二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階

劉 植, 劉艷玲, 陳曉彥

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

在函數(shù)逼近理論中,基于非負線性正算子方法構(gòu)造逼近函數(shù)一直是該領域研究的重要課題之一。自1912年Bernstein提出Bernstein算子,學者們對其進行了各種推廣,從而衍生出Bernstein-Durrmeyer算子、Bernstein-Stancu算子、Bernstein-Bézier算子、Bernstein-Kantorovich算子等。為了進一步優(yōu)化算子的各種性能,人們對以上算子又進行了大量的研究,如對于Bernstein-Stancu算子,文獻[1]研究了基于Bernstein基函數(shù)的Stancu型算子序列,得到該算子的Korovkin 型收斂定理、收斂速度的估計以及逼近性質(zhì);文獻[2]研究了一類修正的Stancu型q-Baskakov-Shurder-Szász 算子,給出了加權(quán)空間下該算子的誤差估計,并利用K-泛函和光滑模研究了該算子的逼近性質(zhì);文獻[3]研究了Kantorovich型Bernstein-Stancu算子的Voronovskaja型漸近估計;文獻[4]構(gòu)造了一類修正的Stancu型q-Bernstein-Shurder-Kantorovich算子,通過光滑模和Lipschitz型極大函數(shù)估計其收斂速度,并研究了該算子的其他逼近性質(zhì)。

文獻[5]通過在經(jīng)典Bernstein算子中引入非負實參數(shù)α的方法，構(gòu)造了一類新的廣義Bernstein型算子,即α-Bernstein算子。該算子具有逼近論中需要的很多優(yōu)良性質(zhì),其表達式為:

(1)

(1) 當n=1時,有

(2)n≥2時,有

特別地,當α=1時,(1)式表示的α-Bernstein算子即為經(jīng)典的Bernstein算子。

近3年來,圍繞α-Bernstein算子的理論研究產(chǎn)生了一些新的成果。文獻[6]將α-Bernstein算子推廣到無窮集上,得到α-Bernstein-Chlodovsky算子,并研究了其Voronovskaja型漸近估計公式等若干逼近性質(zhì)。為了逼近Lebesgue可積函數(shù),文獻[7]在α-Bernstein算子基礎上做了積分修正,構(gòu)造了新的Bernstein-Kantorovich算子序列,稱之為α-Bernstein-Kantorovich算子。利用一階、二階連續(xù)模研究了算子的一致收斂性以及整體、局部收斂速度,并將結(jié)果推廣到二元情形。文獻[8]基于Mohiuddine等的研究繼續(xù)討論了一些絕對連續(xù)函數(shù)(即導數(shù)為有界變差函數(shù))的α-Bernstein-Kantorovich算子逼近的收斂速度問題。

算子的Durrmeyer修正是逼近Lebesgue可積函數(shù)的另一種方法。文獻[9]對α-Bernstein算子進行了Durrmeyer修正,并研究了其Voronovskaja型漸近定理、整體逼近、局部逼近問題。同時,對于導數(shù)為有界變差函數(shù)的函數(shù),討論了其逼近的收斂速度。在上述研究成果的基礎上,文獻[10]進一步討論了Bézier類和式積分型算子,并討論了相關逼近性質(zhì)。

文獻[11]通過在α-Bernstein算子中引入q整數(shù),構(gòu)造了q類α-Bernstein算子,稱之為 (α,q)-Bernstein算子,并得到該算子的Kovovkin型逼近定理,逼近連續(xù)函數(shù)的收斂速度以及保形性質(zhì)。

為了進一步提高算子逼近的靈活性,文獻[12]改變節(jié)點選擇方式,研究了α-Bernstein算子的Stancu型推廣,稱之為α-Bernstein-Stancu算子,形式如下:

(2)

其中

0≤γ≤β;

更多關于α-Bernstein算子的理論研究可參閱文獻[13-14]。

本文在上述研究工作的基礎上,進一步研究了α-Bernstein-Stancu算子的二元情形。首先構(gòu)造二元α-Bernstein-Stancu算子的表達式,并研究該算子的Voronoskaja型定理,然后利用二元Lipschitz類得到了二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階。

1 二元α-BernsteinStancu算子

N為正整數(shù)空間,N0=N∪0 {0},記

I2=[0,1]×[0,1],

C(I2)為I2上的連續(xù)函數(shù)空間,賦予范數(shù)：

‖f‖=sup|f(x,y)|。

對于二元函數(shù)f∈C(I2),0≤γi≤βi,0≤αi≤1(i=1, 2),二元α-Bernstein-Stancu算子定義為：

(3)

其中

首先,給出如下引理。

(1+2α+2γ)+4n(6αγ-4γ+24α-21)+48(1-α)(3+γ)]x3+[n2(7+12γ+6γ2)+n(29-36α-24αγ-6γ2+12γ)+2(α-1)(43+36γ+6γ2)]x2+[n2(1+4γ+6γ2+4γ3)+2(1-α)(7+12γ+6γ2)]x+γ4}。

結(jié)合引理1與二元α-Bernstein-Stancu算子(3),容易得到如下結(jié)論。

推論1記epq(x,y)=xpyq為檢驗函數(shù),其中(p,q)∈N0×N0,且p+q≤4,則

將推論1的結(jié)論直接代入，可得如下結(jié)果。

推論2對于二元算子(3)式,有

其中，P2(n)、H2(m)分別為關于n,m的二次多項式,且最高次項系數(shù)分別為3x2(x-1)2和3y2(y-1)2。

定理1 對任意函數(shù)f∈C(I2),有

證明由推論1知：

其中,(p,q)∈{(0,0),(0,1),(1,0)},以及

在I2上一致成立。由二元逼近的Korovkin型定理[15]即證。

2 逼近性質(zhì)

在這一部分中,本文將討論二元α-Bernstein-Stancu算子的Voronoskaja型定理，并通過Lipschitz類研究其逼近階。

2.1 Voronoskaja型定理

首先,給出Voronoskaja型定理。

定理2 若函數(shù)f∈C(I2),則有:

(γ1-β1x)fx(x,y)+(γ2-β2y)fy(x,y)+

且在I2上是一致的。

證明對于(x,y),(t,s)∈I2, 由二元泰勒公式展開得:

f(t,s)=f(x,y)+fx(x,y)(t-x)+

fy(x,y)(s-y)+fxy(x,y)(t-x)(s-y)+

其中,σ(t,s;x,y)∈C(I2),且

(γ1-β1x)fx(x,y)+(γ2-β2y)fy(x,y)+

(4)

注意到:

(5)

另一方面,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式,有

(s-y)4);x,y))1/2≤

在(x,y)∈I2上一致成立。又由推論2知:

因此

(6)

將(5)式和(6)式代入(4)式即證。

2.2 α-Bernstein-Stancu算子的逼近階

以下將利用Lipschitz類研究二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階。

|f(t,s)-f(x,y)|≤M|t-x|ρ1|s-y|ρ2。

若記：

則有如下結(jié)論。

證明根據(jù)二元α-Bernstein-Stancu算子的定義及Lipschitz條件,有

令

定理4 若f∈C(I2),則有：

證明對任意x,y∈I2,有

(7)

由于

再由Cauchy-Schwarz不等式知：

3 結(jié) 論

本文研究了二元α-Bernstein-Stancu算子,對于該二元算子,給出了Voronoskaja定理,并利用Lipschitz類研究了該算子的逼近階。