看八省聯(lián)考卷 解鎖導數(shù)壓軸

曹鳳山

函數(shù)與導數(shù)問題往往因為難度太大而讓人吐槽，又因為解法靈活背景深刻而魅力十足，更由于價值高而讓人既愛又恨難以割舍.這類問題高考將會如何考，如何備考、求解是大家比較關心的問題之一.

八省聯(lián)考，相信各位同學都“親自”參與.這次超大規(guī)模的聯(lián)考，你發(fā)揮得怎樣呢？壓軸題拿了多少分？

新題速遞（2021·八省聯(lián)考卷）已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當x＞-時，f(x)≥0；

（2）若g(x)≥2+ax，求a.

分析對于（1），有些同學“習慣性動作”直接求導：f′(x)=ex-cosx+sinx，發(fā)現(xiàn)f′(x)=0 沒有辦法求出零點，也不能判定導函數(shù)的符號，要求出函數(shù)f(x)的最小值簡直天方夜譚.宣布這是一道難題，與自己無緣！

實際上，觀察函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx的結構，含有指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx，cosx（而且熟悉sinx+cosx=根據(jù)這兩個函數(shù)的性質(zhì)，①x≥時，即x≥時f(x)≥0一定成立，只要證明在上f(x)≥0.

看到這些函數(shù)能想到什么？

指數(shù)函數(shù)ex單調(diào)遞增，特值點（0，1），正弦、余弦函數(shù)的有界性、周期性.

（當然，這里的范圍大一些也沒有關系，如x≥1 時ex≥e＞2≥sinx+cosx，f(x)≥0更明顯成立，也不用再合一變形）

不能全部解決也不放棄局部解決！

雖然研究范圍壓縮了，求最值的思路還是同樣不能實現(xiàn).

再審讀問題，本題是證明！不是求最小值問題.從證明視角出發(fā)，可以對待證明的形式ex-sinx-cosx≥0加以分析.聯(lián)想解題經(jīng)驗，為了求導后不再含有指數(shù)函數(shù)ex，可以適當變形.

敲黑板

前面不能求零點的根本原因在于含有指數(shù)函數(shù)ex.

令p(x)=，，由p′(x)==0得到x=0，即函數(shù)p(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以p(x)≤p(0)=1.

抽絲剝繭，分而治之，步步為營終得解.

綜合①②③，有f(x)≥0.

（2）若g(x)≥2+ax，即h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax≥0，由于h′(x)=ex-sinx+cosx-a含有參數(shù)，更難以確定零點、單調(diào)性等.

不少同學喜歡分離參數(shù)，嘗試一下肯定無功而返，游走于“解題套路”很難解決這些不按模式命制的試題.

注意觀察函數(shù)特點，有h(0)=0，又函數(shù)h(x)的圖象是連續(xù)曲線，h(x)≥0，

所以x=0 應該是函數(shù)h(x)的極小值點.

由h′(x)=ex+cosx-sinx-a，得h′ (0)=2-a=0，所以a=2.

下面再證明充分性.

當a=2 時，h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，

觀察導函數(shù)的特征，與函數(shù)f(x)極其類似，再求導，h′′(x)=ex-cosx-sinx.

又因為h′(0)=0，所以函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故當x＞-時，h(x)≥h(0)=0.

而當x≤-時，所以h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x≥0成立.

得證.

從以上求解過程分析我們可以發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)與導數(shù)解答題：

1.試題以核心知識為主線，基礎知識必須掌握牢固.

壓軸題突出函數(shù)的主線，重點知識重點考，如本題中要充分利用指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx，cosx的性質(zhì)，極小值的概念，導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關系等.基礎不牢地動山搖，備考與解題過程中要時時注意“回歸數(shù)學原點”.

2.函數(shù)與導數(shù)問題具有綜合性.

既有知識、技能的綜合考查，如本題綜合考查指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導數(shù)有關知識等，更注意數(shù)學思想方法的考查，如轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想等，對運算及邏輯推理要求也較高.

3.函數(shù)與導數(shù)問題核心在于研究、利用函數(shù)性質(zhì).

函數(shù)是中學數(shù)學的一條主線，函數(shù)思想是第一位的，導數(shù)只是研究函數(shù)性質(zhì)的工具，不能濫用求導，不能喧賓奪主.試題求解的靈活性在于，研究的函數(shù)對象不一定是直接給定的形式，要根據(jù)課本學習過的函數(shù)模型、依據(jù)解題基本經(jīng)驗，通過模式識別等合理選擇函數(shù)形式，或者采取移項、乘、除、乘方、開方等手段改變研究對象的形式.

4.認識導數(shù)工具的優(yōu)勢與特點.

導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具，但是也要認識到這一工具的優(yōu)勢：可以研究較為復雜的函數(shù)，可以研究函數(shù)的局部性質(zhì)（直白點就是處理一些特殊點（附近）的性質(zhì)），這類問題一般會有一些比較特殊的位置，要格外認真觀察，充分利用，如本題中的x=0，在2020 全國高考試卷中，山東卷、全國一卷最后一題都是同樣的特點.

5.從題型結構出發(fā)解題.

這類解答題不少是“階梯性問題”，即第一步是后續(xù)解題的臺階，利用前面的結果就可以拾階而上，而不是每一小問都重起爐灶，如本題在解決（2）的過程中要充分利用（1）的結果.

同時，對于壓軸問題求解，不能期望一蹴而就，還要有信心、有毅力、有耐心.要注意考試策略的靈活運用，考場最實惠的策略是多拿分，對于壓軸題可以缺步解答、跳步解答、部分解答等等，如本題（1）通過函數(shù)性質(zhì)分析已經(jīng)可以解決大部分問題，在（1）的結論基礎上，（2）也可以解決一部分等等.