考慮彈性變形的月面表取機(jī)械臂精度補(bǔ)償方法

陳 鋼，孫豐磊，李 彤，邵 文

（北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100876）

月球是距離地球最近的天體，是人類(lèi)進(jìn)行深空 探測(cè)的前沿陣地，對(duì)月球的研究將促進(jìn)人類(lèi)對(duì)月球、地外行星乃至太陽(yáng)系的認(rèn)識(shí)。月壤采樣返回是中國(guó)探月工程“繞、落、回”三部曲的最終章[1]。空間機(jī)械臂具有技術(shù)成熟、靈活性好等優(yōu)點(diǎn)，適合代替人類(lèi)執(zhí)行采樣任務(wù)[2]。表取機(jī)械臂是空間機(jī)械臂的一個(gè)重要分支，在月球表面采樣工作中，表取機(jī)械臂的任務(wù)是多次抓取月球表面的月壤并傾瀉到采樣封裝裝置中，采樣結(jié)束后，提取采樣封裝裝置，將其轉(zhuǎn)移到返回艙。機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度決定了表取機(jī)械臂能否順利完成采樣任務(wù)，是衡量機(jī)械臂操作性能的重要指標(biāo)，提高機(jī)械臂絕對(duì)定位精度對(duì)于確保采樣任務(wù)完成至關(guān)重要[3?4]。

由于受到加工裝配誤差、關(guān)節(jié)背隙、編碼器誤差等因素影響，機(jī)械臂實(shí)際運(yùn)動(dòng)參數(shù)與名義運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間存在誤差，導(dǎo)致機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度下降[5]。此外，對(duì)于表取機(jī)械臂而言，兩桿件為細(xì)長(zhǎng)桿，跨度較大，桿件上的微小變形映射到機(jī)械臂末端會(huì)產(chǎn)生較大的末端位置誤差，機(jī)械臂自重、負(fù)載及外力等引起的彈性變形是導(dǎo)致機(jī)械臂末端位置誤差的主要原因。

分析彈性變形對(duì)機(jī)械臂末端位置誤差影響，需要建立彈性變形量對(duì)于末端位置誤差映射關(guān)系。針對(duì)該問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。Khalil等基于逆向動(dòng)力學(xué)模型對(duì)關(guān)節(jié)、桿件進(jìn)行受力分析，建立坐標(biāo)系間彈性傳遞矩陣，并推導(dǎo)構(gòu)造幾何參數(shù)與彈性參數(shù)雅可比矩陣[6]；Meggiolaro 等以多項(xiàng)式近似的方法建立了彈性誤差模型[7]；Zhou 等通過(guò)分析關(guān)節(jié)附加力矩與末端負(fù)載映射關(guān)系建立有關(guān)關(guān)節(jié)變形的彈性誤差模型[8]；劉志等對(duì)機(jī)械臂桿件彎曲變形進(jìn)行分析并提出一種考慮結(jié)構(gòu)變形的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)償模型[9]；伍小凱通過(guò)建立幾何誤差與彈性誤差綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型對(duì)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)辨識(shí)[10]；陳宵燕采用線性扭簧理論構(gòu)建機(jī)械臂柔度誤差模型，并基于此建立了機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ蚚11]。

調(diào)研結(jié)果表明：現(xiàn)階段彈性建模方法并未綜合考慮靜外力/力矩對(duì)機(jī)械臂桿件、關(guān)節(jié)產(chǎn)生的拉伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)變形的影響，造成彈性變形量與機(jī)械臂末端誤差間映射關(guān)系表征不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致后續(xù)幾何參數(shù)標(biāo)定精度不高。針對(duì)表取機(jī)械臂多種彈性變形耦合引起的末端絕對(duì)定位精度問(wèn)題，本文建立了受彈性變形影響的機(jī)械臂彈性誤差模型；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合幾何誤差模型建立機(jī)械臂綜合誤差模型，并通過(guò)幾何參數(shù)標(biāo)定的方法對(duì)末端絕對(duì)定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償；通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了文中提出精度補(bǔ)償方法的有效性。

1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

有效的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型必須滿足完備性、比例性和連續(xù)性的要求[12]。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)建模常常使用Denavit?Hartenberg (DH)法，表取機(jī)械臂由一 個(gè)偏航關(guān)節(jié)和3 個(gè)俯仰關(guān)節(jié)組成[13?14]。由于3 個(gè)俯仰關(guān)節(jié)均為平行關(guān)節(jié)，而平行關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)對(duì)兩軸之間的夾角誤差非常敏感[15]，當(dāng)兩平行關(guān)節(jié)軸間存在微小夾角時(shí)，會(huì)引起運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)突變，不滿足有效的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型要求。因此，本文采用改進(jìn)的DH（Modified DH, MDH)方法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[16]，MDH 方 法 采 用αi、ai、θi、di、βi這5 個(gè) 參 數(shù) 描述桿件間的關(guān)系。其中：αi稱(chēng)為桿件i 扭角，即關(guān)節(jié)i 和關(guān)節(jié)i+1 軸線的夾角；ai為桿件i 長(zhǎng)度，即關(guān)節(jié)i 和關(guān)節(jié)i+1 軸線公垂線長(zhǎng)度；θi為關(guān)節(jié)i 的轉(zhuǎn)角，即桿件i 和桿件i+1 軸線的夾角；di為關(guān)節(jié)i 的偏置，即桿件i 和桿件i+1 軸線公垂線偏置；βi與αi類(lèi)似，同樣用于描述兩關(guān)節(jié)間軸線夾角。

“嫦娥5”表取機(jī)械臂MDH 坐標(biāo)系及MDH 參數(shù)分別如圖1 及表1 所示。

圖1 表取機(jī)械臂MDH 坐標(biāo)系Fig.1 MDH coordinate systems of the manipulator

表1 表取機(jī)械臂MDH 參數(shù)Table 1 MDH parameters of lunar sampling manipulator

機(jī)械臂桿件坐標(biāo)系間變換可以表示為

式中：i=1,2,3,4；Trot(X,αi)表示繞X 軸旋轉(zhuǎn)αi變換矩陣；Ttrans(X,ai)表示沿X 軸平移ai變換矩陣；Trot(Z,θi)表示繞Z 軸旋轉(zhuǎn)θi變換矩陣；Ttrans(Z,di)表示沿Z 軸平移di變換矩陣；Trot(Y,βi)表示繞Y軸旋轉(zhuǎn)βi變換矩陣。

從慣性坐標(biāo)系到末端坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

2 機(jī)械臂彈性誤差建模

分析桿件、關(guān)節(jié)因靜外力導(dǎo)致的彈性變形量，基于此推導(dǎo)桿件彈性模型與關(guān)節(jié)彈性模型，綜合兩者建立機(jī)械臂綜合彈性誤差模型。表取機(jī)械臂的實(shí)際工作環(huán)境為月球重力環(huán)境，為保證地面模擬實(shí)驗(yàn)精度滿足機(jī)械臂實(shí)際工作精度要求，需要模擬月球的重力環(huán)境，往往采用施加靜態(tài)吊點(diǎn)力的方式來(lái)補(bǔ)償?shù)厍蛑亓Νh(huán)境，在進(jìn)行受力分析時(shí)需要考慮吊點(diǎn)力對(duì)關(guān)節(jié)、桿件彈性變形的影響。

2.1 桿件彈性變形分析

桿件A 與桿件B 跨度較大，在機(jī)械臂自身重力、機(jī)械臂上攜帶的設(shè)備等載荷的重力、操作物的重力等共同作用下發(fā)生彎曲、拉伸、扭轉(zhuǎn)變形。

2.1.1 桿件B 末端彈性變形誤差量

將桿件B 視為首端固定、末端自由的懸臂梁進(jìn)行受力分析[17]，桿件B 主要受力為自身重力G4、遠(yuǎn)攝像機(jī)重力Gc、吊點(diǎn)力F1；所受力矩為遠(yuǎn)攝像機(jī)重力產(chǎn)生力矩Mc、吊點(diǎn)力產(chǎn)生力矩MF1。

如圖2 所示，將桿件4 的重力和機(jī)械臂末端負(fù)載簡(jiǎn)化到桿件B 末端（關(guān)節(jié)4 軸線與桿件B 軸線的交點(diǎn)），得主矢G4和主矩M4，主矩M4分解為M4P與M4V，則有

式中：M4P數(shù)值為M4P=m4g(a5-r4z)；M4V數(shù)值為M4V=m4gr4xcosφ4；m4為 桿 件4 質(zhì) 量；g 為 重 力 加速度；r4x、r4z分別為桿件4 質(zhì)心在∑E系下的位置矢量沿XE和ZE軸分量。

受力分析如圖3 所示。桿件B 與水平方向的夾角φ3=θ2+θ3，將G4可分解為G4τ和G4n，G4τ使桿件拉伸，G4n使桿件向+y 方向彎曲，M4P可分解為M4Pτ和M4Pn，M4Pτ使 桿 件 沿+x 方 向 扭 轉(zhuǎn)，M4Pn使桿件向+z 方向彎曲，M4V使桿件向+y 方向彎曲。桿件自身的重力GB形成均勻載荷qB=mBg/lB（mB為桿件B 質(zhì)量，lB為桿件B 長(zhǎng)度）分解為qBτ和qBn，qBτ使 桿 件 拉 伸，qBn使 桿 件 沿+y 方 向彎曲。遠(yuǎn)攝像機(jī)的重力簡(jiǎn)化到桿件軸線上，得主矢Gc=mcg 和主矩Mc=-mcgrcz（mc為遠(yuǎn)攝像機(jī)質(zhì)量，rcz為遠(yuǎn)攝像機(jī)質(zhì)心在∑E系下的位置矢量沿ZE軸 分 量 的 模），Gc、Mc引 起 的 桿 件 變 形同G4、M4。

圖2 桿件4 重力向桿件3 末端等效示意圖Fig.2 Equivalent diagram of gravity of link 4 toward the end of link 3

圖3 桿件B 受力分析Fig.3 Schematic drawing of force analysis of link B

吊點(diǎn)在桿件B 上加一個(gè)豎直向上的力F1和力矩MF1，其中：MF1=FdFsinφ3，dF為吊點(diǎn)力作用點(diǎn)到桿件B 軸線的垂直距離。F1可分解為F1τ和F1n，F(xiàn)1τ使 桿 件 拉 伸，F(xiàn)1n使 桿 件 向-y 方 向 彎 曲；MF1使桿件向-y 方向彎曲。

桿件B 的變形示意圖如圖4 所示，桿件B 的末端由B1點(diǎn)移動(dòng)到B2點(diǎn)，則∑3e系的微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)DBe為

圖4 桿件B 的變形示意圖Fig.4 Schematic drawing of deformation of link B

2.1.2 桿件A 末端彈性變形誤差量

桿件A 主要受力為桿件3、桿件4 重力G34以及自身重力均勻載荷qA，對(duì)桿件A 按照桿件B 的分析思路進(jìn)行處理，得到桿件A 受力分析圖如圖5 所示。桿件A 末端坐標(biāo)系∑2e微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)DAe為

式中：qAτ、qAn為qA分力，分別使桿件拉伸和沿+y方向彎曲；G34τ、G34n為G34分力，使桿件拉伸變形和沿+y 方向彎曲；M34P、M34V為桿件3、桿件4 重力向桿件A 末端轉(zhuǎn)換時(shí)的等效力矩分力矩，M34Pτ、M34Pn則 為M34P分 力 矩，M34Pτ使 桿 件 沿+x 方 向 扭 轉(zhuǎn)，M34Pn使 桿 件 向+z 方 向 彎 曲，M34V使 桿 件 向+y 方向 彎 曲；EAA為 桿 件A 抗 拉 剛 度，EIA為 桿 件A 彎曲 剛 度，GIpA為 桿 件A 扭 轉(zhuǎn) 剛 度，lA為 桿 件A 長(zhǎng)度。微分變換為

圖5 桿件A 受力分析圖Fig.5 Schematic drawing of force analysis of link A

2.2 關(guān)節(jié)彈性變形分析

關(guān)節(jié)彈性變形主要為繞關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向的扭轉(zhuǎn)變形，拉伸變形與彎曲變形可忽略不計(jì)。關(guān)節(jié)受力主要為末端負(fù)載重力、吊點(diǎn)力、其余關(guān)節(jié)以及桿件重力。

2.2.1 關(guān)節(jié)4 坐標(biāo)系彈性變形誤差量

如圖6 所示，關(guān)節(jié)4 主要受到桿件4 重力以及末端負(fù)載影響。

圖6 桿件4 重力向關(guān)節(jié)4 簡(jiǎn)化示意圖Fig.6 Equivalent diagram of gravity of link 4 toward joint 4

將桿件4 的重力和機(jī)械臂末端負(fù)載簡(jiǎn)化到關(guān)節(jié)4 末端（關(guān)節(jié)4 軸線與桿件4 軸線的交點(diǎn)），得主矢G4=m4g 和 主 矩M4=M4P+M4V。 式 中：M4V=m4gr4xcosφ4，φ4=θ2+θ3+θ4，M4V使關(guān)節(jié)4 沿+z 方 向 扭 轉(zhuǎn)；m4為 桿 件4 質(zhì) 量，r4x、r4z分 別 為桿件4 質(zhì)心在∑4系下的位置矢量沿X4和Z4軸分量。

關(guān)節(jié)4 受力分析圖如圖7 所示。則∑4系相對(duì)于∑3e系的微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)為

2.2.2 其余關(guān)節(jié)坐標(biāo)系彈性變形誤差量

關(guān)節(jié)3 在桿件B、關(guān)節(jié)4、桿件4 的重力和機(jī)械臂末端負(fù)載合力G34以及吊點(diǎn)力F1作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，其受力分析如圖8 所示?！?系相對(duì)于∑2e系的微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)為

圖7 關(guān)節(jié)4 受力分析圖Fig.7 Schematic drawing of force analysis of joint 4

圖8 關(guān)節(jié)3 受力分析圖Fig.8 Schematic drawing of force analysis of joint 3

關(guān)節(jié)2 扭轉(zhuǎn)變形為桿件A、關(guān)節(jié)3、桿件B、關(guān)節(jié)4、桿件4 的重力和機(jī)械臂末端負(fù)載合力G234以及吊點(diǎn)力共同作用的結(jié)果，其受力分析圖如圖9所示。

圖9 關(guān)節(jié)2 受力分析圖Fig.9 Schematic drawing of force analysis of joint 2

∑2系相對(duì)于∑1系的微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)為

G234、吊點(diǎn)力向關(guān)節(jié)2 末端（關(guān)節(jié)2 軸線與桿件A 軸線的交點(diǎn)）轉(zhuǎn)換等效力矩分力矩，GIpJ2為關(guān)節(jié)2 扭轉(zhuǎn)剛度。

關(guān)節(jié)1 受力分析圖如圖10 所示。

圖10 關(guān)節(jié)1 受力分析圖Fig.10 Schematic drawing of force analysis of joint 1

由受力分析圖可知，關(guān)節(jié)1 無(wú)扭轉(zhuǎn)變形，則∑1相對(duì)于∑0的微分移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)為

2.3 彈性誤差建模

機(jī)械臂彈性變形包括關(guān)節(jié)彈性變形與桿件彈性變形兩部分，關(guān)節(jié)、桿件彈性變形將導(dǎo)致末端坐標(biāo)系發(fā)生偏移，與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)造成的末端位置誤差發(fā)生耦合，導(dǎo)致幾何參數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確辨識(shí)出來(lái)。去除彈性誤差影響，對(duì)于提高幾何參數(shù)標(biāo)定結(jié)果精度至關(guān)重要。

2.3.1 關(guān)節(jié)彈性模型

設(shè)T 和T′分別為慣性系到末端坐標(biāo)系的名義變換矩陣和實(shí)際變換矩陣，則

關(guān)節(jié)彈性變形后機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

由式(12)和式(13)可得關(guān)節(jié)彈性變形導(dǎo)致的末端變換矩陣微分dT 為

進(jìn)一步推導(dǎo)可得到關(guān)節(jié)彈性變形導(dǎo)致的末端位置誤差Df_J為

定義關(guān)節(jié)i 彈性變形引起的位置誤差與末端位置誤差之間的傳遞矩陣為

則式(17)可以寫(xiě)為

式中：Jf_J=[JJ1JJ2JJ3JJ4]表示關(guān)節(jié)彈性誤差與末端位置誤差之間的誤差傳遞矩陣，df_J=[dJ1dJ2dJ3dJ4]T為關(guān)節(jié)彈性誤差向量矩陣，各個(gè)誤差向量如式(8)至式(11)所示。

2.3.2 桿件彈性模型

由式(4)和式(6)可以得到∑2e系和∑3e系分別有位置誤差DAe、DBe。考慮桿件變形的機(jī)械臂坐標(biāo)系如圖11 所示。對(duì)于∑2系與∑3系的變換矩陣T3，設(shè)∑2系與∑2e系的變換矩陣為T(mén)31，∑2e系與∑3系的變換矩陣為T(mén)32；對(duì)于∑3系與∑4系的變換矩陣T4，設(shè)∑3系與∑3e系的變換矩陣為T(mén)41，∑3e系與∑4系的變化矩陣為T(mén)42。則

圖11 考慮桿件變形的機(jī)械臂坐標(biāo)系Fig.11 Coordinate systems considering deformation of links

由于桿件變形，使得矩陣T31和T41分別有微分變換Δk2e和Δk3e，即矩陣T31和T41的實(shí)際值為

桿件變形后機(jī)械臂末端坐標(biāo)系相對(duì)于慣性系的變換矩陣為

忽略高階無(wú)窮小，結(jié)合式(12)可得

定義dT =TΔL，則

可得由桿件變形產(chǎn)生的末端位置誤差Df_L在慣性系下的表示為

2.3.3 綜合彈性誤差模型

定義Jf=[Jf_LJf_J]，表示彈性誤差與末端位置誤差之間的誤差傳遞矩陣，df=[df_Ldf_J]T為彈性誤差向量矩陣，則綜合桿件彈性誤差模型與關(guān)節(jié)彈性誤差模型可得到彈性變形引起的末端位置誤差向量為

3 機(jī)械臂末端綜合精度補(bǔ)償

機(jī)械臂末端位置誤差包括由幾何參數(shù)誤差引起的位置誤差和彈性變形引起的位置誤差兩部分。上文已完成彈性誤差建模工作，下面主要對(duì)幾何參數(shù)誤差建模，然后對(duì)機(jī)械臂末端位置誤差進(jìn)行耦合性分析，分離由關(guān)節(jié)、桿件變形導(dǎo)致的末端位置誤差，最終對(duì)幾何參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

3.1 幾何參數(shù)誤差建模

對(duì)于桿件坐標(biāo)系，設(shè)Ti和Ti′ 分別為{i+1}系相對(duì)于{i}系的名義變換矩陣和實(shí)際變換矩陣，對(duì)變換矩陣微分進(jìn)行一階近似，可得

由式(28)可得相鄰桿件坐標(biāo)系相對(duì)于慣性系的位置誤差矩陣為

對(duì)變換矩陣微分進(jìn)行一階近似，可由式（30）計(jì)算[18]

計(jì)算得

設(shè)T 和T′分別為慣性系到末端坐標(biāo)系的名義變換矩陣和實(shí)際變換矩陣，則

由式(28)和式(32)可得

令Ui=TiTi+1…Tn(i=1,2,3,4)，Un+1=I4，式(33)可化為

則Δ 可寫(xiě)為

定義Dg為由幾何參數(shù)誤差引起的末端位置誤差向量

由式(35)和式(36)可推導(dǎo)出

令Jgi表示幾何參數(shù)誤差與末端位置誤差之間的誤差傳遞矩陣； ei=[ ΔαiΔaiΔθiΔdiΔβi]T（i=1，2，3，4）表示幾何參數(shù)誤差。式(37)可寫(xiě)為

3.2 模型參數(shù)耦合性分析

綜合幾何誤差模型與彈性誤差模型，可得到機(jī)械臂末端位置誤差向量為

式中：DEnd=PEmeas-PEnom，PEmeas為末端位置測(cè)量值，PEnom為末端位置理論值。

由式(39)表示的機(jī)械臂末端位置誤差向量中，末端位置理論值PEnom、由彈性誤差引起的末端位置誤差Df、由幾何參數(shù)誤差引起的末端位置誤差Dg、彈性誤差與末端位置誤差之間的傳遞矩陣Jf、幾何參數(shù)誤差與末端位置誤差之間的傳遞矩陣Jg，均為幾何參數(shù)的函數(shù)；此外，由于關(guān)節(jié)和桿件所受力矩陣FLi和FJi均為動(dòng)力學(xué)參數(shù)的函數(shù)，因此由彈性變形引起的末端位置誤差向量df為幾何參數(shù)和彈性參數(shù)的函數(shù)。

以E 表示全部幾何參數(shù)，S 表示全部彈性參數(shù)，則有

式中：E′=E+e，S′=S+Δs。式(40)中幾何參數(shù)誤差與彈性參數(shù)誤差存在耦合，忽略高階無(wú)窮小量，可將式(40)簡(jiǎn)化為

3.3 綜合精度補(bǔ)償

經(jīng)過(guò)上述分析可知，末端位置誤差是幾何參數(shù)和彈性參數(shù)共同作用的結(jié)果，幾何參數(shù)的標(biāo)定會(huì)受彈性參數(shù)誤差的影響，因此需先對(duì)彈性參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，然后再對(duì)幾何參數(shù)誤差進(jìn)行標(biāo)定，精度補(bǔ)償流程如圖12 所示。

由于幾何參數(shù)誤差與末端位置誤差之間的關(guān)系是線性的，因此采用最小二乘法進(jìn)行標(biāo)定。對(duì)于n 自由度串聯(lián)機(jī)器人，利用MDH 建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中含有5n 個(gè)幾何參數(shù)，取m 組末端位置構(gòu)建超定方程組，如式(42)所示。為保證順利求解，m 應(yīng)取大于5n/6 的整數(shù)。

本文只關(guān)注機(jī)械臂末端絕對(duì)定位誤差，即式(42)中Dg1…Dgm以及Jg1…Jgm均只有前三行有效，后三行中對(duì)應(yīng)的末端姿態(tài)誤差均為零。因此，為了順利求解全部的幾何參數(shù)，要求m 應(yīng)取大于5n/3的整數(shù)。

圖12 精度補(bǔ)償算法流程圖Fig.12 Flowchart of algorithm for accuracy compensation

利用最小二乘法求解式(43)，可得

為保證得到的幾何參數(shù)具有足夠的精度，需要利用最小二乘法進(jìn)行有限次迭代，以Ej=[αjajθjdj]T( j=1,…,N )表示第j 次標(biāo)定過(guò)程輸入的幾何參數(shù)，則有

式中：當(dāng)j=1 時(shí)（即第一次標(biāo)定過(guò)程），取e1=0，E1為初始幾何參數(shù)，E′j=Ej+ej。式(45)的收斂條件為ej+1=0。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了對(duì)本文所提出的考慮彈性變形的精度補(bǔ)償方法的正確性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證，選取28 組關(guān)鍵構(gòu)型，利用激光跟蹤儀測(cè)得28 組構(gòu)型絕對(duì)末端位置，將測(cè)得的末端位置作為輸入，利用本文提出的精度補(bǔ)償方法求解坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，進(jìn)而得到機(jī)械臂坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。如表2 所示為補(bǔ)償前后機(jī)械臂MDH 參數(shù)值以及誤差值。

表2 表取機(jī)械臂補(bǔ)償前后的MDH 參數(shù)Table 2 MDH parameters before and after compensation

對(duì)標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，選取50 組驗(yàn)證構(gòu)型，對(duì)比精度補(bǔ)償前后機(jī)械臂末端位置誤差。同時(shí)，忽略彈性變形對(duì)機(jī)械臂末端位置誤差的影響，僅對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并基于辨識(shí)獲得的坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)計(jì)算50 組驗(yàn)證構(gòu)型末端位置誤差。補(bǔ)償前、考慮彈性變形進(jìn)行補(bǔ)償、忽略彈性變形僅進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)3 種情況末端位置誤差沿X、Y、Z 坐標(biāo)軸的分量以及三軸合成誤差如圖13 所示。

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以得到補(bǔ)償前后末端位置誤差在各個(gè)坐標(biāo)軸上的最大值、最小值和平均值如表3 所示。

分析表3 中數(shù)據(jù)可以看出，補(bǔ)償后末端位置誤差沿各個(gè)坐標(biāo)軸的平均值比標(biāo)定前有明顯下降，誤差沿X、Y、Z 三軸分量的平均值分別下降88.90%、92.81%、93.13%，三軸合成的位置誤差平均值下降92.16%。補(bǔ)償后末端位置誤差沿各個(gè)坐標(biāo)軸的最大值比標(biāo)定前分別下降87.67%、84.87%、89.01%，三軸合成的位置誤差最大值下降88.63%。而且，綜合精度補(bǔ)償后末端位置誤差較幾何標(biāo)定末端位置誤差更小、效果更優(yōu)。通過(guò)分析可知，利用本文提出考慮彈性變形的精度補(bǔ)償方法得到的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)精度較高，能夠大幅提高表取機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度。

圖13 精度補(bǔ)償前后末端位置誤差Fig.13 Positioning error before and after compensation

表3 精度補(bǔ)償前后末端位置誤差對(duì)比Table 3 Comparison of positioning error in different sit?uations

5 結(jié) 論

針對(duì)大跨度、低剛度的表取機(jī)械臂存在的末端絕對(duì)定位精度問(wèn)題，本文首先對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)、桿件進(jìn)行了受力分析和形變分析，并推導(dǎo)了機(jī)械臂彈性誤差和末端位置誤差間的映射關(guān)系，從而建立了機(jī)械臂彈性誤差模型；然后，基于機(jī)械臂的MDH 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立了機(jī)械臂幾何誤差模型，表征機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差和末端位置誤差間的映射關(guān)系；進(jìn)而，建立彈性機(jī)械臂綜合誤差模型并且設(shè)計(jì)了可適用于表取機(jī)械臂的精度補(bǔ)償方法，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法能夠獲得準(zhǔn)確的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，大幅提高機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度。