基于Melnikov方法的分?jǐn)?shù)階Duffing振子混沌閾值解析研究

秦 浩，溫少芳，申永軍，邢海軍，王 軍

(1.石家莊鐵道大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)存在了300多年，但是目前還是一個(gè)比較新鮮的概念。早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立初期，法國學(xué)家Hospital和德國數(shù)學(xué)家Leibniz就提出了分?jǐn)?shù)階的概念[1-3]，但是由于缺乏實(shí)際應(yīng)用背景的支撐等諸多方面原因使得它長期以來沒有得到研究和發(fā)展。隨著自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的發(fā)展和工程的實(shí)際需要，各種復(fù)雜的系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)技術(shù)引入到工程領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階微積分的定義、特性和計(jì)算等才得以在工程領(lǐng)域應(yīng)用。目前，分?jǐn)?shù)階微積分在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用主要分為兩類：一類是分?jǐn)?shù)階微積分的控制，能夠提高控制的效果和系統(tǒng)的魯棒性；另一類是利用分?jǐn)?shù)階微積分建模，很多工程材料介于理想固體與理想流體之間，具有記憶特性，用分?jǐn)?shù)階微積分來模擬更加準(zhǔn)確，更能反應(yīng)真實(shí)的本構(gòu)關(guān)系[4-8]。

早期學(xué)者在解釋生活中的經(jīng)典現(xiàn)象時(shí)提出了許多假說，其中大部分是基于整數(shù)階模型模擬自然現(xiàn)象，并且模擬后的結(jié)果能夠滿足當(dāng)時(shí)的需求，因此人們忽視了分?jǐn)?shù)階模型。隨著研究的深入，研究者們發(fā)現(xiàn)對于一些具有黏彈性特性的材料單純用整數(shù)階的模型無法滿足精度的需要，工程系統(tǒng)中的非光滑性、不連續(xù)性、參數(shù)激勵(lì)、間隙等，使得系統(tǒng)響應(yīng)變得更加復(fù)雜，并且會(huì)降低系統(tǒng)的整體性能，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)分岔和混沌的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[9-14]。因此人們將整數(shù)階模型進(jìn)一步優(yōu)化為分?jǐn)?shù)階模型，用分?jǐn)?shù)階微分方程來模擬非經(jīng)典現(xiàn)象，能夠更精確地反應(yīng)材料的本構(gòu)關(guān)系，更好地滿足實(shí)際的需求。在控制方面，分?jǐn)?shù)階相較于整數(shù)階的優(yōu)點(diǎn)在于能夠控制或改變系統(tǒng)的閉環(huán)控制特性，增強(qiáng)控制效果，提高系統(tǒng)的魯棒性。所以大量的學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階微分方程的典型力學(xué)特性和分?jǐn)?shù)階微積分對整個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)力學(xué)特性的影響[15]。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分方程的求解成為學(xué)者們研究的一個(gè)熱點(diǎn)方向。分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算較為復(fù)雜，大部分的文獻(xiàn)中對分?jǐn)?shù)階的處理采用數(shù)值計(jì)算的方法，除此之外還有定性和解析的方法。數(shù)值計(jì)算方法是處理分?jǐn)?shù)階微積分的一個(gè)主流分支，應(yīng)用較為廣泛，如Diethelm等[16]討論了一種可以應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階微分方程的求數(shù)值解的Adams型預(yù)測-矯正法；Firdous等[17]提出了一種基于哈爾小波求解分?jǐn)?shù)階微分方程的新的運(yùn)算矩陣方法用于求解線性和非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值結(jié)果；Javidi等[18]提出了一種基于同倫微擾法和拉普拉斯變換求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值方法。定性研究則側(cè)重分析方程解的數(shù)目和穩(wěn)定性的變化，比如Trigeassou等[19]利用李雅普諾夫方法通過頻率分布分?jǐn)?shù)階微積分模型研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的穩(wěn)定性；Qi等[20]提出了分?jǐn)?shù)階的階次大于1小于2時(shí)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)新定理和Caputo分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的兩個(gè)新定理，方便了使用李雅普諾夫方法證明分?jǐn)?shù)階非線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解析研究是通過求得近似解析解對方程進(jìn)行定量分析，比如Shen等[21-23]利用平均法分別研究了分?jǐn)?shù)階Duffing振子和分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的近似解析解，提出了等效線性剛度和等效線性阻尼的概念，分析了分?jǐn)?shù)階微分的參數(shù)對不同振子動(dòng)力學(xué)特性的影響；姜源等[24]采用平均法研究了含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子的超諧與亞諧聯(lián)合共振，得到了一階近似解析解，分析了分?jǐn)?shù)階微分的參數(shù)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，并且提出了超、亞諧聯(lián)合共振時(shí)等效線性阻尼和等效線性剛度的概念；顧曉輝等[25]利用多尺度法得到了兩個(gè)諧波激勵(lì)作用下分?jǐn)?shù)階Duffing振子的一類組合共振的一階近似解析解，并且研究分析了定常解的穩(wěn)定性；Tabejieu等[26]通過平均法研究了分?jǐn)?shù)階階次對非線性Rayleigh梁振幅幅值的影響，證明了隨著分?jǐn)?shù)階階次的增加，梁的共振振幅減小，同時(shí)利用Melnikov方法分析了混沌產(chǎn)生的必要條件。

關(guān)于Duffing振子產(chǎn)生混沌必要條件的問題，很多學(xué)者利用Melnikov方法對其進(jìn)行了研究。如：Shen等[27]基于Melnikov方法分析了帶有位移延遲反饋和速度延遲反饋的整數(shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的必要條件，分析了位移延遲反饋和速度延遲反饋分別影響混沌產(chǎn)生必要條件的規(guī)律。Sun等[28]利用Melnikov方法研究了具有位移延遲反饋和速度延遲反饋的整數(shù)階Duffing系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下的混沌行為，導(dǎo)出了同宿分岔產(chǎn)生混沌的必要條件的解析解。Wen等[29]用Melnikov方法研究了強(qiáng)迫激勵(lì)下的整數(shù)階Duffing振子在位移延遲反饋和速度延遲反饋控制下的異宿分岔和混沌現(xiàn)象。張思進(jìn)等[30]研究了具有立方非線性項(xiàng)和外部激勵(lì)項(xiàng)的二自由度非線性碰振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，分別運(yùn)用改進(jìn)后的局部亞諧Melnikov方法和數(shù)值方法得到了二自由度碰振系統(tǒng)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的存在條件。Abtahi[31]采用Melnikov方法研究了陀螺衛(wèi)星復(fù)雜自旋軌道動(dòng)力學(xué)中的混沌現(xiàn)象。多數(shù)文獻(xiàn)主要針對整數(shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的問題進(jìn)行研究，關(guān)于分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌必要條件多采用數(shù)值解，解析結(jié)果還未見相關(guān)文獻(xiàn)。下面重點(diǎn)關(guān)注應(yīng)用Melnikov方法研究含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子的分岔和混沌現(xiàn)象的問題。Melnikov方法是一種預(yù)測系統(tǒng)混沌的一階近似方法，本文基于Melnikov方法提出一種分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌必要條件的新的研究思路。首先將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)進(jìn)行了處理，利用等效阻尼和等效剛度的概念，將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)等效成三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的形式。接著利用Melnikov方法研究分?jǐn)?shù)階Duffing振子的同宿軌分岔與混沌的產(chǎn)生條件。最后將解析結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了解析結(jié)果的準(zhǔn)確度，并分析了分?jǐn)?shù)階的階次和系數(shù)對分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的必要條件的影響。

1 分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的必要條件

研究如下的含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子

(1)

(2)

式中，Γ(n)為Gamma函數(shù)，Γ(y+1)=yΓ(y)。

設(shè)式(1)的解滿足

x(t)=acos(ωt+θ)

(3a)

(3b)

利用Caputo定義求解分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)，將式(3)代入式(2)，得到

(4)

引入s=t-u，則式(4)變?yōu)?/p>

(5)

引入兩個(gè)基本公式[32]

(6a)

(6b)

代入式(5)，得到

(7)

代入方程原參數(shù)，得到

(8)

本文主要研究式(1)經(jīng)過長時(shí)間振動(dòng)穩(wěn)定以后的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，所以在后面的研究中將高階項(xiàng)略掉，只取一階近似項(xiàng)，即

(9)

式(9)得到的結(jié)果與很多文獻(xiàn)中得到的結(jié)論相同，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)不僅起著阻尼的作用，同時(shí)也有剛度的作用，可以等價(jià)為等效線性阻尼和等效線性剛度。下面利用等效線性剛度與等效線性阻尼的概念，將式(9)代入式(1)變?yōu)?/p>

(10)

整理式(10)可得

(11)

引入c=εc1,λ=ελ1,f=εf1。

其中，ε為小參數(shù)，則式(11)變?yōu)?/p>

(12)

當(dāng)ε=0時(shí)，則系統(tǒng)為未擾動(dòng)系統(tǒng)

(13)

在式(13)中，存在一個(gè)同宿軌道滿足

(14)

(15)

對式(14)進(jìn)行積分計(jì)算，得到

(16)

計(jì)算式(16)的定積分，整理得到

(17)

將式(12)轉(zhuǎn)化為

(18a)

其中，

(18b)

(18c)

(18d)

同宿軌道的位移為

(19a)

(19b)

建立Melnikov函數(shù)[33]

(20)

將式(20)中的定積分分為兩部分M1(t0)和M2(t0)，分別經(jīng)過定積分計(jì)算，得到

(21a)

根據(jù)函數(shù)的奇偶性質(zhì)，式(21a)變?yōu)?/p>

(21b)

(22)

聯(lián)立式(20)～式(22)，可以得到small意義下混沌的必要條件為

(23a)

代入原系統(tǒng)參數(shù)，式(23a)可變?yōu)?/p>

(23b)

當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)產(chǎn)生的等效剛度小于系統(tǒng)的固有剛度時(shí)，將式(23b)中的絕對值去掉，得到分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件為

(24)

2 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文解析結(jié)果的正確性，下面將數(shù)值結(jié)果與本文解析結(jié)果進(jìn)行對比。數(shù)值仿真利用Diethelm等研究中的預(yù)測矯正法對分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)式(1)進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果中不穩(wěn)定的響應(yīng)去掉，選取穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的部分，分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況。

本文中選取的基本參數(shù)c=0.2，k=1，α=1，ω=1.1，λ=0.1，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階次以p=0.5為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證。系統(tǒng)初值首先取為“1，0，0，0”，計(jì)算時(shí)間取為10 000 s，舍去前5 000 s，確保數(shù)值的穩(wěn)定性。并使振幅f由0～0.5變化，選擇步長為0.005，得到系統(tǒng)式(1)產(chǎn)生分岔到混沌的過程示于圖1(a)中。從圖1(a)中可以看出系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的臨界外激勵(lì)振幅fmin約為0.23，放大f=0.23周圍的分岔圖見圖1(b)，橫軸為外激勵(lì)振幅f從0.20～0.26，步長選取0.001。

從圖1(b)中可以看出混沌產(chǎn)生的臨界振幅fmin約為0.234。為了證明f=0.234為產(chǎn)生混沌的臨界點(diǎn)，下面f分別取為0.21，0.22，0.227，0.233，0.234時(shí)，分析其系統(tǒng)響應(yīng)的特性如下：

(1) 當(dāng)f=0.21時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖2(a)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為單周期運(yùn)動(dòng)。

(2) 當(dāng)f=0.22時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖2(b)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期2的運(yùn)動(dòng)。

(3) 當(dāng)f=0.227時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖2(c)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期4的運(yùn)動(dòng)。

(4) 當(dāng)f=0.233時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖2(d)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為擬周期的運(yùn)動(dòng)。

圖2 相圖與時(shí)間歷程圖Fig.2 Phase portrait and time history

(5) 當(dāng)f=0.234時(shí)，Duffing系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖3所示，從圖中可以看出系統(tǒng)此時(shí)處于混沌狀態(tài)。

由圖1～圖3的仿真結(jié)果，可以看出：當(dāng)p=0.5時(shí)，外激勵(lì)振幅f=0.234是利用數(shù)值方法得到的分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的最小值。再根據(jù)本文解得的產(chǎn)生混沌必要條件的解析式(24)計(jì)算，得到系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的解析結(jié)果為fmin=0.22。對比數(shù)值解與解析解，差值為0.014。Melnikov方法本身是一種求解產(chǎn)生混沌必要條件的一階近似方法，所以數(shù)值解與解析解必然會(huì)存在著誤差。為了判斷差值是否在合理范圍內(nèi)，將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)設(shè)為零，其他參數(shù)取值同上。使用龍格庫塔法求解此整數(shù)階Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的fmin數(shù)值解為0.192，而利用Melnikov方法計(jì)算的整數(shù)階Duffing振子產(chǎn)生混沌的必要條件fmin為0.173，整數(shù)階情況下數(shù)值解與解析解的差值為0.019。兩個(gè)差值屬于同一量級(jí)，說明這種誤差主要源自Melnikov方法本身。而本文中提出的利用等效阻尼和等效剛度將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)等效替換成整數(shù)階系統(tǒng)進(jìn)行分析，精確度較高，方法可行。

圖1 分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram

圖3 相圖與時(shí)間歷程圖Fig.3 Phase portrait and time history

在數(shù)值仿真過程中，還發(fā)現(xiàn)改變系統(tǒng)的初值時(shí)，出現(xiàn)了另外一條通過倍周期分岔通往混沌的路徑，如：當(dāng)初值取為“-1，0，0，0”時(shí)，其他系統(tǒng)參數(shù)的取值同上，得到的系統(tǒng)分岔圖如圖4所示。當(dāng)f分別為0.21，0.22，0.227，0.233和0.234時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如下：

(1) 當(dāng)f=0.21時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖5(a)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為單周期運(yùn)動(dòng)。

(2) 當(dāng)f=0.22時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖5(b)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期2的運(yùn)動(dòng)。

(3) 當(dāng)f=0.227時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖5(c)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期4的運(yùn)動(dòng)。

(4) 當(dāng)f=0.233時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖5(d)所示，此時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為擬周期的運(yùn)動(dòng)。

(5) 當(dāng)f=0.234時(shí)，分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖如圖6所示,與圖3(a)和圖3(b)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，均為混沌狀態(tài)。

通過圖1和圖4、圖2和圖5、圖3和圖6的兩兩對比分析可知：當(dāng)f取值小于0.234時(shí)，選取上述不同初值時(shí)，分?jǐn)?shù)階Duffing振子的運(yùn)動(dòng)特性都是相同的，相圖方向相反，分別為圖3和圖6中的混沌相圖的左右半支。但是不同初值時(shí)，產(chǎn)生混沌的臨界位置并沒有改變，fmin仍為0.234。所以，可以證明改變系統(tǒng)的初值不會(huì)改變系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件,但是取不同初值分?jǐn)?shù)階Duffing振子會(huì)通過不同的倍周期分岔路徑到達(dá)混沌。主要原因是該分?jǐn)?shù)階Duffing振子具有雙穩(wěn)態(tài)特性，在文中參數(shù)條件下，外激勵(lì)f取值小于圖4所示的分岔點(diǎn)f1處時(shí)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)，存在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解。取不同初值時(shí)，將進(jìn)入不同的吸引域從而形成不同的穩(wěn)態(tài)解。從兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解出發(fā)，隨著外激勵(lì)參數(shù)的變化都能通過倍周期分岔到達(dá)混沌的狀態(tài)。

圖4 p=0.5的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram for p=0.5

圖5 相圖與時(shí)間歷程圖Fig.5 Phase portrait and time history

圖6 相圖與時(shí)間歷程圖Fig.6 Phase portrait and time history

3 分?jǐn)?shù)階參數(shù)的影響分析

下面主要研究分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階次和系數(shù)對分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生分岔和混沌的必要條件的影響。

首先分析分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階次對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的影響。選取的基本參數(shù)為c=0.2，k=1，α=1，ω=1.1，λ=0.1，分?jǐn)?shù)階階次p在[0 1]取值，利用本文解得的解析結(jié)果，即式(24)，得到系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅fmin與分?jǐn)?shù)階階次p的關(guān)系曲線，示于圖7中用實(shí)線表示。從圖7可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p從0增大到1的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件fmin是逐漸增大的。為了驗(yàn)證本文的解析結(jié)果的精確度，在不同p值時(shí)，利用數(shù)值仿真的方法也進(jìn)行了驗(yàn)證，圖中圓圈分別代表不同分?jǐn)?shù)階階次下的數(shù)值仿真結(jié)果，從兩者之間的對比可以看出有一定的差值，本文得到的解析值在定量上小于數(shù)值結(jié)果，但整體趨勢相同，定性分析是一致的?？梢姺?jǐn)?shù)階階次的增加能抑制系統(tǒng)的分岔和混沌的產(chǎn)生。

圖7 數(shù)值解和解析解比較Fig.7 The comparisons between the numerical and analytical solutions

接著分析分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的影響。選取的基本參數(shù)為c=0.2，k=1，α=1，ω=1.1，分?jǐn)?shù)階階次p在[0 1]取值，如圖8(a)所示。經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)改變分?jǐn)?shù)階項(xiàng)系數(shù)λ變大時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件要求fmin也要不斷增大，可見分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)的增大同樣也會(huì)抑制分?jǐn)?shù)階Duffing振子產(chǎn)生分岔和混沌的現(xiàn)象。

選取分?jǐn)?shù)階階次p為0.5時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件fmin隨著分?jǐn)?shù)階系數(shù)改變的變化規(guī)律見圖8(b)所示，從圖中可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)λ的增加，fmin也會(huì)逐漸增大，當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)λ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性剛度k時(shí)，解析解和數(shù)值解之間的差別較小。當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)λ繼續(xù)增大，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的等效線性剛度接近于系統(tǒng)的線性剛度k時(shí)，fmin出現(xiàn)增大較快的現(xiàn)象，此時(shí)解析解和數(shù)值解之間的差值會(huì)加大。這是因?yàn)槔玫刃Ь€性阻尼和等效線性剛度來替代分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的方法省略了式(8)的高階項(xiàng)，當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的等效線性剛度與線性剛度k越接近時(shí)，省略的兩項(xiàng)高階項(xiàng)所占的比值就會(huì)越大，所以此時(shí)解析解和數(shù)值解差值會(huì)加大。因此本文的解析方法要求分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)要遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的線性剛度k。

圖8 分?jǐn)?shù)階系數(shù)的影響Fig.8 The influence of fractional order coefficients

4 結(jié) 論

本文利用Melnikov方法研究了含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子產(chǎn)生混沌的必要條件，將分?jǐn)?shù)階Duffing振子中分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)替換成等效線性阻尼與等效線性剛度，用Melnikov方法分析等效后的整數(shù)階系統(tǒng)的同宿軌分岔和產(chǎn)生混沌的必要條件，并得到了其解析結(jié)果，并通過數(shù)值迭代的方法驗(yàn)證了其精確度。通過對比不同階次情況下數(shù)值解與解析解得到的產(chǎn)生混沌的閾值，發(fā)現(xiàn)解析解的趨勢與數(shù)值迭代模擬一致，臨界激勵(lì)振幅fmin會(huì)隨著分?jǐn)?shù)階階次的增加而增大，定性結(jié)果相同，Melnikov方法分析系統(tǒng)混沌產(chǎn)生的必要條件是一階近似結(jié)果，因此數(shù)值結(jié)果與解析解之間的定量差異是可以接受的。最后分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的影響。在數(shù)值模擬過程中,還發(fā)現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階Duffing振子中，當(dāng)選取不同的初值時(shí)，存在兩條通過倍周期分岔通往混沌的路徑，并通過分析其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)證實(shí)了這一現(xiàn)象。本文提出的將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)替換為三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)形式的等效線性阻尼和線性剛度的方法可以推廣應(yīng)用于其他類似的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中，為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究提供了新的研究思路。