極端溫度下含隙鉸柔性帆板展開位置精度分析

邱雪松，商 闊，丁錫浩，任志博

(燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島 066004)

0 引 言

太陽能帆板為空間機構(gòu)提供能量，是月球車等航天器的重要組成部分?？紤]發(fā)射狀態(tài)等因素，太陽帆板通常是折疊態(tài)儲存、工作狀態(tài)時展開，故其展開功能的可靠性一直受到高度關(guān)注?？烧狗蹇煽啃允侵府?dāng)外部環(huán)境發(fā)生改變，可展帆板能否順利展開，以及展開后末端位置能否達(dá)到預(yù)設(shè)位置。眾所周知，月球表面存在極端溫度及溫度差[1]，其引發(fā)金屬熱脹冷縮，改變鉸鏈間隙，是影響帆板展開可靠性的重要因素之一。

目前，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度、不同機構(gòu)類型針對空間可展機構(gòu)的可靠性進行了研究工作[2]。余德文等[3]從分析裝配誤差和靈敏度的角度出發(fā)對可展機構(gòu)進行研究，解決了其無法精準(zhǔn)定位和定量調(diào)整的問題；李團結(jié)等[4]通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高可展機構(gòu)的可靠性；Zhang等[5]通過分析含間隙鉸的單個帆板的振動進行了可靠性研究；Li等[6]分析了阻尼、摩擦等因素對帆板展開可靠性的影響；更多學(xué)者以多體動力學(xué)為基礎(chǔ)建立串聯(lián)兩級含間隙帆板模型，深入研究含間隙鉸鏈可展帆板展開的可靠性及動力學(xué)性能[7-9]；利用隨機有限元法，吳建云等[10]探討了鉸鏈鎖定位置偏差隨機性對帆板展開精度的影響。以日本工程測試衛(wèi)星VI(ETS-VI)為研究對象，Misawa[11]提出了一種預(yù)測衛(wèi)星天線展開可靠性的分析方法。針對扭簧驅(qū)動式可展太陽帆板機構(gòu)，楊翊等[12]學(xué)者通過研究系統(tǒng)可靠性與單元可靠性之間的關(guān)系給出了一種可展機構(gòu)可靠性分配方法；肖寧聰?shù)萚13]學(xué)者則通過建立故障樹方法查找太陽帆板展開失效原因，并從靜力矩裕度、力矩做功等角度分析可靠性。陳列民[14]將太陽帆板假設(shè)為理想剛體，構(gòu)建以展開角度為變量的函數(shù)，提出了一種計算帆板展開運動的方法?；趹?yīng)力-強度理論劉志全等[15]建立驅(qū)動力矩與阻力矩關(guān)系功能函數(shù)，提出了使用大量試驗數(shù)據(jù)作為樣本分析太陽帆板展開可靠性的方法。以故障案例作為分析數(shù)據(jù)，使用FMEA分析方法統(tǒng)計分析，高俊東[16]找出了太陽翼展開可靠性的影響因素，定性地提出以連接架強度、基板強度、靜力裕度等9個參數(shù)作為評價太陽翼展開可靠性的度量指標(biāo)。

綜上，學(xué)者們從影響因素的隨機性、故障原因的多樣性等角度，利用不同方法對空間可展機構(gòu)可靠性進行了研究。研究多考慮機械結(jié)構(gòu)及驅(qū)動等系統(tǒng)要素，對于環(huán)境溫度因素考慮較少。

本文以可展帆板末端位置誤差為評價指標(biāo)，衡量帆板展開末端位置可靠性。通過建立環(huán)境與帆板材料及鉸鏈的關(guān)系函數(shù)，構(gòu)建考慮鉸間隙和帆板柔性的可展帆板可靠性模型，分析極端溫度對可靠性的影響，為確定滿足機構(gòu)展開可靠性最優(yōu)的環(huán)境溫度范圍提供理論參考。

1 極端溫度下重復(fù)可展帆板末端位置可靠性

1.1 重復(fù)可展帆板組成及傳動原理

兩級同步月球車含間隙柔性可展帆板由一級帆板、二級帆板、同步傳動機構(gòu)組成，參見圖1。其中，同步傳動機構(gòu)采用繩系內(nèi)錯式傳動，傳動繩內(nèi)錯布置系于兩級鉸鏈A，B處，伺服電機驅(qū)動一級帆板轉(zhuǎn)動，借助內(nèi)錯繩摩擦帶動二級帆板轉(zhuǎn)動，完成同步異向折展[17]。

圖1 重復(fù)可展帆板原理圖Fig.1 Schematic diagram of repeatable windsurfing

1.2 極端溫度對帆板變形和鉸鏈間隙的影響

帆板變形和鉸鏈間隙是影響帆板展開精度及可靠性的重要因素。相較于帆板處于折疊狀態(tài)和展開狀態(tài)的時間，其展開過程時間極短，故提出假設(shè)：

1) 可展機構(gòu)不工作時，隨著月表溫度變化，帆板材料屬性和鉸鏈間隙量隨之變化。

2) 展開過程中，材料屬性和鉸間隙量不變。

1.2.1環(huán)境溫度與帆板變形關(guān)系描述

泊松比和彈性模量是表征帆板材料機械性能的主要參數(shù)。二者隨溫度的變化可反映溫度對帆板材料屬性的影響。月球車可展帆板的基體材料是鋁合金。由文獻[18-19]可知，鋁合金的泊松比隨溫度的變化很小，但溫度對彈性模量影響較大，變化曲線如圖2所示。因此進行動態(tài)特性分析時，主要考慮溫度對材料彈性模量的影響即可。

通過Matlab數(shù)值擬合，得到鋁合金的彈性模量和溫度之間的函數(shù)表達(dá)式(見式(1)),其擬合后鋁合金的彈性模量隨溫度變化曲線如圖3所示。

E=-2.9×10-7T3-7.8×10-5T2-0.039T+70

(1)

圖3 鋁合金彈性模量隨溫度變化曲線Fig.3 The curve of aluminum alloy elastic modulus with temperature

1.2.2鉸鏈結(jié)構(gòu)與鉸鏈間隙變化描述

考慮運載空間等要素，可展帆板鉸鏈結(jié)構(gòu)通常采用滑動軸承，即鉸鏈由軸承座、軸套和銷軸構(gòu)成，其中軸套與軸承座間為過盈配合，軸套與銷軸間為間隙配合。建立如圖4所示鉸鏈模型，分析溫度對鉸鏈間隙的影響。

圖4 鉸鏈配合關(guān)系示意圖Fig.4 Schematic diagram of hinge coordination

鉸鏈結(jié)構(gòu)溫度場的形成有兩個因素：月表環(huán)境溫度和鉸鏈構(gòu)件間摩擦生熱。因帆板展開速度很慢，鉸鏈構(gòu)件摩擦產(chǎn)生的熱量有限，相較于環(huán)境溫度可忽略，故僅分析環(huán)境溫度所形成的溫度場。

鉸鏈的初始間隙由構(gòu)件間的配合關(guān)系決定，與配合關(guān)系相關(guān)的則是構(gòu)件的結(jié)構(gòu)尺寸。對于折展頻率很低的帆板，折展過程中影響結(jié)構(gòu)尺寸的主要因素是環(huán)境溫度，可以忽略磨損的影響。因此通過分析配合關(guān)系和溫度變化對于鉸鏈構(gòu)件尺寸的影響可以確定鉸鏈間隙變化規(guī)律。

1) 配合關(guān)系對鉸鏈結(jié)構(gòu)尺寸的影響

根據(jù)彈性薄壁理論分析，鉸鏈間隙大小受軸套外徑與軸承座孔過盈配合量Ii_h影響，二者因配合產(chǎn)生相互作用力Pi_h為

Pi_h=

(2)

式中：Ei_h，Ew_h為軸套、軸承座的彈性模量；μi_h，μw_h為軸套、軸承座的泊松比；Dw為軸承座初始外徑；Dw_h為軸承座配合后外徑；Dn_h為軸套配合后內(nèi)徑。

進而引起軸套外徑變化量

Δi_h=

(3)

2) 溫度變化對鉸鏈結(jié)構(gòu)尺寸的影響

因月表溫度變化，鉸鏈產(chǎn)生徑向間隙變化。根據(jù)熱力學(xué)原理，徑向間隙變化量為

ΔT-h=(Γi-h-Γn-h)Dw-h(To-Ta)

(4)

式中：Гi_h，Гn_h為軸套、軸頸的線性膨脹系數(shù)；Ta，To為變化前、變化后的月表溫度。

受交變溫度影響，軸套外徑與軸承座孔的過盈配合量Ii_h的變化量為：

ΔIi_h=(Γi_h-Γw_h)Dw_h(To-Ta)

(5)

式中：Гw_h為軸承座的線性膨脹系數(shù)。

考慮交變溫度的作用，鉸鏈徑向間隙變化量為

(6)

綜上，可確定月表溫度場下間隙量大小

Ph_t=ΔPd_h+Pd

(7)

式中：Pd為鉸鏈初始間隙。

1.3 極端溫度下柔性可展帆板含間隙動力學(xué)模型

應(yīng)用運動彈性動力學(xué)分析方法建立月表溫度下柔性可展帆板含間隙動力學(xué)模型[20]。

(8)

因建模過程中，帆板柔性及鉸鏈間隙已被引入質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K與廣義力矩陣Q，故溫度因素的引入通過描述溫度與間隙的關(guān)系及柔性帆板等效模型即可。

1.3.1帆板展開過程鉸鏈間隙

帆板展開過程中，鉸鏈間隙動態(tài)變化，表現(xiàn)為軸套與銷軸發(fā)生彈性碰撞，并因彈性變形而產(chǎn)生相對侵入。引用文獻[20]中軸套與銷軸彈性碰撞變形描述，月表溫度下二者碰撞深度為

(9)

式中：Ph_t為月表溫度下鉸鏈間隙；ex，ey為直角絕對坐標(biāo)系下，銷軸中心與軸套中心沿x,y兩方向偏心值。

軸套與銷軸的接觸碰撞力FP[21]為

FP=(Fn+Ft)+

(10)

其中，下標(biāo)“+”意義：當(dāng)δ≥0，軸套與銷軸發(fā)生接觸碰撞，F(xiàn)P>0；當(dāng)δ< 0，軸套與銷軸無接觸碰撞，F(xiàn)P= 0。Fn，F(xiàn)t為法向碰撞力、切向摩擦力，表達(dá)式參見文獻[21]；Fn，F(xiàn)t均由δ描述，δ與月表溫度影響下的間隙Ph_t具有函數(shù)關(guān)系，如式(9)所示，故式(10)即為月表溫度下鉸鏈間隙處的接觸碰撞力。

1.3.2柔性可展帆板的等效模型

月球車柔性可展帆板的基板采用蜂窩狀多層基板，為便于分析，將蜂窩狀多層基板等效為各向同性薄平板。根據(jù)Hoff等剛度理論[21]對帆板進行等效處理，各等效參數(shù)見表1。

表1 各參數(shù)的等效處理Table 1 Equivalent treatment of each parameter

1.4 極端溫度下柔性可展帆板重復(fù)展開末端精度

帆板重復(fù)展開精度是月球車可靠工作的重要保證。由于制造和裝配誤差、環(huán)境溫度變化等因素，導(dǎo)致帆板的幾何屬性和間隙等系統(tǒng)參數(shù)具有一定的隨機性。因此，采用拉丁超立方抽樣處理，獲得樣本導(dǎo)入動力學(xué)模型進行分析。

1.4.1可展帆板末端位置極限函數(shù)

設(shè)帆板可展機構(gòu)中有n個互相獨立、服從正態(tài)分布的系統(tǒng)隨機變量X=[X1,X2, …,Xn]T。記二級帆板末端點位置允許誤差為ΔSy，t時刻二級帆板末端的實際位置誤差為S(t)，ΔSy和S(t)均服從正態(tài)分布。二級帆板末端位置極限函數(shù)為：

Z=g(X)=ΔSy-S(t)

(11)

1.4.2可展帆板理論末端位置期望

可展帆板的理論末端位置是指不考慮鉸鏈間隙和帆板柔性，帆板展開的末端位置坐標(biāo)M(xM，yM)。

(12)

式中：l為鉸鏈A中心距絕對坐標(biāo)系xoy原點的距離。

設(shè)l1，l2是相互獨立、正態(tài)分布的系統(tǒng)隨機變量。應(yīng)用一次二階矩法，將式(11)在各分量期望處進行泰勒展開并取一次冪，求得Z的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別如式(13)和式(14)所示:

μZ≈g(μX)

(13)

(14)

將式(12)代入式(13)得到可展帆板末端M在任意時刻t的位置期望

(15)

末端M的位置均值為

(16)

1.4.3可展帆板實際末端位置的期望

由于輸入?yún)?shù)的隨機性導(dǎo)致間隙-柔性耦合動力學(xué)模型具有強非線性、時變的特點，故在任意時刻t，系統(tǒng)輸入?yún)?shù)與末端位置均為隱式函數(shù)關(guān)系。一次二階矩法等經(jīng)典方法不適用于隱式函數(shù)的直接求解分析[22]，因此先采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對小樣本進行自學(xué)習(xí)，進而擬合出任意時刻的隱式函數(shù)，再利用一次二階矩法構(gòu)造出末端位置的均值和方差。

已知系統(tǒng)輸入X=[X1,X2, …,Xn]T，各參數(shù)相互獨立且符合正態(tài)分布。輸出層的輸出即可展帆板末端位置為Y(X)=[yl(X)]T。任意t時刻輸入量與輸出量之間關(guān)系為：

(17)

故任意t時刻帆板末端實際位置誤差為

S(t)=Y(X)-μSMI

(18)

對式(17)求偏導(dǎo)

(19)

式中：JYkZk表示Jacobi矩陣，表示第k層的輸出值Yk對激活值Zk的偏導(dǎo)，k=1,2,3。

應(yīng)用一次二階矩法，得到任意t時刻，帆板末端實際位置誤差期望和方差

(20)

1.4.4可展帆板末端位置可靠性計算流程

根據(jù)應(yīng)力-強度干涉理論，構(gòu)造t時刻帆板末端位置精度表達(dá)式

(21)

式中：β為可靠性指標(biāo)，β=μZ/σZ為無量綱數(shù)。

設(shè)ΔSy的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μΔSy,σΔSy，則帆板末端實際位置誤差期望和方差為

μZ=μΔSy-μyl

(22)

(23)

具體計算流程如圖5所示。

圖5 計算流程圖Fig.5 Calculation flow chart

采用經(jīng)典MC法檢驗前述方法的正確性。依據(jù)大數(shù)定理，將滿足一定條件的樣本個數(shù)n除以樣本總量N，即R≈n/N作為精度的近似值。取樣本N≈100/(1-R)以保證MC法計算的可靠性有效，具體流程如圖6所示。

圖6 經(jīng)典MC法計算流程圖Fig.6 Classic MC method calculation flow chart

2 算例求解

取原理樣機的幾何及物理參數(shù)值進行算例求解，具體數(shù)值見表2。

表2 樣機參數(shù)值列表Table 2 Prototype parameter value list

2.1 溫度對鉸鏈間隙的影響

基于前述分析，分別采用數(shù)值方法和軟件仿真求解，得到鉸鏈間隙與溫度的關(guān)系曲線，如圖7所示。由圖7可知，鉸鏈間隙與溫度的變化成正比關(guān)系，間隙大小隨溫度的增加而增加。

圖7 間隙隨溫度變化曲線Fig.7 Gap change curve with temperature

2.2 溫度對鉸鏈特性的影響

不同月表溫度下，鉸鏈間隙及帆板的等效彈性模量如表3所示，其中軸襯材料為ZCuAl19Fe4Ni4Mn2。

表3 系統(tǒng)輸入?yún)?shù)期望(20 ℃)Table 3 System input parameter expectations (20 ℃)

使用式δ(T+ΔT)·δ(T)≤0(T為溫度)處理不同溫度下鉸鏈間隙偏心量，得到溫度-碰撞次數(shù)、溫度-碰撞變形量、溫度-碰撞力、不同溫度末端位置誤差-時間關(guān)系曲線，如圖8～圖11所示。

圖8 溫度-碰撞次數(shù)Fig.8 Temperature-number of collision

圖9 溫度-碰撞深度Fig.9 Temperature-depth of collision

圖10 溫度-最大碰撞力Fig.10 Temperature-maximum collision force

圖11 溫度-末端位置誤差Fig.11 Temperature-end position deviation

顯然，溫度的升高導(dǎo)致鉸鏈間隙增大，間隙處碰撞頻次、碰撞深度、碰撞力、末端位置誤差增大，機構(gòu)的運動精度將隨之降低。

2.3 帆板末端位置可靠性分析

帆板折展機構(gòu)由伺服電機驅(qū)動，故帆板展開運動規(guī)律由θ(t)表示。給定一級帆板展開運動規(guī)律θ1=0.25π(1-cos(0.2πt))，根據(jù)傳動原理，二級帆板展開運動規(guī)律為θ2=-θ1。利用四階變步長Runge-Kutta法、Newmark-β法求解方程組，可獲得帆板末端位置曲線。

1) 輸入變量的確定

對于柔性-間隙耦合作用下的可展帆板，其系統(tǒng)輸入量包括兩級帆板的彈性模量E1，E2，長度l1，l2，質(zhì)量m1，m2，鉸鏈間隙Pt1，Pt2。由于制造、裝配、運轉(zhuǎn)磨損、溫度變化等因素導(dǎo)致鉸鏈間隙隨機變化，同時彈性模量亦隨溫度改變，進而影響長度參量，因此彈性模量、長度、鉸鏈間隙均為隨機變量。設(shè)上述系統(tǒng)輸入變量相互獨立，符合正太分布，系統(tǒng)輸入?yún)?shù)的均值如表4所示。

表4 系統(tǒng)輸入?yún)?shù)期望(20 ℃)Table 4 System input parameter expectations (20 ℃)

模型中有8個相互獨立的輸入量，其中6個是隨機變量，選用300組樣本來擬合系統(tǒng)輸入隨機變量與輸出變量間的隱式函數(shù)關(guān)系。

2) 末端位置-時間曲線

分析不考慮鉸鏈間隙及帆板柔性的理想狀態(tài)和間隙-柔性耦合作用下的實際狀態(tài)，繪制可展機構(gòu)末端位置時間歷程圖，如圖12所示。從圖12可以看出，間隙-柔性的耦合作用導(dǎo)致帆板末端實際位置相對于理想位置產(chǎn)生了較大的位置偏差，降低了可展機構(gòu)精度。

圖12 帆板末端位移的時程曲線Fig.12 Time-history curve of the displacement of the end of the windsurfing board

分別應(yīng)用經(jīng)典MC數(shù)值方法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法計算，繪制帆板末端位置時間曲線(見圖13)，從圖13可以看出兩條曲線比較接近，說明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法能有效擬合帆板末端位置。

圖13 帆板末端位移的對比圖Fig.13 Comparison of the displacement of the end of the windsurfing board

應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，計算不同時刻帆板末端位置的期望和方差，如圖14、圖15所示。其中，末端位置誤差最大值和最小值根據(jù)經(jīng)驗法則(empirical rule)求出。

3) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型驗證

計算可展機構(gòu)完全展開時(t=5 s)帆板末端點位置。設(shè)置模擬精度10-3，模擬運算最大次數(shù)105。經(jīng)計算，第一隱神經(jīng)元數(shù)量為20。擬合效果如圖16所示。由圖16(a)可知，模擬運算8984次后結(jié)果達(dá)到設(shè)定精度，圖16(b)顯示擬合結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果線性回歸，兩者的相關(guān)性達(dá)到0.99655?？沈炞C建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能準(zhǔn)確擬合帆板末端位置。

4) 可展帆板末端位置可靠性

在完全展開時刻，計算帆板系統(tǒng)各輸入隨機參數(shù)對展開位置精度影響的靈敏度，如圖17所示。

圖14 帆板末端位移誤差的均值Fig.14 Mean value of displacement error at the end of windsurfing

圖15 帆板末端位移誤差的標(biāo)準(zhǔn)差Fig.15 Standard deviation of the displacement error at the end of the windsurfing board

圖16 擬合效果檢驗Fig.16 Fitting effect test

圖17 各參量影響末端位置精度的靈敏度Fig.17 The sensitivity of each parameter affecting the accuracy of the end position

顯然，在彈性模量、鉸鏈間隙等各因素中，代表帆板柔性的彈性模量靈敏度遠(yuǎn)小于鉸間隙的靈敏度，即鉸間隙對帆板展開末端位置精度的影響最大。且對于串聯(lián)的二級鉸鏈機構(gòu)，一級帆板與基座間的鉸鏈間隙對機構(gòu)精度的影響大于一級、二級帆板間鉸鏈間隙的影響。

設(shè)可展帆板末端位置允許誤差ΔSy的期望為μΔSy=8.0×10-4m，方差為σΔSy=1.0×10-5m，取各隨機變量的變異系數(shù)0.01和t=5 s時刻，繪制不同溫度下帆板末端位置可靠性變化曲線(見圖18)。

圖18 不同溫度下帆板末端位置可靠性Fig.18 Reliability of windsurfing end position at different temperatures

由圖18可知，溫度變化對于帆板展開末端位置可靠性的影響較大。當(dāng)溫度區(qū)間為-30 ℃～20 ℃時，機構(gòu)的可靠性最優(yōu)，可達(dá)到0.98以上。

3 結(jié) 論

1) 通過建立帆板彈性模量、鉸鏈間隙與溫度的函數(shù)關(guān)系，獲得了極端溫度下間隙-柔性耦合的帆板展開動力學(xué)模型。定義了帆板展開末端位置誤差作為評價指標(biāo)。

2) 采用拉丁超立方抽樣處理，獲得了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)習(xí)樣本；結(jié)合一次二階矩法，推導(dǎo)出可展帆板末端位置誤差的期望與方差；利用應(yīng)力-強度理論構(gòu)造了帆板展開末端位置可靠性模型。

3) 采用自主研制的二級重復(fù)可展帆板相關(guān)參數(shù)，進行了算例分析。結(jié)果表明，極端溫度條件下，鉸間隙對于位置精度的影響顯著，溫度區(qū)間在-30 ℃～20 ℃時，機構(gòu)展開精度可靠性最優(yōu)。