基于運(yùn)動(dòng)控制的加減速階段減振方法研究

夏飛揚(yáng)， 樊可清

(五邑大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 江門 529020)

運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的減振一直都是運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究的關(guān)鍵技術(shù)，因?yàn)橄到y(tǒng)的振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的加工效率和精度。如CNC系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)影響系統(tǒng)的加工精度和機(jī)器的壽命，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性與其系統(tǒng)振動(dòng)控制密切相關(guān)，機(jī)械手的振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響其定位精度和工作效率，吊車的擺動(dòng)不僅會(huì)影響工作效率甚至還會(huì)影響操作人員的生命安全等[1-3]?？梢娺\(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的振動(dòng)控制問題已成為運(yùn)動(dòng)控制產(chǎn)業(yè)能否廣泛和進(jìn)一步應(yīng)用的關(guān)鍵。

文獻(xiàn)[4]～文獻(xiàn)[7]通過應(yīng)用輸入整形的方法來抑制機(jī)器人柔性臂的殘余振動(dòng)，雖然在一定程度上可以抑制振動(dòng)，但增加了系統(tǒng)的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間。文獻(xiàn)[8]～文獻(xiàn)[10]提出了減少加減速階段計(jì)算量的方法，通過減少加減速段的計(jì)算量可以增強(qiáng)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，在一定程度上可以抑制系統(tǒng)的振動(dòng)，但這種方法的抑制效果畢竟是較差的。文獻(xiàn)[11]引入了PID控制來抑制系統(tǒng)振動(dòng)的方法，這種方法對(duì)系統(tǒng)模型要求非常高，對(duì)非線性系統(tǒng)的振動(dòng)抑制程度很有限。

目前提出的運(yùn)動(dòng)控制減振算法大都著重考慮系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，這就使得所設(shè)計(jì)的減振控制器比較復(fù)雜同時(shí)極大地增加了系統(tǒng)的計(jì)算量，從而使得控制器的實(shí)時(shí)性不好，而實(shí)時(shí)性是保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的首要條件，這將會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)的控制器不穩(wěn)定，這就是為什么很多控制方法很難在實(shí)際工程中運(yùn)用的原因。根據(jù)理論，系統(tǒng)的振動(dòng)是由加減速階段引起的，可以研究控制系統(tǒng)的加減速頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜的關(guān)系，從而只在加減速階段著手來設(shè)計(jì)控制器，這樣可以大量減小計(jì)算量從而增強(qiáng)控制器的穩(wěn)定性，以此來優(yōu)化控制算法在實(shí)際工程中的運(yùn)用。通過大量閱讀文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)目前還沒有研究者真正在實(shí)際工程中研究運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的加減速頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜的關(guān)系，所以筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，來研究實(shí)際工程中加減速頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜的關(guān)系，然后通過控制加減速階段振動(dòng)的條件來規(guī)劃加速度，通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)規(guī)劃算法可以確保運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在加減速階段的擺動(dòng)角度為零。

1 加速度頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜關(guān)系研究

1.1 S曲線速度規(guī)劃模型

高速高質(zhì)是運(yùn)動(dòng)控制產(chǎn)業(yè)追求的目標(biāo)，這就要求運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)快速達(dá)到指定的設(shè)定速度并平穩(wěn)停止在指定的位置。但由于系統(tǒng)本身的特性使得運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)有一個(gè)加減速的過程，這個(gè)過程很容易激起系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)從而引起系統(tǒng)的振動(dòng)，這就要求規(guī)劃好加減速從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的柔性加減速以便減小起停時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)使系統(tǒng)快速停止，從而加快系統(tǒng)的運(yùn)作效率[12]。

現(xiàn)有的加減速算法有直線加減速控制方法[13]、指數(shù)加減速控制方法[14]和S曲線加減速控制方法[15]等。直線加減速控制方法雖然計(jì)算簡單，但它的加速度不連續(xù)會(huì)引起很大的沖擊；指數(shù)加減速控制方法的加速度雖然連續(xù)但其計(jì)算復(fù)雜影響系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性；S曲線加減速控制方法加速度連續(xù)，計(jì)算量小于指數(shù)加減速控制方法，是目前比較常用的一種控制方法。本文首先通過采用S曲線加減速控制方法來控制設(shè)計(jì)的二階單擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，采集在不同加減速時(shí)間下系統(tǒng)振動(dòng)數(shù)據(jù)，再通過FFT變換分析系統(tǒng)加速度所含的頻率成分和系統(tǒng)振動(dòng)頻率成分的關(guān)系；然后根據(jù)前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)論來規(guī)劃加速度，在確保系統(tǒng)在起停時(shí)的擺動(dòng)為零的條件下得到加速度曲線中的相關(guān)參數(shù)。通過仿真可以發(fā)現(xiàn)本方法可以確保系統(tǒng)在起停時(shí)的振動(dòng)加速度為零，控制了系統(tǒng)在起停時(shí)的振動(dòng)，這就可以使運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)快速停止在指定的位置，從而提高了運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的工作效率。

在研究加速度頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜的實(shí)驗(yàn)中采用的是常規(guī)7段S型加減速控制方法，實(shí)驗(yàn)運(yùn)動(dòng)的行程是單點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，并且起始速度為零，如圖1所示，整個(gè)過程由加加速度、勻加速度、減加速度、勻速、加減速、勻減速及減減速7段組成[16-17]。

圖1 S型加減速運(yùn)動(dòng)過程

圖1中，vc為指令速度，vmax為運(yùn)行的最大速度，tk(k=1,2,…,7)為各階段的過渡點(diǎn)時(shí)刻；vi(i=1,2,…,7)為各階段的過渡點(diǎn)時(shí)刻的速度；τk(k=1,2,…,7)為局部時(shí)間坐標(biāo)，表示以各階段的起始點(diǎn)作為零點(diǎn)的時(shí)間,τk=t-tk-1;Tk(k=1,2,…,7)為各個(gè)階段的持續(xù)運(yùn)行時(shí)間；amax為最大加速度；J為加加速度；L為整個(gè)運(yùn)行長度。

其中加加速度J在運(yùn)動(dòng)過程中的取值為

(1)

而加速度a(t)、進(jìn)給速度v(t)和位移s(t)之間的積分關(guān)系

(2)

即可得到加速度a(t)、進(jìn)給速度v(t)和位移s(t)在運(yùn)動(dòng)過程中的取值：

(3)

(4)

(5)

(6)

因此，只要確定vmax，amax，J，就可以確定整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程。

1.2 運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)模型

一個(gè)系統(tǒng)有無數(shù)階振動(dòng)模態(tài)，但通常起主要作用的往往只有前兩階，所以在本實(shí)驗(yàn)中用兩個(gè)質(zhì)量鋁塊和鋼直尺來等效一個(gè)二階的系統(tǒng)。本實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)如圖2所示，兩個(gè)鋁塊拴緊在鋼直尺的不同位置上，在鋁塊上分別粘貼傳感器來測(cè)量鋁塊的振動(dòng)，鋼直尺的上端固定在橫梁的滑塊上，橫梁固定在剛性圓柱支架上，每個(gè)圓柱支架的底座都有防振腳墊，來減少其他振動(dòng)的干擾，橫梁的一端固定有PANATERM A5伺服電機(jī)。本實(shí)驗(yàn)的控制采集系統(tǒng)如圖3所示，控制機(jī)箱是NI的cRio9033，該機(jī)箱配有可重置的FPGA和基于RT的系統(tǒng)，從而確保了系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。振動(dòng)信號(hào)的采集是采用NI 9239采集卡，最大采樣率50 kS/s，A/D分辨率達(dá)24位，確保足夠的采樣精度。運(yùn)動(dòng)控制卡采用NI的9512，該運(yùn)動(dòng)控制卡可以設(shè)置梯形、S型、三角函數(shù)型等多種控制模式，而且可以讀取編碼器反饋的信號(hào)，方便了系統(tǒng)的準(zhǔn)確調(diào)試。

圖2 運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)

圖3 控制采集系統(tǒng)

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)先用力敲擊鋼直尺，通過鋁塊上的加速度計(jì)可以采集到敲擊后的振動(dòng)信號(hào)，再通過傅里葉變換可以得到系統(tǒng)的固有頻率。通過多次實(shí)驗(yàn)得到本系統(tǒng)振動(dòng)頻域如圖4所示，可知本系統(tǒng)的第一階固有頻率為0.84 Hz，第二階固有頻率為4.75 Hz。

圖4 系統(tǒng)第一、二階固有頻率圖

實(shí)驗(yàn)時(shí)設(shè)置系統(tǒng)的總行程L=1000 mm,系統(tǒng)總的運(yùn)行時(shí)間t=12 s,本實(shí)驗(yàn)是為了研究加速度的頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)的頻譜之間的關(guān)系，所以通過控制加速度的時(shí)間來控制加速度頻帶的寬度，對(duì)比在加速度包含的頻率成分及幅值不同時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)頻率的變化。本實(shí)驗(yàn)中設(shè)置兩個(gè)加速度時(shí)間，分別為0.25 s和5 s，為防止偶然因數(shù)的影響，每個(gè)加速度時(shí)間下的實(shí)驗(yàn)重復(fù)5次，再在5次中取偶然因數(shù)影響最小的一次作為本實(shí)驗(yàn)的測(cè)試結(jié)果，得到兩種不同加速度時(shí)間下的加速度時(shí)頻圖和對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)頻圖，分別如圖5～圖10所示。

圖5 加速時(shí)間0.25 s頻域圖

圖6 加速時(shí)間5 s頻域圖

圖7 加速時(shí)間0.25 s時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)域圖

圖8 加速時(shí)間5 s系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)域圖

圖9 加速時(shí)間0.25 s系統(tǒng)振動(dòng)頻域圖

圖10 加速時(shí)間5 s系統(tǒng)振動(dòng)頻域圖

通過對(duì)比電機(jī)加速度頻譜和系統(tǒng)振動(dòng)頻譜發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)振動(dòng)頻譜中包含有加速度頻譜中沒有的成分，所以系統(tǒng)的振動(dòng)并不是完全由電機(jī)引起的，可能還有摩擦等其他激勵(lì)系統(tǒng)的振動(dòng)。

1.4 結(jié)論

① 在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)加速階段含有系統(tǒng)固有頻率成分的幅值越大，系統(tǒng)擺動(dòng)的幅度就越大，停止時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間就越長，這可能是加速度引起了系統(tǒng)共振的結(jié)果。

② 從系統(tǒng)振動(dòng)的時(shí)域圖可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的振動(dòng)主要是在起停階段，因此要想減小系統(tǒng)的振動(dòng)只需規(guī)劃好系統(tǒng)的加減速，而且在實(shí)際工程中也是起停階段的振動(dòng)降低了工作效率。

③ 通過對(duì)比分析加速度頻域圖和系統(tǒng)振動(dòng)頻域，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)振動(dòng)的頻譜圖中包含了加速度信號(hào)中沒有的頻率成分，這可能是實(shí)際工程中系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)滑塊的不平滑、連接部位的剛度不夠等引起的沖擊性或強(qiáng)迫性的振動(dòng)。

2 規(guī)劃加速度減振仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 系統(tǒng)模型

設(shè)計(jì)本仿真實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)物理模型如圖11所示。

圖11 二階系統(tǒng)物理模型

由拉格朗日方程可得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

(7)

要想系統(tǒng)到達(dá)指定的位置并且在起始時(shí)的擺動(dòng)角度為零就得滿足

(8)

由運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)本身的特性，在運(yùn)動(dòng)過程中的速度和加速度有極限條件，即

(9)

2.2 規(guī)劃滿足約束條件的加速度

由前面實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動(dòng)主要在加減速階段并且實(shí)際工程中影響工作效率的也是在起停階段，因此可以只通過規(guī)劃加速度來控制系統(tǒng)的振動(dòng)以簡化控制器、減少計(jì)算量從而提高控制器的魯棒性，以便更廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程中。在實(shí)驗(yàn)中重新規(guī)劃的加速度公式如下：

(10)

式中，k，b為常數(shù),現(xiàn)通過約束條件式(8)、式(9)來確定加速度(10)中參數(shù)k，b,t1～t7的值。通過分析發(fā)現(xiàn)t1可以通過式(11)確定

(11)

k可以通過迭代學(xué)習(xí)公式(12)得到滿足相應(yīng)條件下的值。

(12)

式中，T為迭代的時(shí)間間隔；kk為自學(xué)習(xí)的參數(shù)。參數(shù)b可以通過式(13)得到。

b=kt1

(13)

t2跟最大速度和運(yùn)動(dòng)的行程有關(guān)，即

(14)

而t3=t2+t1，t4可由式(15)得到。

2x(t3)+v(t3)·(t4-t3)=xf

(15)

由運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度和減速度的對(duì)稱性，可以得到t5，t6，t7：

t5=t4+t1
t6=t4+t2
t7=t4+t3

(16)

2.3 Matlab仿真實(shí)驗(yàn)

通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這種通過規(guī)劃加速度來控制運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)起始擺動(dòng)的方法魯棒性高、計(jì)算量少，并可以保證運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)在起始的擺動(dòng)角度為零。本實(shí)驗(yàn)中選取的參數(shù)如下：g=9.8 m/s2,am=1 m/s2，vm=1.5 m/s,θm=0.1 rad,xf=10 m,l1=1 m,l2=0.5 m，m1=1 kg,m2=3 kg。得到的仿真結(jié)果如圖12所示。

從仿真結(jié)果可以看出，在起停時(shí)刻的振動(dòng)角度為零，所以提出的通過規(guī)劃加速度來控制運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的振動(dòng)算法是有效的。

圖12 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

3 結(jié)束語

由于目前提出的運(yùn)動(dòng)控制算法比較復(fù)雜、計(jì)算量大，因而很難在實(shí)際工程中應(yīng)用?？紤]到在實(shí)際工程中影響系統(tǒng)效率的主要是加減速階段系統(tǒng)的振動(dòng)，所以本文從引起系統(tǒng)振動(dòng)的加減速階段入手，首先分析了在實(shí)際工程中加速度頻譜和系統(tǒng)固有振動(dòng)頻譜的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)振動(dòng)頻譜中含有加速度頻譜中沒有的頻率成分，所以單靠去除加速度中系統(tǒng)的固有頻率的話系統(tǒng)還是會(huì)被引起沖擊性的振動(dòng)，所以就通過約束加減速過程的振動(dòng)來規(guī)劃加速度曲線，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)可以保證運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)在起停時(shí)的擺動(dòng)角度為零。