知識圖譜導(dǎo)向下的有理數(shù)單元整體教學(xué)

□王紅權(quán)

（杭州市基礎(chǔ)教育研究室，浙江杭州 310003）

有理數(shù)教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的起點.在小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，但無論是理解運算對象，還是掌握運算法則和選擇運算方法，初中的要求都大大提高.初中階段學(xué)生除了會算還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)“優(yōu)算”，教師要設(shè)計運算程序，使學(xué)生算有方法，算有規(guī)矩，要探究運算思路，使學(xué)生算得合理，算得簡潔，進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)系擴(kuò)充的方法，掌握研究一類數(shù)的基本方法.因此有必要把有理數(shù)的教學(xué)設(shè)計置于數(shù)系擴(kuò)充的主題整體設(shè)計，使運算核心素養(yǎng)真正地為進(jìn)一步學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ).

一、把握有理數(shù)的知識圖譜是教好有理數(shù)的開端

（一）有理數(shù)的“知識圖”（以下簡稱“圖”）

圖1清晰地表明有理數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運算.學(xué)習(xí)的線索：概念→性質(zhì)；概念（性質(zhì)）→運算→應(yīng)用.教學(xué)的重點是有理數(shù)的概念（主要是負(fù)數(shù)的概念）、有理數(shù)的性質(zhì)和有理數(shù)的運算（負(fù)數(shù)參與的運算）.概念教學(xué)的難點是負(fù)數(shù)的引入；性質(zhì)教學(xué)的難點是數(shù)形結(jié)合（數(shù)軸如何引入？）思想的第一次滲透；運算教學(xué)的難點是負(fù)數(shù)參與的運算規(guī)律的歸納獲得.

圖1

（二）有理數(shù)的“知識譜”

“圖”能讓教師整體把握章教學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容和結(jié)構(gòu)體系，有利于單元整體教學(xué)的實施.但每個知識點到底要把握到什么程度，“圖”中難以看出來，這就要求在“圖”的基礎(chǔ)上，對具體的知識點進(jìn)行更為精準(zhǔn)的描述.這便是如表1所示的“知識譜”（以下簡稱“譜”）的意義.從“譜”中可以看到，“知識點目標(biāo)”就是對課程標(biāo)準(zhǔn)單元目標(biāo)進(jìn)行更為具體、更為詳細(xì)的行動描述，使得知識點的教學(xué)目標(biāo)變得具體、“可操作”、“易檢測”.這樣的目標(biāo)分解可以使教師備課和制作質(zhì)量檢測工具具有高度的一致性，也使得教師的教學(xué)過程具有“可復(fù)制”性，為區(qū)域教學(xué)質(zhì)量獲得保障提供可能.有了“圖”和“譜”，才能真正在目標(biāo)體系層面上，系統(tǒng)地解決教、學(xué)和評的一致性.

表1

（三）“圖”與“譜”的關(guān)系

從有理數(shù)的“知識圖”和“知識譜”可以看出它們之間具有如下關(guān)系：“圖”宏觀引領(lǐng)教學(xué)，可以使教學(xué)的整體結(jié)構(gòu)清晰明了；“譜”精準(zhǔn)分解教學(xué)目標(biāo)，可以使教學(xué)靶向?qū)嵤?；“圖”育“譜”，“譜”釋“圖”，“圖”為綱，“譜”為目，綱舉目張，方能有效地實現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué).

二、教好有理數(shù)的關(guān)鍵是教好負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)

有理數(shù)的概念教學(xué)就是圍繞負(fù)數(shù)的引入，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，聯(lián)系生活實際，聚焦具有相反意義的量，從理性具體（相反意義的量）中抽象出理性一般（正數(shù)和負(fù)數(shù)）的過程.引進(jìn)一種新數(shù)（負(fù)數(shù)），還要研究新數(shù)的性質(zhì)、新數(shù)的運算和運算律.

（一）概念教學(xué)

（二）性質(zhì)研究

借助數(shù)軸，讓學(xué)生經(jīng)歷一次真正意義上的“數(shù)形結(jié)合”.把有理數(shù)和直線上的點對應(yīng)，把研究數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為研究點的位置特征.兩者能深度融合的基礎(chǔ)是有理數(shù)的構(gòu)成（正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零）和數(shù)軸的高度相似性（正方向、負(fù)方向和原點）.其中數(shù)字“0”和“1”起關(guān)鍵作用，“0”是區(qū)別正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)的“基準(zhǔn)”，“1”是有理數(shù)的單位.因此只要在直線上標(biāo)定一個基準(zhǔn)點O（原點），就把直線上的點劃分成為兩個部分，一部分的點和負(fù)有理數(shù)對應(yīng)，另一部分的點和正有理數(shù)對應(yīng)，區(qū)分正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)只需要規(guī)定一個正方向即可，這樣便實現(xiàn)所有有理數(shù)和直線上的點對應(yīng).因此可以通過“翻譯”數(shù)軸上點的位置特征得到有理數(shù)的性質(zhì)：①點的順序排列對應(yīng)有理數(shù)的大小；②點分布的稠密對應(yīng)有理數(shù)的稠密性（任意兩個有理數(shù)之間還存在有理數(shù)）.

數(shù)軸上一個點的位置由方向和距離決定，一個數(shù)由符號和絕對值決定.這為比較兩個有理數(shù)的大小提供了操作規(guī)程：比較兩個有理數(shù)的大小，可以先看符號，再比較絕對值的大小.首先確定0的基準(zhǔn)作用，規(guī)定正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)的大小即為絕對值的大??；比較兩個有理數(shù)的大小，可以利用數(shù)軸的幾何直觀，確保有理數(shù)大小順序和數(shù)軸上點的排列順序一致，這樣規(guī)定兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小就合情合理了.定義有理數(shù)的絕對值概念同時也解決直線上兩點間距離的度量問題，為了度量的方便，需要規(guī)定一個“單位”，這便是數(shù)1的“單位”意義.絕對值概念也為后面學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算奠定了基礎(chǔ).

最后研究數(shù)軸上一些具有特殊位置關(guān)系的點，如位置關(guān)于原點對稱的兩個點，顯然其絕對值相等，在數(shù)軸上具有明顯的幾何意義（圖2）.稱這兩個數(shù)（和為零）互為相反數(shù)，類比互為相反數(shù)，定義積為1的數(shù)互為倒數(shù)，這兩個數(shù)也有很好的幾何意義，便是反演對稱（圖3）.

圖2

圖3

有理數(shù)的性質(zhì)教學(xué)可以用圖4 的結(jié)構(gòu)圖表示.

圖4

在有理數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生體會什么是“數(shù)形結(jié)合”，經(jīng)歷研究一個陌生數(shù)學(xué)對象的基本方法.

三、教好有理數(shù)的運算關(guān)鍵在于運算的邏輯一致

代數(shù)的根本在于運算，研究有理數(shù)的概念和性質(zhì)后，還需要研究有理數(shù)的運算.有理數(shù)的運算，歸根結(jié)底是有負(fù)數(shù)參與的運算，但負(fù)數(shù)的運算對初中生而言是超越經(jīng)驗的，用任何具體例子來解釋都有很大的局限性[2].

（一）用歸納的方法教有理數(shù)的運算和運算律是根本大法

在所有負(fù)數(shù)相關(guān)的運算中，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的乘法法則最為難以理解，教學(xué)時要注意到運算法則是人為規(guī)定的，但這種規(guī)定既要符合實際又要滿足理論的相容性，初中階段教學(xué)的主要任務(wù)是“使其相信”，要在運算法則的“承襲性”和邏輯的“自洽性”上下功夫.教好歸納就要設(shè)計合理的教學(xué)過程，通過過程中規(guī)律性的歸納，自然獲得.

（二）教學(xué)流程再設(shè)計

先看看用數(shù)軸引入的設(shè)計方案：

例1 （環(huán)節(jié)A）小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)“乘法是加法的簡便運算”，如3×2＝3＋3＝6.可以用如圖5的數(shù)軸表示.

圖5

追問1：根據(jù)乘法和加法的關(guān)系，（－3）×2＝（－3）＋（－3）＝－6.用數(shù)軸如何表示這個關(guān)系？（如圖6）

圖6

圖7

引導(dǎo)學(xué)生：①畫出圖7；②得到（－3）×2是3×2的相反數(shù).

（環(huán)節(jié)B）教師小結(jié)并引導(dǎo)：改變相乘兩數(shù)中的一個數(shù)的符號時，其積就變?yōu)樵瓉矸e的相反數(shù).同樣，（－3）×（－2）是3×（－2）的相反數(shù)（如圖7）.獲得負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)的運算律.

下面給出用歸納方法設(shè)計的教學(xué)流程：

（環(huán)節(jié)A）：請你完成表2（陰影格為學(xué)生填寫的數(shù)字），并說說理由.

表2

師生活動后小結(jié)：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3. ②正數(shù)乘正數(shù)的積是正數(shù)，正數(shù)乘零等于零.③正數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是負(fù)數(shù).④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

追問：如果上述規(guī)律成立，那么表3 中的空格應(yīng)該如何填寫？

表3

師生活動后小結(jié)：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3.②正數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是負(fù)數(shù).③負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是正數(shù)，負(fù)數(shù)乘零等于零.④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

歸納運算律要有意識地滲透運算程序，即先確定運算結(jié)果的“符號”，然后計算各因數(shù)絕對值的乘積.

（三）兩種引入的優(yōu)缺點

歸納獲得的結(jié)論來自數(shù)學(xué)內(nèi)部，設(shè)計好的問題使數(shù)學(xué)的內(nèi)部規(guī)律外化為直觀規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知，容易被學(xué)生接受.利用數(shù)軸解釋數(shù)字運算規(guī)律直觀形象.歸納規(guī)律依賴問題設(shè)計和呈現(xiàn)方式，用表格形式呈現(xiàn)可能更有利于學(xué)生歸納得出運算規(guī)律.

利用數(shù)軸直觀解釋有后遺癥.教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)一個看似“創(chuàng)新”的學(xué)生“研究”成果：（-3）×4＝9.學(xué)生的解釋：按照教師標(biāo)在圖上的箭頭，（－3）×4就是把－3向右平移4個單位，此時箭頭指向的位置恰好是9，所以（－3）×4＝9.

原因就是這種直觀缺乏數(shù)字運算背后的內(nèi)在邏輯支持，學(xué)生純粹從形的直觀出發(fā)，用自己的方式理解，“生動形象”“自圓其說”地得到了一個“新”的規(guī)律.這是學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移的結(jié)果.

（四）教好運算的關(guān)鍵是讓學(xué)生學(xué)會優(yōu)算

數(shù)學(xué)運算是演繹推理，數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果.使學(xué)生學(xué)會算得合理，算得準(zhǔn)確.□◢