基于交互式多模型無跡卡爾曼濾波的懸架系統(tǒng)狀態(tài)估計

王振峰， 李飛， 王新宇， 楊建森， 秦也辰

(1.中國汽車技術(shù)研究中心有限公司 汽車工程研究院， 天津 300300； 2.中汽研(天津)汽車工程研究院有限公司， 天津 300300；3.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院， 北京 100081)

0 引言

車輛電動化、智能化、網(wǎng)聯(lián)化以及共享化是汽車工業(yè)發(fā)展的必然趨勢，自動駕駛車輛底盤性能的提升仍是當(dāng)今國際學(xué)術(shù)界與工業(yè)界研究的熱點與難點問題[1]?？煽貞壹芟到y(tǒng)能夠根據(jù)車輛系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)，通過對應(yīng)控制器優(yōu)化算法，間接改變懸架部件輸出力特性，進(jìn)而達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng)振動抑制的目的。在此過程中，合理高效地獲取車輛懸架系統(tǒng)實時狀態(tài)，為可控懸架提供準(zhǔn)確的狀態(tài)輸入顯得尤為重要[2]。由于部分狀態(tài)難以直接測量，基于狀態(tài)觀測器算法進(jìn)行的車輛懸架系統(tǒng)實時狀態(tài)估計得到了廣泛研究[3]?？柭鼮V波(KF)方法是目前應(yīng)用最為廣泛的狀態(tài)觀測算法，但傳統(tǒng)KF算法性能高度依賴于系統(tǒng)模型準(zhǔn)確度，且需滿足過程與測量噪聲均為高斯白噪聲的假設(shè)才能夠保證觀測最優(yōu)性[4]。由于懸架系統(tǒng)時變參數(shù)與隨機(jī)路面激勵復(fù)合輸入的影響，使得傳統(tǒng)KF方法難以滿足復(fù)雜多變行駛條件下的懸架狀態(tài)準(zhǔn)確估計。

在復(fù)雜系統(tǒng)建模與非線性控制方面，人工智能(AI)算法在受控對象控制精度及工作效率方面較傳統(tǒng)控制算法具有突出的優(yōu)勢，因而在工業(yè)界得到了越來越多的應(yīng)用[5]。交互式多模型卡爾曼濾波(IMMKF)方法具有計算高效、運(yùn)行低廉的特點，所以作為典型的AI方法被廣泛使用[6-9]。文獻(xiàn)[10]中設(shè)計了一種新型交互多模型擴(kuò)展卡爾曼濾波算法以改善系統(tǒng)識別精度。仿真數(shù)據(jù)表明，該方法相較傳統(tǒng)模型切換方法具有更高的識別精度。文獻(xiàn)[11]中利用交互多模型濾波方法對路面附著系數(shù)與側(cè)向加速度進(jìn)行了實時估計，Matlab&Carsim聯(lián)合仿真結(jié)果表明所設(shè)計的觀測器具有較高的狀態(tài)識別精度。然而，以上文獻(xiàn)中的系統(tǒng)模型均基于參數(shù)時不變假設(shè)建立。

時變系統(tǒng)參數(shù)會導(dǎo)致基于模型的狀態(tài)估計算法識別誤差劇增[12]。為提升時變參數(shù)下的系統(tǒng)狀態(tài)估計準(zhǔn)確率，文獻(xiàn)[13]采用無跡卡爾曼濾波(UKF)方法識別車輛簧載質(zhì)量參數(shù)，并通過仿真方法驗證其有效性。在文獻(xiàn)[14]中利用自適應(yīng)卡爾曼濾波(AKF)與擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)相結(jié)合的非線性狀態(tài)觀測算法，通過仿真與試驗方法對比驗證了車輛簧載質(zhì)量有效估計。然而，以上文獻(xiàn)在設(shè)計觀測器過程中未充分考慮系統(tǒng)參數(shù)或模式之間的轉(zhuǎn)移或切換。

為有效解決上述問題，進(jìn)一步提升具有參數(shù)時變以及非線性特性的懸架系統(tǒng)的狀態(tài)觀測精度，本文提出了基于交互式多模型無跡卡爾曼濾波(IMMUKF)算法。結(jié)合基于馬爾可夫鏈的蒙特卡羅(MCMC)方法與隨機(jī)穩(wěn)定判定理論，校驗所設(shè)計非線性觀測器的估計效果；通過與傳統(tǒng)UKF方法的對比，驗證了所設(shè)計觀測器的精確性與高效性。

1 路面模型

由于路面具有平方可積的性質(zhì)且路面高程為隨機(jī)過程，其特性可以用功率譜密度(PSD)函數(shù)的形式描述[3]?；趪H標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO-8608定義可知，利用PSD函數(shù)可有效表征路面不平度特征[15]，具體為

(1)

為有效避免路面不平度低頻誤差，此處基于有理數(shù)方法進(jìn)行路面PSD描述[16]：

(2)

式中：ε為道路特性參數(shù)；η2為路面不平度參數(shù)?；谧钚《朔蔷€性參數(shù)辨識方法， (2)式中參數(shù)識別結(jié)果如表1所示[16]。

表1 路面不平度識別參數(shù)

利用以上識別參數(shù)可較好實現(xiàn)不同等級路面不平度函數(shù)的模擬，更多信息可參考文獻(xiàn)[16]。

2 懸架系統(tǒng)建模

圖1 半主動懸架模型Fig.1 Semi-active suspension model

半主動懸架垂向運(yùn)動線性化模型，具體如圖1所示，且對應(yīng)的動力學(xué)方程為

(3)

表2 懸架系統(tǒng)模型參數(shù)

為進(jìn)一步驗證線性化懸架模型的識別精度，此處選取表2中簧載質(zhì)量410 kg與阻尼參數(shù)2 000 N·s/m對比分析了ISO-E級壞路面激勵工況下非線性與線性化懸架模型系統(tǒng)響應(yīng)誤差，其均方根值(RMS)結(jié)果如表3所示。由表3可知，ISO-E級路面激勵工況下非線性與線性化懸架系統(tǒng)響應(yīng)誤差RMS不超過12%。

表3 ISO-E級路面激勵非線性與線性化懸架系統(tǒng)模型響應(yīng)RMS對比

在下面研究中，將基于上述線性化模型進(jìn)行狀態(tài)估計研究。

3 MCMC狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的構(gòu)建

懸架系統(tǒng)狀態(tài)觀測精度易受模型參數(shù)的影響[18]，為求解IMMUKF算法中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)而獲取更高的系統(tǒng)識別精度，此處引入馬爾可夫鏈自適應(yīng)采樣(AS)的概念。

首先，利用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生并映射隨機(jī)變量；通過生成的隨機(jī)數(shù)創(chuàng)建向量ι～φ(ι|θk)，其中：ι為Zn的元素單元，Zn屬于有序數(shù)集，且n=1，2，…為正自然數(shù)；φ是馬爾可夫鏈映射函數(shù)；θk是馬爾可夫鏈，且k=1，2，…為正自然數(shù)。對應(yīng)的ι～φ(ι|θk)可定義如下可逆轉(zhuǎn)移：即在任意Znθ子空間中建立馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣，對于任意密度ι～φ(ι|θk)，其階躍傳遞過程如下:

(4)

3.1 Metropolis-Hastings采樣

一般的φ(θ,ι)∶=φ(ι|θk)φ(θ)可設(shè)計為θk～φ(·)與(θk,ι)～φ(·)的組合，φ(·)為θk的密度函數(shù)，且在t時刻以接收率α(θk,ι)的速度獲取采樣因子，其中不同修正值φ(·)可得到不變的采樣密度[19]。

(5)

式中：uu為區(qū)間[0，1]的選取量。

利用馬爾可夫鏈可定義：

(6)

式中：φ(θk,ι)與其邊界值φ(θk)為常值；|JT(θk,ι)|是階躍傳遞矩陣T核心因子的絕對值。

具體證明如下：

假設(shè)θk～φ(·)?θk+1～φ(·)且不包含反向識別，可得簡化形式：

若α(x)≥u且y=x，則y=T(x).

(7)

對于任何限制或最小值y∈dy，z∈dz，其可表示為z∈dz=T-1(dy)，且當(dāng)φ(z)和φ(y)正定時：

(8)

式中：P為矩陣函數(shù)；dz是自然數(shù)集合且為幾何測量；對應(yīng)的反函數(shù)定義為

(9)

則α∶=φ(y)/φ(z)|JT(z)|=(φ(y)/φ(z)|JT(y)|)-1.

利用上述理論，可有效驗證φ(y)=0工況下(8)式的有效性，即y～φ(θ,ι)?θk+1～φ(θ)。

3.2 自適應(yīng)采樣

由(6)式可知，矩陣T(θk,ι)可寫成：

θk+1=θk+ι′e，κ=-ι′，且ι′,κ，e∈Zn，

(10)

式中：ι′代表φ(·)函數(shù)的條件密度；e為方向函數(shù)。則對于隨機(jī)方向e可表示為

(11)

具體證明如下：

若定義|JT|=1,?e∈Znθ，則對應(yīng)的接受率可表示為

(12)

利用識別函數(shù)，可對上述T(θk,ι′)函數(shù)進(jìn)行可逆驗證，且在φ(·)函數(shù)具有較強(qiáng)多維交互關(guān)聯(lián)工況下，AS較Gibbs采樣可有效改善采樣的接受率[19-20]。

3.3 MCMC隨機(jī)穩(wěn)定性分析

此部分主要說明在不確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移率(TR)工況下確定系統(tǒng)兼容性的穩(wěn)定性判據(jù)，具體描述如下[20-21]。

首先，在懸架簧載質(zhì)量不確定工況下對應(yīng)系統(tǒng)方程(3)式的增廣狀態(tài)空間表達(dá)式為

(13)

且

此時，假設(shè)當(dāng)正自然數(shù)λ>0與μ>1，且d是矩陣系數(shù)時，若存在任意的非奇異矩陣Pa,i及正定對稱矩陣Qa,i>0，Za,i>0,Va,i>0,Wa,i>0,Ta,i>0,Ua,i>0與合理維度Mα,i, 對任意可逆矩陣E，系統(tǒng)(13)式的不確定TR隨機(jī)兼容設(shè)置條件為

(14)

(15)

(16)

若i∈Ia,m,?l∈Ia,m,Ia,m∈{ka,1,ka,2,…,ka,m}，且m=1,2,…為自然數(shù)，則

(17)

Qa,i-Qa,l≥0.

(18)

(19)

(20)

且

ETPa,i≤μETPβ,j,Qa,i≤μQβ,j,Qa≤μQβ,
Za≤μZβ,?a,β∈S1,i1,j1∈S2,a≠β,

(21)

式中：β是矩陣因子系數(shù)；j為自然數(shù)，且S1與S2均為自然數(shù)集。

同時，平均計算間隔時間Ta需滿足：

(22)

且

4 UKF與IMMUKF算法分析

此部分的目的主要是精確獲取不同路面激勵工況下懸架簧載質(zhì)量及其瞬態(tài)運(yùn)動狀態(tài)，對應(yīng)具體的估計算法框架如圖2所示。

圖2 懸架系統(tǒng)IMM-UKF算法狀態(tài)估計框圖Fig.2 Block diagram of state estimation of suspension system using IMM-UKF algorithm

4.1 簧載質(zhì)量UKF估計算法

基于文獻(xiàn)[12]的描述，利用UKF算法可對懸架系統(tǒng)簧載質(zhì)量進(jìn)行有效估計：

(23)

(24)

圖3 懸架系統(tǒng)簧載質(zhì)量UKF算法估計框圖Fig.3 Block diagram of sprung mass estimation of suspension system using UKF algorithm

4.2 懸架IMMUKF估計算法

利用懸架動力學(xué)與控制理論，可得線性系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為

(25)

式中：x(k)∈Rn、z(k)∈Rp分別是離散時間狀態(tài)與測量變量；m(k)是離散狀態(tài)，m(k)∈{1，2，…，r}；Am，k和Cm，k為系統(tǒng)矩陣；過程噪聲wm，k(k)和測量噪聲vm，k(k)分別近似為相互獨立均值為0的高斯序列。同時m(1),m(2),…,m(k)是馬爾可夫鏈模式轉(zhuǎn)換矩陣的矩陣因子且可用第3節(jié)中方法求解。

基于上述分析，則IMMUKF算法具體描述如下。

步驟1模型q定義交互輸入。

模型q的預(yù)測處理:

(26)

式中：p、q為正自然數(shù)；Ppq為模型p到模型q的模型轉(zhuǎn)移概率；μq(k-1)是步驟t=k-1時的模型轉(zhuǎn)移概率；r是正自然數(shù)。

模型p對模型q的混合概率:

(27)

模型q的混合狀態(tài)估計：

oq(k-1|k-1)=

(28)

模型q的混合協(xié)方差估計；

(29)

步驟2更新模型q.

由時刻k-1到k的過渡狀態(tài)預(yù)測為

(30)

時刻k-1到k的過渡協(xié)方差預(yù)測為

(31)

計算UKF在k時刻的增益：

(32)

UKF濾波狀態(tài)計算：

q(k|k)=q(k|k-1)+
Kq(k)[z(k)-zq(k|k-1)]，

(33)

式中：z為k時刻輸出狀態(tài)計算變量；zq為k-1時刻輸出狀態(tài)測量變量。

UKF濾波器協(xié)方差：

(34)

步驟3更新模型q的概率。

模型q可表示為

(35)

模型q亦可表示為

(36)

步驟4計算交互模型q.

基于以上分析，整體估計狀態(tài)可由以下加權(quán)因子計算：

(37)

總體協(xié)方差估計：

(k|k)][q(k|k)-(k|k)]T}.

(38)

綜合以上分析，IMMUKF算法的求解流程如圖4所示。

圖4 IMMUKF算法狀態(tài)估計框圖Fig.4 Block diagram of state estimation using IMM-UKF algorithm

5 仿真與驗證

5.1 仿真設(shè)置概述

此部分主要驗證IMMUKF算法對懸架系統(tǒng)狀態(tài)的識別準(zhǔn)確性，以下仿真中，行駛條件設(shè)定為ISO-C/E及車速60 km/h.

通過研究m=590 kg附加簧載工況下，結(jié)合IMMUKF算法與UKF算法，計算不同觀測器算法的均方根(RMS)誤差值如表4所示，且對應(yīng)的懸架系統(tǒng)狀態(tài)估計仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 ISO-C級激勵工況下懸架系統(tǒng)UKF算法和IMMUKF算法狀態(tài)估計Fig.5 Results of state estimation of suspension system using UKF and IMM-UKF algorithms under ISO-C road excitation

圖6 ISO-E級激勵工況下懸架系統(tǒng)UKF算法和IMMUKF算法狀態(tài)估計Fig.6 Results of state estimation of suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-E excitation

表4 ISO-C/E級激勵工況下不同估計模式計算的RMS數(shù)值誤差(車速60 km/h，m=590 kg)

5.2 仿真驗證

通過計算可知，UKF算法與IMMUKF算法的懸架系統(tǒng)狀態(tài)估計絕對誤差值如圖7和圖8所示。由圖7和圖8仿真結(jié)果表明，非簧載速度與簧載質(zhì)量速度的狀態(tài)估計精度低于其他狀態(tài)觀測精度。由表4可知：IMMUKF算法的狀態(tài)估計RMS誤差數(shù)值不超過7.5%；在不同路面輸入工況下，相應(yīng)的懸架動行程與簧載質(zhì)量速度的RMS誤差值均小于0.3%。

圖7 ISO-C級激勵工況下懸架系統(tǒng)UKF算法和IMMUKF算法狀態(tài)估計絕對誤差結(jié)果Fig.7 Results of absolute error state estimation of suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-C excitation

圖8 ISO-E級激勵工況下懸架系統(tǒng)UKF算法和IMMUKF算法狀態(tài)估計絕對誤差結(jié)果Fig.8 Results of absolute error state estimation of the suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-E excitation

為進(jìn)一步說明計算運(yùn)行時間對所設(shè)計狀態(tài)估計算法的影響，此處利用Matlab仿真環(huán)境(電腦配置參數(shù)：i7@2.9 GHz+12 GB內(nèi)存運(yùn)行環(huán)境)分析了不同離散計算時間步對IMMUKF算法運(yùn)算周期的影響，具體如表5所示。

表5 不同離散計算時間步的IMMUKF算法運(yùn)算時間

由表5可知，隨著運(yùn)算離散時間步長的增加，IMMUKF算法計算時間呈逐漸減小趨勢，且運(yùn)算離散時間步長增加對IMMUKF算法整體運(yùn)算時間影響不明顯。

基于以上分析及不同的仿真結(jié)果相比可知，不同路面激勵工況下IMMUKF算法可獲得更高的非線性懸架狀態(tài)估計精度。

5.3 試驗驗證

為進(jìn)一步驗證所設(shè)計IMMUKF算法的有效性，此處搭建了車輛1/4懸架狀態(tài)估計試驗臺架，具體如圖9所示。圖9中：路面激勵由MTS液壓伺服系統(tǒng)模擬施加在車輪上；質(zhì)量塊和車身框架組成簧上質(zhì)量，且簧上質(zhì)量可依據(jù)實際需求增減質(zhì)量塊數(shù)量來協(xié)調(diào)；對應(yīng)的路面激勵模擬設(shè)備參數(shù)如表6所示。

圖9 車輛1/4懸架狀態(tài)估計試驗臺架Fig.9 State estimation of a quarter vehicle suspension test rig

表6 道路模擬臺架參數(shù)

利用上述臺架可獲取ISO-C路面(車速40 km/h)激勵下半主動懸架系統(tǒng)簧上/簧下加速度、輪胎變形等信號，依據(jù)5.2節(jié)仿真部分的參數(shù)及變量定義，可得依據(jù)試驗數(shù)據(jù)獲取半主動懸架動行程、輪胎變形識別狀態(tài)的RMS誤差值，如表7所示。

表7 ISO-C級路面激勵不同估計模式計算的RMS數(shù)值誤差(車速40 km/h，m=590 kg)

由表7可知，ISO-C路面仿真與臺架參考數(shù)據(jù)識別的懸架系統(tǒng)狀態(tài)RMS誤差數(shù)值一致性較好，且均未超過5%。此處需要說明的是，由于輪胎自身及臺架結(jié)構(gòu)非線性特性，將會影響不同輸入工況下對應(yīng)的半主動懸架系統(tǒng)狀態(tài)識別精度。

綜合以上仿真與試驗驗證結(jié)果可知，所設(shè)計的IMMUKF算法可較好實現(xiàn)對半主動懸架系統(tǒng)實時狀態(tài)的有效估計。

6 結(jié)論

本文提出了基于懸架系統(tǒng)模型的IMMUKF非線性狀態(tài)觀測識別算法，驗證了不同路面激勵工況下UKF&IMMUKF算法識別系統(tǒng)狀態(tài)的有效性，進(jìn)而為懸架系統(tǒng)控制提供了更加精確的狀態(tài)輸入。得到主要結(jié)論如下：

1) 利用MCMC方法能對懸架簧載質(zhì)量交互變化工況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行實時求解。

2) 設(shè)計基于MCMC方法的IMMUKF算法可對懸架系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行有效識別。

3) 在ISO-C/E級路面激勵工況下，結(jié)合傳統(tǒng)UKF算法，有效驗證了IMMUKF算法的正確性，且系統(tǒng)仿真估計RMS數(shù)值誤差不超過8%。

同時，IMMUKF算法后續(xù)將應(yīng)用于實際路面激勵工況下半主動懸架系統(tǒng)控制算法的驗證，以此達(dá)到優(yōu)化車輛懸架系統(tǒng)性能的目的。

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