半平面上Euler-α方程組的邊界層方程整體適定性

孫小梅,臧愛彬

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

(2.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院和宜春學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,江西 宜春 336000)

1 引言

在半平面上具有Dirichlet邊界條件的Euler-α方程組有如下描述

文獻 [2]通過使用幾何工具證明了初始值u0∈Hs(?)(s>2)時問題 (1)的存在唯一性.文獻[3]用描述粒子演化的唯一拉格朗日流圖證明了Radon測度空間中具有初始渦量的二維Euler-α方程組整體弱解的存在唯一性.對于足夠光滑的初始數(shù)據(jù),文獻[4]證明了Euler-α方程組存在唯一局部強解,并證明了二維情況下Euler-α方程組具有整體唯一強解.

形式上,令方程組(1)中的參數(shù)α=0,可以得到Euler方程組的初邊值問題

對于Euler方程組的適定性已經(jīng)有了廣泛的研究,文獻[5]證明了n維區(qū)域內(nèi)Euler方程組(2)經(jīng)典解的局部存在唯一性,而在二維情形下該解還是整體存在的,更多細節(jié)讀者可參考文獻[6].

以及邊界條件

本文的主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下:第二部分給出了加權(quán)Lebesgue-Sobolev函數(shù)空間以及解析函數(shù)空間族的定義及性質(zhì).簡述了ACK定理的內(nèi)容和證明一些有用的命題.最后部分通過構(gòu)造邊界層方程組的等價形式,引入了兩個技術(shù)性的引理,從而給出本文的主要結(jié)論及證明.

2 符號及預(yù)備知識

為方便起見,對于正數(shù)r,τ>0,定義以下的加權(quán)Lebesgue函數(shù)空間

以及加權(quán)的Sobolev函數(shù)空間

并記

具有范數(shù)

本文還需要利用到下列單變量實解析函數(shù)空間

以及

性質(zhì) 2.1 設(shè) 0<τ′<τ,則有

ACK 定理[14]設(shè) {Bs:00,T>0,對 ?0

其中C不依賴于s,s′,t,u,v.此外F(0,t)∈Bs在(0,T)是連續(xù)的且存在固定常數(shù)K,使得‖F(xiàn)(0,t)‖s≤K.則對于 0

存在唯一解 u(t)∈Bs,0

對可測函數(shù)f,考慮下列方程

其中C>0不依賴于u,f.

利用分部積分有

從而

利用插值不等式有

由數(shù)學(xué)歸納法知對任意k≥0有

3 主要結(jié)論及證明

對上式關(guān)于 z 求偏導(dǎo)可化為 ?t?zf+up?x?zf+vp?z?zf=0,記 g=?zf,則有

對應(yīng)的邊界條件

令

故得到了與方程組(8)同解的微分方程組

以及

為了驗證邊界層方程滿足ACK定理的條件,需要證明下面兩個引理.

證明 不妨設(shè)解析半徑τ是關(guān)于t單調(diào)遞減足夠快的函數(shù),從而有

考慮邊界層方程組(8)的等價形式

對上式的方程兩端作用微分算子Dα,并關(guān)于e2τzDαg做L2內(nèi)積,可以得到

其中

從而

利用文獻[16]的計算方法,而u由方程組(20)決定,利用命題3.3的結(jié)論及不可壓性質(zhì),則有

求解常微分方程得

引理 3.2 設(shè)F如(18)式定義,在與引理3.1的假設(shè)下,則對于

上面估計的最后一步運用了解析函數(shù)的性質(zhì)2.2,又根據(jù)命題2.3有

同理由于散度為零,從而

故有

其中

由條件知

結(jié)合(23)-(24)式可得

下面給出本文的主要結(jié)論.

證明 考慮邊界層方程組(8)的等價形式

首先定義空間

則

另一方面,在上述條件下設(shè)(X1,X2)滿足

則

因此對任意t>0,g(t,X1,X2)=g(t,X1,X2)|t=0=0,故有

滿足邊界條件

從而

結(jié)合(25)-(27)式可得

解常微分方程(28)可得

注:臧愛彬為孫小梅聯(lián)合導(dǎo)師.