跳幅度為-1 模式下的公司債券定價及最佳違約邊界

李慧敏, 林建偉

(1- 莆田學院數(shù)學與金融學院，莆田 351100;2- 莆田學院金融數(shù)學福建省高校重點實驗室，莆田 351100)

1 引言

股權(quán)和債券定價的合理性會直接影響公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)及其經(jīng)營效率，1974 年Merton[1]第一次利用Black 和Scholes[2]提出的期權(quán)定價思想來解決公司債券定價的問題，但他提出的建立結(jié)構(gòu)化方法對公司債券定價模型中存在信用利差估計偏低問題.之后Black 和Cox[3]對Merton 模型中公司只有在到期日違約這一假設條件進行放松，建立了首次通過時間模型的公司債券定價方法；Jones 等[4]基于Merton 模型研究了付息票公司債券的定價問題；Zhou[5]考慮了合約到期之前資不抵債時發(fā)生違約的情況，在跳擴散模型下利用結(jié)構(gòu)化方法來研究有限到期日公司債券的定價問題；Chen 和Kou[6]則是利用隨機分析的方法，考慮雙指數(shù)跳情況下對永久公司債券進行定價；林建偉[7]利用了最優(yōu)停時方法對具有一般跳幅度的永久公司債券進行定價.他們的研究工作推廣和改進了Merton 模型，具有重要的意義.然而，他們都是考慮違約等于清算而沒有考慮資產(chǎn)重組的可能，即一旦公司宣布違約，該公司馬上停止運行，公司的股票將一文不值，而債券的價值等于公司在違約時刻的資產(chǎn)價值減去一部份清算費用.顯然這些學者所考慮的這些模型不適用于一些不想直接被清算的實際市場，即公司債權(quán)人和股東一般不會直接選擇清算，而會想讓公司繼續(xù)運營，希望通過重組使得公司解決暫時面臨的困難及規(guī)避由直接清算而產(chǎn)生的一定比例的清算費用.認識到這一情況，一些學者通過構(gòu)建違約后進行資產(chǎn)重組的數(shù)學模型，即在宣布違約后，將在債權(quán)人和股東之間重新分配公司所獲得的總價值，在此基礎上對公司相關(guān)債券進行定價，如Anderson 和Sundaresan[8]提出了利用策略債務支付進行重組的策略，并對具有有限到期日的公司債券的相關(guān)定價采用了展開型博弈規(guī)則和二叉樹方法進行研究和定價，但文章對違約后進行資產(chǎn)重組過程不是用系統(tǒng)的數(shù)學模型來描述.隨后，F(xiàn)an 和Sundaresan[9]首次通過給出最佳違約邊界選取的標準，限定觀察期門檻，選定談判的策略和明確違約的價值等四個方面對違約后資產(chǎn)重組的過程用系統(tǒng)的數(shù)學模型來描述，并在不考慮談判的時間期限和談判的費用的情況下，討論了永久公司的債券定價模式；Francois 和Morellec[10]在文獻[9]所提出模型的基礎上，對給定談判時間期限條件下的永久公司債券定價問題采用隨機分析及概率論的方法進行定價；林建偉[11]在含有違約觀察期過程的公司債券定價模型中利用納什均衡原理和巴黎型期權(quán)定價思想進行定價.這些學者的研究具有重要的意義，但他們依舊沒有考慮具有有限到期日這個限制條件下公司債券的定價問題，均只考慮穩(wěn)態(tài)情形，而沒有考慮存在本質(zhì)困難的限定到期日的公司債券相關(guān)定價問題.Broadie 和Kaya[12]在文獻[10]的框架上給出了利用參數(shù)函數(shù)來描述最佳違約邊界的假定，給出了公司債券相關(guān)的二叉樹定價格式，從而得到了離散形式的既考慮違約觀察期又考慮截止時間有限的公司債券相關(guān)的定價形式，但其沒有對最佳違約邊界進行討論；接著，Dai 等[13]將Broadie 和Kaya 提出的模型推廣到連續(xù)的模型上，并利用離散懲罰函數(shù)求得了公司債券相關(guān)定價的數(shù)值解，但他們沒有從數(shù)學理論去驗證最佳違約邊界是否存在、是否是唯一的和相關(guān)公司價值是否具有單調(diào)性，也沒有討論公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)的策略債務支付息票數(shù)額大小，只是利用數(shù)值計算來研究最佳違約邊界曲線的一些性質(zhì).以上所述的這些文獻均沒有考慮公司的資產(chǎn)價值會因為突然發(fā)生的不好事件而引發(fā)的急劇縮減情況.在實際市場中，投資人會關(guān)注公司的資產(chǎn)價值可能由于公司突然暴露出的負面消息導致劇烈“向下跳空”的現(xiàn)象，向下跳空有一個重要特殊情形-假定跳躍幅度為常數(shù)-1，即一旦公司資產(chǎn)發(fā)生跳躍資產(chǎn)價值瞬間下降為0，公司面臨著瞬間破產(chǎn)風險.從數(shù)學上看，在跳幅度為-1 的假定條件下公司債券定價的相關(guān)問題是一種壓力測試下對公司債券和股價的估值，并考慮違約強度對定價的影響.林建偉和李慧敏[14]采用微分方程方法對公司的資產(chǎn)價值變化是依據(jù)跳擴散(跳幅度為-1)模型下永久公司債券的相關(guān)定價問題和資產(chǎn)的最好結(jié)構(gòu)配置問題進行了研究，給出了顯式化的公司資產(chǎn)相關(guān)價值(包括股票、債券及總價值)定價、最佳的杠桿比率及違約邊界的具體表達式，并通過數(shù)值分析，解釋跳躍強度變化導致的金融變化現(xiàn)象，但該文章考慮的是穩(wěn)態(tài)情形，而限定到期日的公司債券的相關(guān)定價問題顯得更為困難.另一方面，在實際金融市場上，一旦公司發(fā)生突發(fā)事件，對公司造成的影響往往是致命的.因此，本文在具有本質(zhì)困難的限定到期日的公司債券相關(guān)定價問題上綜合考慮兩種關(guān)鍵的實際市場情況(即公司在違約之后會首先考慮進行資產(chǎn)重組使得公司可以繼續(xù)經(jīng)營下去以及如果公司發(fā)生突發(fā)事件就會導致公司的資產(chǎn)價值急劇縮減這兩種情況)，使得定價模型更符合實際市場，即本文所要探討的是在公司資產(chǎn)的相關(guān)價值變化過程依據(jù)跳擴散(跳幅度為-1)的模式下，采用Fan 和Sundaresan 提出違約后將債券轉(zhuǎn)化為股票的資產(chǎn)重組模式，對違約后進行資產(chǎn)重組及限定到期日的公司債券的相關(guān)定價問題采用結(jié)構(gòu)化的方法和最優(yōu)停時的策略進行研究，并對最佳違約邊界存在且唯一這一重要性質(zhì)給出了理論上的證明，最后通過數(shù)值分析研究跳強度對公司債券價值的影響.

2 相關(guān)知識

2.1 基本參數(shù)和條件的設定

1) 用常數(shù)r 表示市場存在套利的機會為零及無風險的利率；

2) 一個公司同時發(fā)行了股票E 和具有有限到期日T 且到期本金為P 的公司債券D，約定沒有違約的情況下債權(quán)人在每單位時間內(nèi)除了可以得到的息票收益為CP 元外，還可以從公司發(fā)行的債券中得到γCP 的稅盾收益；股東通過紅利取得收益，其中γ(0 ＜γ ＜1)表示企業(yè)的稅率；

3) 在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)空間下，公司的資產(chǎn)價值Vt的變化規(guī)律遵循跳擴散的模式

其中μ 表示期望的收益率，σ 表示波動率，δ 表示公司總現(xiàn)金支付率，{qt}t≥0表示泊松跳過程(其強度為λ)，{Wt}t≥0表示標準布朗運動，且假設泊松過程{qt}t≥0與標準布朗運動{Wt}t≥0之間是相互獨立的；

4) 令公司股票的價值取得最大值作為確定最佳違約邊界的標準；

5) α(0 ＜α ＜1)表示清算的損失率；

6) 違約后資產(chǎn)的重組方式采用的是債券轉(zhuǎn)換為股票的模式[9]：在任一違約時刻τ 時，令Vτ表示此刻公司的資產(chǎn)價值.當公司宣布違約后，公司不進行清算，而是運用將債券轉(zhuǎn)換為股票的方法來重組公司的資產(chǎn)，公司在違約時刻是將公司債券轉(zhuǎn)化為股票從而使公司成為一個全股票的公司并向投資者出售股票的方式來獲得資金，通過這種方式將不會因為直接清算而造成公司資產(chǎn)的損失；接著，債權(quán)人和股東會采用納什均衡的原理重新配置違約后公司的資產(chǎn)價值Vτ，從而得到債權(quán)人和股東最終各自擁有的最合適比例.

2.2 納什均衡原理

假設在[t,T]上均有可能宣布違約，令T[t,T]表示發(fā)生違約的時刻(即停時)；如果公司在[t,T]上沒有宣告違約，則規(guī)定τ = ∞.設Vτ表示公司在違約時刻τ ∈T[t,T]∪{∞}的資產(chǎn)價值，則當V ≤Vτ時，如果公司沒有考慮進行資產(chǎn)重組，則直接被清算.此時股票將沒有任何價值，而債券價值將只有(1-α)Vτ；如果公司決定資產(chǎn)重組，那么由上述的假定條件6)，違約后公司所獲得的總價值Vτ將在債權(quán)人與股東之間依據(jù)納什均衡原理重新確定各自所擁有的價值，即債權(quán)人和股東在公司宣布違約后將得到的價值分別確定為

E(Vτ)=θVτ, D(Vτ)=(1-θ)Vτ,

其中θ 表示分配給股東比例.利用納什均衡分配原理可得，最佳分配比例θ*可表示為

θ*=arg max{[θVτ]η[(1-θ)Vτ-(1-α)Vτ]1-η},

即θ*=αη，其中η(0 ≤η ≤1)表示股東談判的能力.

所以，公司在任意時刻τ 選擇了違約之后，公司股票和債券的價值可分別表示成如下式子

3 公司債券的定價

3.1 股票價值定價模型

根據(jù)上述的基本假設及風險中性測度Q，在公司宣布違約的任一時刻(即停時)τ，股票的價值E 的可以用下列模型來描述

其中，等式(2)右邊第一個積分項代表了股東通過紅利取得收益的貼現(xiàn)值；如果公司在[t,T]這范圍內(nèi)選擇違約，則利用第二個式子表示股東在違約后利用重組資產(chǎn)而取得收益的貼現(xiàn)值；如果公司在[t,T]這個范圍內(nèi)不宣布違約，利用第三項表示這種情況下股東獲得的貼現(xiàn)值為V -P.

終值條件

邊界漸近條件

3.2 最佳違約邊界的存在及相關(guān)性質(zhì)分析

通過采用偏微分方程中的懲罰函數(shù)方法，對于上述股票所滿足的變分不等式問題P1，可以證明得出下列結(jié)論.

引理1 任意給定時間t，公司的股票價值與股東在違約時刻能夠得到的價值之差E(V,t)-αηV，在區(qū)域Ω={(V,t)|0 ＜V ＜∞,0 ≤t ＜T}具有單調(diào)性，且會隨著公司資產(chǎn)價值V 的遞增而遞增.

進一步構(gòu)造滿足如下性質(zhì)的光滑化函數(shù)Πε(t), t ∈R,

非洛地平緩釋片（Ⅱ）對比硝苯地平緩釋片控制圍絕經(jīng)期高血壓患者血壓晨峰現(xiàn)象的臨床觀察 ………… 劉東升等（21）：2976

作變量代換

股票E(V,t)所符合的變分不等式方程問題(3),(4)轉(zhuǎn)化為

其中

基于上面構(gòu)造出來的懲罰函數(shù)βε(t)和光滑化函數(shù)Πε(t)的特點，定義定解問題(8)的相應懲罰問題，表示如下

引理2 當(r+λ)≥(1-γ)C 時(該參數(shù)條件說明了在任一給定的無風險利率r 條件下，公司從發(fā)行公司的債券中獲得的稅盾收益率γ 越高，則公司能夠選擇用于付給公司債權(quán)人的最大息票率也會越大)，股票價值E(V,t)為區(qū)域Ω 上時間變量t 的單調(diào)遞減函數(shù).

其中

定理得證.

對于股票價值E(V,t)與一些相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，進一步簡要分析如下.

定理3 由(2)所確定的股票價值E(V,t)是關(guān)于股東談判因子η 和清算比例因子α 的單調(diào)遞增的函數(shù).

證明 根據(jù)股票價值E(V,t)滿足的最優(yōu)停時問題(2)可以看出，對于公司任一給定的違約時刻(停時)τ ∈T[t,T]∪{∞}，η 越大, E(Vτ)=αηVτ越大，因此相應的股票價值在給定τ 下也越大.由此可得，股票價值E(V,t)是關(guān)于股東談判因子η 的單調(diào)遞增的函數(shù).同理可證股票價值E(V,t)也是關(guān)于清算比例因子α 的單調(diào)遞增的函數(shù).

3.3 基于最佳違約邊界的公司債券定價模型

其中，等式(10)左邊第一個式子代表了債權(quán)人所擁有息票的收益的貼現(xiàn)值，第二個式子代表公司違約后債權(quán)人通過資產(chǎn)的重組得到的收益的貼現(xiàn)值.

其中，(12)式為終值條件，邊界條件(13)式說明了債權(quán)人在公司宣布違約后能獲得(1-αη)V 的收益；而(14)式說明了當公司資產(chǎn)價值趨向于正無窮大時，公司債券可看作和原來有著相同的本金和有限到期日但無風險的公司債券.

4 數(shù)值金融分析

圖2 和圖3 分別說明了公司的股票價值和債券價值隨著λ 的變化關(guān)系.圖2 的數(shù)值結(jié)果表明，股票的價值會隨著跳強度的增大而增大，這是由于在跳擴散(跳幅度為-1)的模型下，公司采取的是讓股東能夠取得最大權(quán)益作為最優(yōu)的運營策略，而股東為了防止股票變得一文不值，則會通過降低違約風險來提高公司的信用等級，從而使自己所能獲得的利益最大化.然而，公司資產(chǎn)有可能瞬間下跌為零，公司債券對市場投資者的吸引度被降低.因此，從圖3 的的數(shù)值結(jié)果可以看出，公司相應的債券價值也將被降低了.

圖1 最佳違約邊界曲線隨λ 的變化情況

圖2 股票價值E(V,0)隨λ 的變化情況

圖3 債券價值D(V,0)隨λ 的變化情況

5 結(jié)束語

根據(jù)實際市場中比較可能出現(xiàn)的情況，本文綜合考慮了公司的資產(chǎn)價值存在因突發(fā)事件瞬間下跌為0 的情況(采用跳擴散(其跳幅度為-1)的模型來描述公司的資產(chǎn)價值變化過程)和采取股票和債券互換作為違約后資產(chǎn)重組的模式，對具有有限到期日公司股票和債券定價問題利用隨機分析理論、結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時方法建立了連續(xù)的數(shù)學模型，利用偏微分方程中的懲罰函數(shù)對最佳違約邊界的存在性及唯一性、股票價值的單調(diào)性進行了理論上的闡述與證明，同時也對公司股票價值和各參數(shù)之間的關(guān)系進行了討論.最后，采用離散的懲罰函數(shù)得到最佳違約邊界以及對應的股票價值的數(shù)值解，同時，債券價值的數(shù)值解也通過運用隱式差分格式求得.數(shù)值結(jié)果表明：基于跳幅度為-1 的跳擴散模型，且在違約后通過將債券換成股票的資產(chǎn)重組模式中，由于公司資產(chǎn)有可能瞬間下跌為零，市場投資者降低了對公司債券的興趣，因此公司的債券價值減??；而股東可以通過降低違約風險來提升公司信用等級，從而提升股票價格，這表明公司一般都是采用讓股東能夠取得最大權(quán)益作為最優(yōu)營運策略.