得到先驗(yàn)分布如下：

(25)

步驟3根據(jù)(3)式，B的Bayes估計(jì)為

(26)

步驟4根據(jù)(4)式，CEP的Bayes估計(jì)為

(27)

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 場景描述

采用絕對誤差絕對值ECEP、絕對誤差方差及均方誤差(MSE)等指標(biāo)，定量對比本文算法和傳統(tǒng)方法性能，絕對誤差和MSE評價指標(biāo)計(jì)算如下：

(28)

(29)

4.2 仿真結(jié)果與分析

圖3給出了10次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)在不同精度(用dσ表示) 仿真先驗(yàn)條件下CEP估計(jì)的絕對誤差絕對值，模擬計(jì)算中現(xiàn)場飛行試驗(yàn)樣本量N=10. 從圖3中可見，本文方法相比基于飛行樣本的估計(jì)方法、基于仿真樣本的估計(jì)方法、Bayes方法在不同精度仿真先驗(yàn)條件下，絕對誤差均較小，尤其在仿真先驗(yàn)精度較差的情況下，本文方法的估計(jì)精度明顯好于Bayes方法，如圖3(c)～圖3(g)所示。

圖3 不同方法求解CEP絕對誤差絕對值曲線Fig.3 Estimated errors of CEP of different methods after 10 Monte Carlo tests

圖4給出了10次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)使用不同方法計(jì)算CEP的絕對誤差和均方誤差曲線。由圖4可見：基于飛行樣本的估計(jì)方法精度不受仿真實(shí)驗(yàn)影響；隨著仿真實(shí)驗(yàn)精度變差(標(biāo)準(zhǔn)差誤差變大)，本文方法、基于仿真樣本的估計(jì)方法、Bayes方法估計(jì)精度均有所下降，但本文方法的估計(jì)精度最高，其次是Bayes方法，尤其當(dāng)仿真先驗(yàn)信息失真時，本文方法仍能夠給出保持一定精度的估計(jì)結(jié)果。由此可見，本文方法在仿真先驗(yàn)信息失真時，估計(jì)性能比傳統(tǒng)方法明顯有優(yōu)勢。同時需要指出，在裝備試驗(yàn)與評估領(lǐng)域，提高仿真模型與仿真實(shí)驗(yàn)精度以及有效的試驗(yàn)數(shù)據(jù)融合算法都是提高基于實(shí)彈/仿真數(shù)據(jù)融合綜合估計(jì)CEP的有效方法。

圖4 10次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)估計(jì)誤差曲線Fig.4 Absolute value errors and MSEs of 10 Monte Carlo simulation experiments

為了更充分對比算法性能，進(jìn)行10 000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中模擬現(xiàn)場抽樣的樣本量N=20. 圖5給出了dσ=0.1 m時不同方法的估計(jì)誤差對比。圖6給出了dσ=0.3 m時不同方法的估計(jì)誤差對比。圖7給出了dσ=0.5 m時不同方法的估計(jì)誤差對比。以上場景分別模擬計(jì)算不同精度仿真先驗(yàn)信息情況下不同估計(jì)方法的估計(jì)精度。為了使結(jié)果具有實(shí)際意義，評價計(jì)算時分別以CEP真值和從總體分布抽樣10 000次的大樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為對比依據(jù)。圖5～圖7中1代表絕對誤差絕對值平均值，2代表絕對誤差絕對值方差，3代表MSE. 由圖5～圖7可見：隨著仿真先驗(yàn)分布與總體分布距離偏差變大，基于仿真樣本的估計(jì)、Bayes估計(jì)、本文方法的估計(jì)誤差均有所增大，但本文方法相比基于仿真樣本的估計(jì)、Bayes估計(jì)方法估計(jì)精度下降速率較慢，表明本文方法在仿真先驗(yàn)信息失真時仍能保持一定的精度，估計(jì)魯棒性較好；在dσ=0.1 m時，本文方法10 000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)絕對誤差的均值、MSE最小，表明本文方法估計(jì)精度最高。

圖5 dσ=0.1 m估計(jì)誤差曲線對比圖Fig.5 Comparison chart of estimated error curves for dσ=0.1 m

圖6 dσ=0.3 m估計(jì)誤差曲線對比圖Fig.6 Comparison chart of estimated error curves for dσ=0.3 m

圖7 dσ=0.5 m估計(jì)誤差曲線對比圖Fig.7 Comparison chart of estimated error curves for dσ=0.5 m

為了檢驗(yàn)現(xiàn)場抽樣樣本量對試驗(yàn)評估的影響效應(yīng)，在dσ=0.1 m條件下進(jìn)行1 000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，圖8給出了不同樣本量下的估計(jì)誤差。從圖8中可見：隨著飛行樣本量的增大，不同估計(jì)方法的估計(jì)絕對誤差、絕對誤差方差、MSE均有所減小，且增大到一定數(shù)量時各種方法的估計(jì)精度基本一致；在小子樣情況下，本文方法的估計(jì)絕對誤差、

圖8 dσ=0.1 m時飛行試驗(yàn)樣本量與估計(jì)誤差曲線示意圖Fig.8 Comparison chart of estimated error curves in the condition of different flying samples for dσ=0.1 m

MSE均較小，表明本文方法在小子樣估計(jì)精度上的優(yōu)劣性；小子樣情況下，基于仿真樣本的估計(jì)、Bayes估計(jì)方法絕對誤差方差最小，這是因?yàn)榉抡鎸?shí)驗(yàn)的經(jīng)濟(jì)性優(yōu)勢可實(shí)現(xiàn)大樣本抽樣，其大樣本估計(jì)穩(wěn)定性較好，本文方法絕對誤差方差次之，相比基于仿真樣本的估計(jì)、Bayes估計(jì)方法稍大，但仍比飛行試驗(yàn)估計(jì)結(jié)果小，隨著飛行樣本量的增大，各種方法絕對誤差方差逐漸趨于一致。

表1 不同方法確定的先驗(yàn)分布超參數(shù)

表2 不同方法的估計(jì)誤差對比

5 應(yīng)用案例

案例1[8]在武器落點(diǎn)精度試驗(yàn)中，6個實(shí)際縱向落點(diǎn)偏差樣本為：X=[0.77 m，5.60 m，14.64 m，-9.79 m，17.6 m，-12.1 m]；補(bǔ)充樣本為X0=[-11.32 m，-1.65 m， 12.97 m，-27.91 m，-10.88 m，8.32 m，-14.95 m，3.61 m，-5.03 m， 0.28 m]. 采用各種方法得到的估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法給出的估計(jì)結(jié)果比較

案例2武器落點(diǎn)位置服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，獲得飛行試驗(yàn)子樣和折合后補(bǔ)充的樣本分別為X=[13 000.646 5 km 13 000.385 0 km 12 999.273 9 km 13 001.614 4 km 13 001.404 9 km]；X0=[13 002.267 8 km 13 002.575 1 km 12 999.882 1 km 12 999.410 7 km 12 999.346 6 km 13 001.628 5 km 12 997.937 0 km 13 001.209 0 km 13 000.838 0 km 13 000.162 7 km 13 000.324 5 km 12 999.768 4 km 13 000.060 7 km 12 999.316 3 km 13 001.042 7 km 12 999.096 7 km 12 998.676 4 km 12 999.853 4 km 13 000.215 4 km 13 000.281 9 km]。表4給出了直接利用5個飛行試驗(yàn)樣本計(jì)算、使用補(bǔ)充試驗(yàn)樣本計(jì)算、經(jīng)典Bayes估計(jì)、本文方法和文獻(xiàn)[5]方法(物理可信度p=0.91)的估計(jì)結(jié)果對比。

表4 不同方法給出的估計(jì)結(jié)果比較

6 結(jié)論

本文針對仿真數(shù)據(jù)應(yīng)用于CEP評估時的問題，提出一種基于“有效樣本”的飛行/仿真數(shù)據(jù)融合算法與小子樣CEP評估方法。根據(jù)偏差L調(diào)整仿真樣本權(quán)重，當(dāng)偏差L小時仿真樣本權(quán)重大，當(dāng)偏差L大時仿真樣本權(quán)重小，從而有效解決了仿真數(shù)據(jù)“淹沒”現(xiàn)場實(shí)彈數(shù)據(jù)的問題和仿真先驗(yàn)信息失真時估計(jì)效果較差的難題。實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用案例表明，在估計(jì)精度和穩(wěn)定性方面，本文方法均具有較好的性能。

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