條條大路通圓心
——小議與圓相關(guān)的距離問(wèn)題

韓 敏

在判斷直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)距離來(lái)衡量.我們看兩個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論：

結(jié)論1：已知點(diǎn)P(x0,y0)在圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0) 的外面，則圓M上任一點(diǎn)到點(diǎn)P距離的最大值為最小值為

圓是最完美的曲線，正因?yàn)槠渫昝溃芏嗟木嚯x問(wèn)題都與之相關(guān).

結(jié)論2：已知直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)與圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)相離，則圓M上任一點(diǎn)到直線l距離的最大值為最小值為

敲黑板

有些習(xí)題“套路深”，在表述的過(guò)程中，會(huì)故意避免“距離”一詞的出現(xiàn)，從而讓距離問(wèn)題披上了一層神秘.

你發(fā)現(xiàn)了嗎？結(jié)論1 的本質(zhì)是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，而結(jié)論2 的本質(zhì)是點(diǎn)到直線之間的距離.

一、將“距離”隱藏

1.利用不等式道“距離”

例 1圓C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0 所表示的區(qū)域內(nèi)，則h的最小值為_(kāi)_______.

解析二元一次不等式可以表示一條直線的某一側(cè)平面區(qū)域，圓在該區(qū)域內(nèi)即要求圓心到直線的距離大于或等于半徑.

同時(shí)要求圓心(h,1) 在直線x+y+1=0 的上方，所以h≥-2，

即h的最小值為-2.

2.利用幾何圖形道“距離”

例 2過(guò)直線l:y=2x上一點(diǎn)P作圓C:(x-8)2+(y-1)2=2的切線l1,l2，若l1,l2關(guān)于直線l對(duì)稱，則點(diǎn)P到圓心C的距離為_(kāi)_______.

解析因?yàn)閘1,l2關(guān)于直線l對(duì)稱，所以有CP⊥l，即求圓心到直線的距離.

二、將“圓”隱藏

1.利用軌跡方程得到“隱形圓”

例 3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1及點(diǎn)A(0,2)，若圓上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析由MA2+MO2=10 可知點(diǎn)M的軌跡為圓，所以本題實(shí)際上是圓與圓的位置關(guān)系，要求的是兩個(gè)圓心之間的距離的范圍.

設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由MA2+MO2=10 可知：x2+(y-2)2+x2+y2=10，

化簡(jiǎn)得圓C′：x2+(y-1)2=4.

所以該圓C′與圓C相交，則有

2.利用圓的定義得到“隱形圓”

例 4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的外接圓方程為x2+y2=4，∠ACB=

M為AB邊的中點(diǎn)，設(shè)P(-2,2)，則線段PM長(zhǎng)度的取值范圍是__________.

解析由∠ACB=可知∠AOB=，MO=1，所以點(diǎn)M的軌跡為圓，實(shí)際上是圓上一點(diǎn)與圓外一點(diǎn)的距離問(wèn)題.

由∠ACB=，知∠AOB=，所以O(shè)M=OAcos60°=1，

圖1

所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2y2+=1，點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，半徑為1 的圓上.

又P(-2,2)，則OP=，所以

所以線段PM長(zhǎng)度的取值范圍是

三、將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離

1.利用圖形的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化

例 5已知圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.

解析因?yàn)樗鞯膬蓷l切線是垂直的，所以點(diǎn)P和兩個(gè)切點(diǎn)，圓心四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形.

圓C的方程為(x-2)2+y2=4，圓心為C(2,0)，所以圓心到直線的距離

2.利用直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化

例 6設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是________.

解析直線MN與圓O有公共點(diǎn)，即圓心O到直線MN的距離小于等于1.

如圖2，過(guò)OA⊥MN，垂足為A，

在Rt△OMA中，因?yàn)椤螼MN=45°，所以|OA|=|OM|sin 45°=解得|OM|≤

因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,1)，所以解得-1≤x0≤1，

故x0的取值范圍是[-1,1].

圖2

牛刀小試

1.已知直線ax+y-2=0 與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a=________.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上，若圓C上的點(diǎn)M，滿足MA=2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為_(kāi)_______.

3.圓C的方程(x-1)2+(y-1)2=9，直線l:y=kx+3與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，M為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2 為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.