多項(xiàng)式根的友矩陣估計方法①

徐 鑫， 鄭圣明

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230601)

0 引言

代數(shù)基本定理[1]揭示其在復(fù)數(shù)域C內(nèi)至少有一根，然而并沒有給出根的具體表達(dá)式.實(shí)際上，Abel和Galois的工作表明，5次及以上的一般的一元多項(xiàng)式不存在根式解[6].因此，多項(xiàng)式根的范圍的估計便成為了研究的熱點(diǎn)，這方面的估計成果十分豐富，經(jīng)典的結(jié)論有 Sturm[3]定理，再如[4，5]等.

矩陣的特征值是基本且重要的概念，其求解問題實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式的求根問題，在矩陣?yán)碚撝杏兄?dú)特的研究方法.對特征值最經(jīng)典的估計當(dāng)數(shù)Gerschgorin圓盤定理，近年來新的估計層出不窮，如文獻(xiàn)[8]等.矩陣是個強(qiáng)有力的工具.本文將用多項(xiàng)式的友矩陣把多項(xiàng)式與矩陣統(tǒng)一起來，主要給出一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式根的模的幾個上界.

對于一元n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式

1 準(zhǔn)備知識

為了方便，我們討論首一多項(xiàng)式

定義 多項(xiàng)式(2)的友矩陣為

易知，Af的特征多項(xiàng)式正是f(λ)，即

其中，In為n階單位陣.由此可見，多項(xiàng)式(2)的根的估計問題等價于其友矩陣Af的特征值的估計問題.關(guān)于矩陣特征值的分布，有以下著名的Gerschgorin圓盤定理.

引理1(Gerschgorin圓盤定理)[3]給定n階復(fù)方陣A=(aij)n×n，在平面上作閉圓盤:

引理2[2]n階復(fù)矩陣A的譜半徑為ρ(A)，‖A‖為A的任一相容的矩陣范數(shù)，則ρ(A)≤‖A‖.

引理3[1]設(shè)A，B分別是 n×m，m ×n級矩陣，則

引理4(Weyl定理)[3]設(shè) λ ≥ λ ≥ … ≥

12λn，μ1≥μ2≥…≥μn分別是n階實(shí)對稱方陣A和B的n個特征值，v1≥v2≥…≥vn是A+B的n個特征值，則有λi+μn≤vi≤λi+μ1

2 主要結(jié)果

定理1 記

則多項(xiàng)式(2)的根λ0滿足

證明: 對于f(λ)的友矩陣應(yīng)用引理1，則一

方面Af的特征值落在行圓盤的并中，即 | λ0|，|λ0+an－1|≤1中至少有一個不等式成立.注意到若 | λ0+an－1|≤1 成立，則 | λ0|≤1+|an－1|必成立.故知|λ0|≤max{|a0|，1+|a1|，…，1+|an－1|}，即 | λ0|≤ Mf.

另一方面，Af的特征值λ0必落在列圓盤的并中，同樣知 | λ0|≤ Mf′，從而 | λ0|≤min{Mf，Mf′}證畢.

推論1 多項(xiàng)式(2)的根λ0滿足

證明: 注意到

由定理1即得到(4).

推論1是多項(xiàng)式根模的估計中的一個基本結(jié)論，最早由Cauchy得到.而對于一般的多項(xiàng)式(1)，對f(λ)運(yùn)用定理1有如下的結(jié)果:推論2 多項(xiàng)式(1)的根λ0滿足

上面利用圓盤定理估計了根模.接下來基于引理2利用矩陣范數(shù)估計根模.

注意到這是定理1的又一證明.

其實(shí)，Carmichael和Mason 給出了優(yōu)于(6)的界[7]:

下面利用友矩陣給出異于[7]中的方法證明之.

定理2 多項(xiàng)式(2)的根λ0滿足Carmichael－Mason界(7).

證明: 記 α = [a0，a1，…，an－1]T，

故ααT的特征值從大到小為λ3=… =λn=0.而B的特征值從大到小為μ1=μ2= … = μn－1=1，μn=0，所以根據(jù)引理 4 得，A最大特征值滿足

現(xiàn)考慮Af的譜范數(shù)它是相容的矩陣范數(shù)[2]，其中為Af的共軛轉(zhuǎn)置.由引理2及(8)得Af的特征值λ0滿足

定理2的證明過程啟示我們可以進(jìn)一步考慮Af的譜范數(shù)，為此考慮AHfAf的最大特征值.

定理3 多項(xiàng)式(2)的根λ0滿足

由于λ2－(a+2)λ+的判別式

顯然 λ1≥ λ2，下證 λ1≥1.若 a≥1，則 λ1≥≥1;若a ＜1，則由4a2≥知(a+1)2－≥(1－ a)2.進(jìn)一步即得λ1≥1.從而λ1是的最大特征值，所以由引理2便得到|證畢.

推論3 若多項(xiàng)式(2)的常數(shù)項(xiàng)a0≠0，則其根λ0滿足

證明: 由于a0≠0，λ0≠0.由等式

的根，從而對g(λ)應(yīng)用定理3得

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2003.

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