橋梁動態(tài)稱重迭代算法的理論與試驗研究

張龍威，汪建群，陳 寧，孫洪鑫

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411100)

隨著國民經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，交通量迅速增長，公路橋梁中的超載現(xiàn)象變得越來越嚴(yán)重。超載車輛會造成橋梁不可恢復(fù)的損傷，并加速既有病害發(fā)展，危及結(jié)構(gòu)安全，甚至造成橋梁坍塌。如何控制超載車輛，防止既有橋梁的狀況加速惡化，已成為橋梁養(yǎng)護(hù)管理部門的棘手難題。

目前，監(jiān)控超載車輛的方式主要有兩種：路面稱重系統(tǒng)和橋梁動態(tài)稱重系統(tǒng)。其中，路面稱重系統(tǒng)(weigh-in-motion，WIM)[1]通過在路面埋置傳感器獲取通行車輛的軸重。由于車輪作用于路面?zhèn)鞲衅魃系捻憫?yīng)時間較短，僅有幾毫秒，傳感器附近路面與車輪之間相互振動會影響稱重的精度。當(dāng)車速較快或路面不平整度較差時，WIM的稱重精度較低。此外，路面?zhèn)鞲衅鞯陌惭b與更換需要中斷交通才能進(jìn)行[2]。橋梁動態(tài)稱重系統(tǒng)(bridge weigh-in-motion，BWIM)[3- 4]是通過安裝在橋梁主梁底部的傳感器采集車輛駛過橋梁產(chǎn)生的動力響應(yīng)，反算車輛軸重。相比WIM系統(tǒng)，BWIM系統(tǒng)安裝方便、測試隱蔽，無需中斷交通，用于稱重的響應(yīng)時間較長(1～5 s左右)，稱重精度高且穩(wěn)定性好。BWIM系統(tǒng)在美國、日本以及歐洲等廣泛應(yīng)用[5]。

商用BWIM系統(tǒng)通常選用Moses算法作為核心構(gòu)架進(jìn)行橋梁的動態(tài)稱重，如：都柏林大學(xué)和愛爾蘭ROD-IS公司開發(fā)的DuWIM系統(tǒng)，斯洛文尼亞CESTEL和ZAG公司開發(fā)的SiWIM系統(tǒng)等[6]。Moses算法最早由Moses[7]提出，是以橋梁跨中位置的理論影響線為基礎(chǔ)，建立軸重求解方程。由于橋梁實際的邊界條件、材料特性等較難真實地模擬，理論影響線與真實影響線之間會存在一定的差異,從而降低稱重精度。針對這一問題，OBrien等[8-9]提出用實測影響線代替理論影響線進(jìn)行橋梁動態(tài)稱重。實測影響線是從橋梁的車橋動力標(biāo)定試驗數(shù)據(jù)中提取得到，能夠較真實地反映橋梁的力學(xué)特性。修正后的Moses算法具有更高的計算精度，但是Moses算法本身存在一定的局限性，即：軸重求解方程是病態(tài)方程，當(dāng)路面較粗糙或車軸軸距較小時，軸重識別精度較低[10]。為此，Rowley和Gonzalez引入Tikonov正則化技術(shù)修正病態(tài)方程。這種方法雖然可以提高單軸軸重精度，但是，作為影響計算精度的正則化參數(shù)，它的選取需要人為干預(yù)，無法通過算法自動選定[11]。

為進(jìn)一步提高BWIM系統(tǒng)的軸重識別精度，本文提出橋梁動態(tài)稱重迭代算法，首先，基于Moses算法，將橋梁實測影響線作為基準(zhǔn)影響線識別車輛軸重；然后，將計算得到的車軸軸重作為已知量，用影響線算法反算出橋梁影響線作為新的基準(zhǔn)影響線；最后，反復(fù)使用Moses算法和影響線算法更新基準(zhǔn)影響線和車輛軸重，直到相鄰兩次迭代得到的車輛軸重差值小于或等于閾值為止，所對應(yīng)的車輛軸重即為橋梁動態(tài)稱重迭代算法的計算值。以實橋的車橋動力試驗作為實例，分別用基于實測影響線的Moses算法(后文簡稱：商用BWIM算法)和橋梁動態(tài)稱重迭代算法識別車輛軸重，對比分析兩種算法的識別精度，并得出相關(guān)結(jié)論。

1 橋梁動態(tài)稱重理論研究

在商用BWIM系統(tǒng)中：首先，在選定的橋梁進(jìn)行車輛動力試驗，作為標(biāo)定試驗；然后，用影響線法從標(biāo)定試驗數(shù)據(jù)中提取出橋梁的實測影響線；最后，基于Moses算法，用實測影響線對行駛在橋面上的車輛進(jìn)行軸重識別[12]。

1.1 Moses算法

Moses算法最早是由Moses提出。該算法以梁橋作為研究對象，假定橋梁為一維線彈性梁，根據(jù)橋梁跨中位置的理論彎矩影響線(I)計算出橋梁跨中的理論彎矩響應(yīng)(MT)，基于最小二乘法原理，擬合出與實測彎矩響應(yīng)最接近的理論彎矩響應(yīng)，此時，彎矩響應(yīng)擬合值所對應(yīng)的車輛軸重即為橋梁動態(tài)稱重的計算值。

在Moses算法中，理論彎矩響應(yīng)(MT)可通過每個車軸乘以相應(yīng)的影響線數(shù)值再疊加求和得到，其表達(dá)式為

(1)

式中：t為影響線和彎矩響應(yīng)的時刻或車輛在橋上移動的位置；N為車輛的總軸數(shù)；Ai為車輛第i個車軸的軸重；Ii為第i個車軸所對應(yīng)的橋梁影響線坐標(biāo)值。

對橋梁荷載響應(yīng)的實測彎矩響應(yīng)(MM)和理論彎矩響應(yīng)(MT)之間差值的平方和作最小化處理，建立誤差函數(shù)E，如式(2)所示

(2)

式中，K為荷載響應(yīng)的總時間。誤差函數(shù)中，實測彎矩響應(yīng)為已知量，理論彎矩響應(yīng)可通過未知的車輛軸重和已知的理論彎矩影響線由式(1)計算得到。根據(jù)最小二乘法原理，誤差函數(shù)對每個車軸軸重的偏導(dǎo)為零時，誤差函數(shù)取最小值。通過求解計算，得出行駛在橋梁上的車輛軸重(詳細(xì)過程，可參見Moses的研究)。車輛軸重的表達(dá)式為

{A}=([I]T[I])-1[I]T{MM}

(3)

式中，[I]為車輛所對應(yīng)的橋梁影響線矩陣，維度為K(時間)×N(車軸)。

1.2 影響線算法

影響線算法由OBrien等提出，是指用車橋動力響應(yīng)信號提取出的橋梁實測影響線代替理論影響線，再以Moses算法計算車輛軸重。相比理論影響線，橋梁實測影響線不僅取決于橋梁的實際剛度，還與橋梁的路面不平整度、車速及車橋耦合效應(yīng)密切相關(guān)。由于橋梁實測影響線是直接從橋梁的車橋動力響應(yīng)信號提取而來，它在一定程度上更能準(zhǔn)確地反映橋梁實際的力學(xué)性能。

實測影響線的計算是基于最小二乘法原理，利用橋梁荷載響應(yīng)測試值和理論值之間形成的誤差函數(shù)(如式(2)所示)計算得到。與Moses算法不同，影響線算法的未知量是影響線，車輛軸重為已知量。為了獲取誤差函數(shù)的最小值，使荷載響應(yīng)的理論值能夠準(zhǔn)確地預(yù)測響應(yīng)的實測值，對式(2)中的影響線求偏導(dǎo)，并取值為零，如式(4)所示

(4)

式中：I為影響線向量。求解式(4)，并整理結(jié)果，可得

{I}=([A]T[A])-1[A]T{MM}

(5)

式中，[A]為車輛軸重矩陣，是已知量。通過式(5)，計算得到橋梁的實測影響線。

1.3 BWIM迭代算法算法

在商用BWIM系統(tǒng)中：首先，對選定的橋梁進(jìn)行車輛動力試驗，作為標(biāo)定試驗；然后，用影響線法從標(biāo)定試驗數(shù)據(jù)中提取出橋梁的實測影響線；最后，基于Moses算法，用實測影響線對行駛在橋面上的車輛進(jìn)行軸重識別。由于實橋標(biāo)定試驗現(xiàn)場條件的限制，通常用于標(biāo)定影響線的車橋動力試驗次數(shù)較少，得到的實測影響線存在欠擬合的情況，較難全面地模擬橋梁真實地受力特性。為解決這一問題，筆者所在研究團(tuán)隊提出橋梁動態(tài)稱重迭代算法。橋梁動態(tài)稱重迭代算法的具體計算流程如下所示：

步驟1選定一組車橋動力響應(yīng)信號，用影響線算法計算出橋梁的實測影響線，作為車輛軸重識別的基準(zhǔn)影響線Io；

步驟2基于Moses算法，用基準(zhǔn)影響線Io對行駛在橋面上的車輛進(jìn)行軸重識別。以實測的橋梁動力響應(yīng)信號MM為例，用式(3)計算得到軸重A1;

步驟3將計算的軸重A1作為已知量，基于影響線算法，用式(5)計算得到新的影響線I1;

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3的操作，直到軸重的計算結(jié)果收斂為止，即|An-An-1|≤ε。

相比于商用BWIM系統(tǒng)，橋梁動態(tài)稱重迭代算法用于稱重的影響線不是恒定不變的。在識別車輛軸重時，以基準(zhǔn)影響線為依托，通過反復(fù)應(yīng)用Moses算法和影響線算法不斷地更新修正基準(zhǔn)影響線，最終用更新后的影響線計算車輛軸重。從理論上講，橋梁動態(tài)稱重迭代算法求得的影響線能更好地匹配橋梁動力響應(yīng)信號，更新后的影響線與車軸軸重的計算值擬合出的車橋動力響應(yīng)理論值也將更好地吻合實測值。即橋梁動態(tài)稱重迭代算法計算得到的車軸軸重更準(zhǔn)確。

2 實橋試驗

為了驗證橋梁動態(tài)稱重迭代算法的軸重識別精度，本文以湖南省懷化市的舞水五橋引橋作為研究對象進(jìn)行相關(guān)研究。

2.1 橋梁概況

懷化舞水五橋引橋是一座跨度為40 m的簡支梁橋。它由10片T梁組成，橋?qū)?4 m，雙向四車道，兩側(cè)分別設(shè)有非機(jī)動車道和人行道，具體設(shè)計參數(shù)詳見文獻(xiàn)[13-14]，橋梁的示意圖如圖1所示。

2.2 試驗方案

試驗選定一輛兩軸車作為加載車。加載車總重28.5 t(前軸重7.4 t，后軸重21.1 t)，軸間距4.7 m。在試驗過程中，加載車以30 km/s以內(nèi)的車速反復(fù)從車道三駛過，共10次。

在試驗過程中，在跨中截面兩側(cè)的翼緣板下安裝車軸探測傳感器(free-alxe-detector,FAD)獲取車輛類型、軸數(shù)、軸距及車速等信息；在主梁跨中截面的每片T梁底部安裝動態(tài)應(yīng)變傳感器作為稱重傳感器，用于識別車輛軸重，如圖1所示，具體位置詳見龍波的研究。試驗采用揚州科動KD4001工具式應(yīng)變傳感器和日本TML公司的DC-204動態(tài)信號采集儀記錄車輛駛過橋梁產(chǎn)生的動態(tài)應(yīng)變信號。數(shù)據(jù)的采樣頻率為200 Hz?，F(xiàn)場試驗測試系統(tǒng)如圖2所示。

圖1 懷化舞水五橋引橋示意圖[13] (cm)Fig.1 Schematic diagram of Wushui Fifth Bridge approach bridge (cm)

圖2 試驗測試系統(tǒng)Fig.2 Data acquisition system

3 結(jié)果與分析

本節(jié)基于懷化舞水五橋引橋的車橋動力試驗，分別用商用BWIM算法和橋梁動態(tài)稱重迭代算法進(jìn)行車輛軸重識別，通過對比分析，驗證橋梁動態(tài)稱重迭代算法軸重識別的可靠性。

3.1 試驗數(shù)據(jù)

試驗過程中，橋梁翼緣板處的FAD傳感器和跨中T梁處的稱重傳感器同時采集加載車駛過橋梁產(chǎn)生的動力響應(yīng)信號。

圖3為10組跑車試驗中的一組信號。其中：圖中的兩條實線分別表示前后兩個FAD傳感器采集的信號。每個車軸經(jīng)過時會產(chǎn)生一個峰值，利用已知的兩個FAD傳感器縱橋向間距，計算車輛的車速以及軸間距等信息。圖中的點線表示跨中T梁位置所有稱重傳感器動力響應(yīng)信號的總和。由于稱重算法是一維算法，假定車輛荷載對橋梁動力響應(yīng)(彎矩/應(yīng)變響應(yīng))不受車輛橫向加載位置的影響，因此，將稱重傳感器動力響應(yīng)信號之和作為軸重識別的信號。

圖3 車橋動力響應(yīng)信號Fig.3 Vehicle-bridge dynamic response

3.2 軸重識別結(jié)果

在BWIM系統(tǒng)中，橋梁的實測影響線是車輛軸重識別的前提條件。通過上文介紹的影響線算法，計算得到每組車橋動力響應(yīng)信號相對應(yīng)的橋梁實測影響線，如圖4所示。這里需要指出的是，考慮到車輛在上橋和下橋時會對橋梁的動力響應(yīng)產(chǎn)生影響，在計算實測影響線時，在橋梁的前后兩端各取10 m。即：影響線的總長度為60 m(10 m+40 m+10 m)。

圖4 實測影響線匯總圖Fig.4 The calibrated influence lines

由圖4可知，實測影響線總體的變化趨勢相同，峰值相近，都為8左右。但是，每條實測影響線在局部略有不同，上下振動的方向不盡相同。為了全面地反映橋梁的動力特性，商用BWIM算法通常選取多條影響線的均值用于車輛軸重識別。因此，本文選取所有實測影響線的均值分別用兩種算法(商用BWIM算法和橋梁動態(tài)稱重迭代算法)對所有的車橋動力響應(yīng)信號進(jìn)行車輛軸重識別，計算結(jié)果如表1所示。

表1 不同算法的車輛軸重識別誤差匯總表Tab.1 Summary of vehicle axle weight identification errors with different algorithms %

由表1可知：①對于商用BWIM算法，單軸軸重和總重識別誤差的平均值都較低，分別為2.0%(前軸)、-0.7%(后軸)和0%(總重)。但是，單軸軸重的識別誤差不穩(wěn)定。其中，前軸識別誤差變化的區(qū)段為[-47.0%，96.2%]，最大的誤差接近了100%，導(dǎo)致其誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較高，達(dá)到了49.0%。相比之下，后軸的識別誤差也較大，與相應(yīng)前軸誤差的大小相近，方向相反。以第三組的計算結(jié)果為例，前軸的誤差為5.69 t(7.4 t×76.9%=5.69 t),后軸的誤差為-5.32 t(21.1 t×-25.2%=-5.32 t)，相應(yīng)總重的誤差為0.37 t。這使得總重誤差的變化范圍較小，為[-1.5%，1.3%]，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.9%。由此可知，商用BWIM算法車輛總重的識別精度較高，單軸軸重的分配不合理，識別精度較差。②對于橋梁動態(tài)稱重迭代算法，車輛總重識別精度較高，其誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都較低，分別為0.1%和0.9%。相比之下，單軸軸重的識別精度稍差。其中：前軸軸重的計算值一般小于真實值，其誤差變化范圍為[-30.8%，0.1%]；而后軸軸重計算值普遍大于真實值，其誤差范圍為[-0.5%，9.7%]。前軸軸重誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都大于后軸軸重，數(shù)值上是相應(yīng)后軸軸重誤差的3倍左右。③對比兩種算法發(fā)現(xiàn)，車輛總重誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都較低。這表明兩種算法的總重識別精度都達(dá)到了較高的水平。對于單軸軸重，雖然橋梁動態(tài)稱重迭代算法單軸軸重誤差的均值大于商用BWIM算法，但商用BWIM算法計算得到的單軸軸重誤差絕對值都不小于橋梁動態(tài)稱重迭代算法的計算誤差。以第一組數(shù)據(jù)為例，橋梁動態(tài)稱重迭代算法的軸重誤差絕對值(前軸1.2%，后軸0.5%)明顯低于商用BWIM算法的計算誤差(前軸47.0%，后軸14.4%)。此外，橋梁動態(tài)稱重迭代算法單軸軸重計算誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(前軸10.8%，后軸3.2%)也明顯低于商用BWIM算法(前軸49.0%，后軸16.3%)。由此說明，相比商用BWIM算法，橋梁動態(tài)稱重迭代算法能顯著改善車輛軸重識別的精度。

3.3 分 析

為了研究橋梁動態(tài)稱重迭代算法改善軸重識別精度的原理，以表1中的第三組數(shù)據(jù)為例，繪制出每次迭代稱重后相應(yīng)的軸重，如圖5所示。圖中的點線表示車輛軸重的真實值，實線表示每次迭代計算后的車輛軸重。這里需要指出的是，當(dāng)?shù)螖?shù)為0時，橋梁動態(tài)稱重迭代算法等效于商用BWIM算法，即：軸重的計算值與商用BWIM算法的計算值相同。

圖5 迭代過程中軸重變化圖Fig.5 Axial weight change diagram during iteration

由圖5可知：在迭代計算過程中，軸重前期變化的較快，曲線的斜率較大；當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到30以后，每次迭代的軸重變化率越來越小，曲線趨于平緩，直到計算結(jié)果收斂為止。相比于初始軸重(商用BWIM算法的軸重結(jié)果)，軸重不斷向?qū)嶋H軸重值靠近，最終在實際軸重附近收斂。

在軸重計算的過程中，軸重變化的同時，橋梁的實測影響線也在不斷更新，其變化過程如圖6所示。為了較全面地反映實測影響線的變化過程，圖中分別繪出了初始(基準(zhǔn))影響線ILo(所有實測影響線的均值)、迭代1次的影響線IL1、迭代30次的影響線IL30、最終的影響線ILe以及第三組實測車橋動力響應(yīng)所對應(yīng)的實測影響線ILs。

由圖6可知：①基準(zhǔn)影響線與第三組實測車橋動力響應(yīng)所對應(yīng)的實測影響線有較大差異。這是由于ILo是所有實測影響線的均值，消除了影響線中部分的車橋動力效應(yīng)，使得ILo曲線比ILs曲線更加平緩，振蕩更少。ILo的最大峰值(7.89)明顯低于ILs(8.94)，這導(dǎo)致由ILo計算出的軸重偏大。②經(jīng)過第一次迭代計算，更新后的影響線IL1形狀發(fā)生較大變化。IL1的峰值曲線變的更陡峭，波峰和波谷的位置也發(fā)生了細(xì)微的改變。這是由于實測車橋動力響應(yīng)含有較明顯動力效應(yīng)(見圖3)，利用已知A1計算出的影響線IL1比ILo包含更多的動力信號，影響線IL1的相位角信息(波峰和波谷所在的位置)更貼合實測車橋動力響應(yīng)的變化規(guī)律。③隨著迭代次數(shù)的增加，更新后的影響線的峰值逐漸向ILs靠近，最終收斂于ILe。ILe和ILs曲線的變化規(guī)律相同，各個峰值點的數(shù)值相近，因此，由ILe計算得到的軸重與真實軸重相近。

圖6 迭代過程中影響線對比圖Fig.6 Influence line comparison diagram during iteration

3.4 討 論

由上文可知，在軸重識別過程中，橋梁動態(tài)稱重迭代算法通過基準(zhǔn)影響線不斷迭代更新，得到與實測車橋動力響應(yīng)較完美匹配的影響線，由此便可計算出與真實值相近的車輛軸重。為了探究基準(zhǔn)影響線的選取對軸重識別精度的影響，本節(jié)分別以10組實測影響線為基準(zhǔn)影響線對所有的實測車橋動力響應(yīng)進(jìn)行軸重識別，計算結(jié)果如表2所示。表中序號表示軸重識別采用的基準(zhǔn)影響線號碼。以序號1為例，它表示以第1組車轎動力響應(yīng)所得的實測影響線作為基準(zhǔn)影響線，對所有車轎動力響應(yīng)進(jìn)行動態(tài)稱重，得到軸重識別誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表2 不同基準(zhǔn)影響線對應(yīng)的車輛軸重識別誤差匯總表 Tab.2 Summary of vehicle axle weight identification error corresponding to different baseline influence lines %

由表2可知：不同的實測影響線作為基準(zhǔn)影響線進(jìn)行軸重識別，計算結(jié)果的精度存在一定差異。以前軸為例，軸重識別誤差平均值的范圍為[-65.5%,43.2%]，其中，絕對值最小的誤差平均值是選用4號實測影響線進(jìn)行軸重識別的結(jié)果，達(dá)到了10.6%。而最大的絕對值選用的是6號實測影響線，達(dá)到了-65.5%。對比表1發(fā)現(xiàn)，表2的計算結(jié)果都要高于以影響線均值作為基準(zhǔn)影響線的計算誤差。這說明單一車橋動力響應(yīng)提取出的實測影響線不能較全面的反映橋梁的力學(xué)特性，若直接用于橋梁動態(tài)稱重迭代算法，無法迭代更新出與所測車橋動力響應(yīng)相匹配的影響線，將不能得到較高精度的車輛軸重。因此，橋梁動態(tài)稱重迭代算法宜選用實測影響線的均值作為基準(zhǔn)影響線進(jìn)行軸重識別。

4 結(jié) 論

為了改善BWIM系統(tǒng)的軸重識別精度，本文提出了一種新的橋梁動態(tài)稱重算法——橋梁動態(tài)稱重迭代算法?；趹鸦杷鍢蛞龢虻能嚇騽恿υ囼?，分別對商用BWIM算法和橋梁動態(tài)稱重迭代算法進(jìn)行軸重識別，進(jìn)行對比分析，得出如下結(jié)論：

(1)實橋試驗的計算結(jié)果表明，商用BWIM算法可以得到較高精度的總軸重，但其單軸軸重識別的精度較差。

(2)相比于商用BWIM算法，橋梁動態(tài)稱重迭代算法通過反復(fù)應(yīng)用Moses算法和影響線算法，更新基準(zhǔn)影響線，使其能更好地匹配車橋動力響應(yīng)，從而計算出誤差更小的車輛軸重。

(3)橋梁動態(tài)稱重迭代算法中，選用不同的實測影響線作為基準(zhǔn)影響線，軸重識別的精度存在一定的差異。其中：最能反映橋梁真實力學(xué)特性的均值影響線能夠在軸重識別過程中得到較高的精度。

(4)橋梁動態(tài)稱重迭代算法更新迭代出的影響線包含更多橋梁信息(如：車橋耦合信號、噪聲信號、路面不平整度等)，后續(xù)可用于橋梁安全評定。