閾值調(diào)控的可變服務(wù)率流體模型的均衡策略分析

王 碩, 徐秀麗

(燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島 066004)

1 引言

排隊(duì)在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，它們應(yīng)用于制造業(yè)、服務(wù)業(yè)、金融、財(cái)政、保險等各行各業(yè)，然而無論哪行哪業(yè)建模的初衷就是在提供便利服務(wù)的同時獲得一定的收益，這引起了各位學(xué)者對排隊(duì)模型展開經(jīng)濟(jì)學(xué)分析.

Naor[1]最先在排隊(duì)模型中引入博弈論的觀點(diǎn)，提出了顧客在到達(dá)系統(tǒng)時會根據(jù)一個簡單的線性“收益-損失”函數(shù)判斷是否進(jìn)入系統(tǒng).Edelson 和Hilderbrand[2]進(jìn)一步研究了不可視狀態(tài)下顧客的止步策略.Wang 等[3]研究了具有N 策略持續(xù)重試系統(tǒng)的均衡策略問題.Guo 和Hassin[4]對N 策略排隊(duì)中的均衡策略及最佳社會策略進(jìn)行了研究.Dimitrakopoulos 和Burnetas[5]研究了動態(tài)服務(wù)控制下M/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客均衡策略問題.Guo 和Li[6]分析了系統(tǒng)隊(duì)長不可視情況下的均衡策略.

隨著社會科技的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)、信息、機(jī)械加工制造業(yè)以及服務(wù)業(yè)都面臨著大量“顧客”，顧客到達(dá)間隔越來越小，到達(dá)速率越來越大，離散的顧客越來越接近連續(xù)的流體，例如：生產(chǎn)制造業(yè)的流水線、網(wǎng)關(guān)節(jié)的信息傳輸以及電子信息的流傳遞等.因而，對流體排隊(duì)模型進(jìn)行相關(guān)研究就顯得尤為重要.Xu 等[7]對M/M/c 工作休假驅(qū)動的流體模型展開了穩(wěn)態(tài)分析.Vijayashree 和Anjuka[8]對M/M/1 驅(qū)動的工作休假流體排隊(duì)模型展開了相應(yīng)研究.徐秀麗等[9]研究了PH/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)驅(qū)動的流模型并給出穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo).當(dāng)然，也有學(xué)者對流體排隊(duì)模型展開經(jīng)濟(jì)學(xué)分析.例如：Economou 和Manou[10]對可視情況下具有不同服務(wù)狀態(tài)的流體排隊(duì)模型中的行為策略進(jìn)行了分析.

在實(shí)際問題中，決策者為了最大限度的利用、維護(hù)緩沖器，并不會使其始終以一定速率進(jìn)行服務(wù)，而是根據(jù)緩沖器內(nèi)流體水平的多少適當(dāng)調(diào)整其服務(wù)率，使緩沖器的服務(wù)率在高低兩個狀態(tài)中來回切換.例如，為防止低流出率下水庫水位過高，工作人員會在水位達(dá)到某一特定值時開閘放水.這就引出了對具有可變服務(wù)率流體模型的研究.進(jìn)一步，若緩沖器在低速工作狀態(tài)與高速工作狀態(tài)的切換遵循某一特定概率，那么當(dāng)?shù)退俟ぷ髌诰彌_器內(nèi)的流體水平達(dá)到相對多時，如果緩沖器的流出率仍保持在一個較低的速率，這必然會引起緩沖器內(nèi)的擁擠甚至引發(fā)顧客的不滿.在此基礎(chǔ)上，本文把閾值調(diào)控與可變服務(wù)率相結(jié)合，構(gòu)建出新的流體模型并給出經(jīng)濟(jì)學(xué)研究.

2 模型描述

對任意外界隨機(jī)環(huán)境下的流體模型，假設(shè)時刻t 流體以速率λ 流入緩沖器，其過程可以看作新顧客的到達(dá).流體流入緩沖器的前提是其凈收益為正且其是否流入緩沖器的決定具有不可逆性，即：流入的流體不可中途流出，止步的流體不可臨時流入.設(shè)X(t)表示時刻t 時緩沖器內(nèi)的流體水平，I(t)表示時刻t 時的系統(tǒng)狀態(tài)，用I(t) = 0,1 分別表示低速工作期和高速工作期.閾值調(diào)控是指當(dāng)緩沖器內(nèi)的流體水平變?yōu)? 時，緩沖器進(jìn)入空閑期，在此期間一旦有流體流入緩沖器，系統(tǒng)立即進(jìn)入低速工作期，此時系統(tǒng)存在一個較低的流出率μ0, μ0＞0，當(dāng)緩沖器內(nèi)的流體水平達(dá)到事先確定的閾值水平N 時，緩沖器進(jìn)入高速工作期，此時系統(tǒng)存在一個相對高于μ0的流出率μ1，即μ0＜μ1.

此外，需要保證μ0＜λ ＜μ1，否則緩沖器不會滿足發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)變的條件.例如：當(dāng)μ0＞λ 時，低速工作期間流體水平在0 處達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即流體一旦流入就會立即通過緩沖器流出，不會存在排隊(duì)等待的情況，故流體水平不可能達(dá)到N；λ ＞μ1時，若緩沖器處于高速工作期，此時系統(tǒng)的凈流入率始終為正，也就是說緩沖器內(nèi)的流體水平始終以λ-μ1的速率增加，直到達(dá)到相應(yīng)的閾值后保持穩(wěn)定，所以這種情況下的流體水平不可能下降為0.

綜上所述，具有閾值調(diào)控的可變服務(wù)率流體模型的凈輸入率可表示為

3 完全可視情況下的止步策略分析

假設(shè)時刻t 流體到達(dá)系統(tǒng)時觀察到此時緩沖器的工作狀態(tài)為I(t) = i, i = 0,1.在此狀態(tài)下，緩沖器內(nèi)的流體水平為X(t) = x, x ≥0.用(X(t),I(t)) = (x,i)表示流體到達(dá)系統(tǒng)時所觀察到的狀態(tài).假設(shè)流體流出系統(tǒng)時，即流體被服務(wù)完時可獲得的收益為R.另一方面，流體在緩沖器內(nèi)的逗留期間，單位時間內(nèi)又存在著C 個單位的損失.用Gi(x)=R-CSi(x)表示該流體在系統(tǒng)狀態(tài)為(x,i)時流入緩沖器所獲得的凈收益，其中Si(x)表示該流體在系統(tǒng)狀態(tài)為(x,i)條件下流入系統(tǒng)后在緩沖器內(nèi)的逗留時間，且只有當(dāng)Gi(x)＞0 時流體才選擇進(jìn)入緩沖器排隊(duì).

下面考慮兩種情況：

的唯一解，即

4 單位時間內(nèi)社會收益

在閾值調(diào)控的可變服務(wù)率流體模型中，由于緩沖器在狀態(tài)0 與狀態(tài)1 之間的轉(zhuǎn)換沒有一個固定的概率參數(shù)，而是依賴于緩沖器內(nèi)流體水平的變化情況，所以緩沖器內(nèi)平均流體水平E(X)的表達(dá)較為復(fù)雜.因此，本文用Z(x)=μe(G0(x)P0(x)+G1(x)P1(x))表示單位時間內(nèi)社會收益的效用函數(shù)，其中μe表示有效服務(wù)率，Pi(X)表示在緩沖器內(nèi)流體水平為X 的條件下，緩沖器處于狀態(tài)i 的概率，則有如下定理.

定理2 在完全可視的閾值調(diào)控的可變服務(wù)率流體模型中，假設(shè)某流體到達(dá)系統(tǒng)時觀察到緩沖器的狀態(tài)為(x,i)，則該流體模型的穩(wěn)態(tài)概率為

其中

證明 運(yùn)用文獻(xiàn)[11]電子通信網(wǎng)絡(luò)中有關(guān)流體模型的研究方法，把連續(xù)時間的流體模型分解為近似的離散排隊(duì)模型.例如，把一些信息壓縮打包使其以數(shù)據(jù)包或鏈接的形式進(jìn)行傳輸.由此畫出該模型在完全可視情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如圖1 所示.

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可以寫出其平衡方程

λP(0,0)=μ1P(1,1)+μ0P(1,0),

(λ+μ0)P(x,0)=λP(x-1,0)+μ0P(x+1,0), x=1,2,··· ,N -2,

(λ+μ0)P(N -1,0)=λP(N -2,0),

λ+μ1)P(1,1)=μ1P(2,1),

1）冬春季清園。冬季清園噴5波美度石硫合劑或1∶1∶200波爾多液；春季萌芽前噴5波美度石硫合劑或1∶0.5∶250波爾多液清園。

(λ+μ1)P(x,1)=λP(x-1,1)+μ1P(x+1,1), x=2,3,··· ,N -1,

(λ+μ1)P(N,1)=λP(N -1,1)+μ1P(N +1,1)+λP(N -1,0),

(λ+μ1)P(N +x,1)=λP(N +x-1,1)+μ1P(N +x+1,1), x=1,2,··· ,xe-N,

由于

即

因此，定理2 得證.

定理3 在完全可視情況下的閾值調(diào)控的可變服務(wù)率流體模型中，假設(shè)某流體到達(dá)系統(tǒng)時觀察到緩沖器的狀態(tài)為(x,i)，則該流體模型單位時間內(nèi)社會收益的效用函數(shù)為

其中

由(2)式可知S0(x).

證明 由定理2 可知

經(jīng)代數(shù)運(yùn)算可得

因?yàn)棣?＜λ ＜μ1，所以當(dāng)緩沖器處于狀態(tài)0 時系統(tǒng)的有效服務(wù)率為μ0，即μe=μ0；當(dāng)緩沖器處于狀態(tài)1 時，系統(tǒng)的有效服務(wù)率為λ，即μe=λ.所以有

其中

由(2)式可知S0(x).

經(jīng)代數(shù)運(yùn)算可得到Z(x).因此，定理3 得證.

由于單位時間內(nèi)社會收益函數(shù)的形式復(fù)雜性，下面進(jìn)行直觀的數(shù)值分析，令μ0=1.2, λ=1.5, μ1=2, R=10, C =1, N =3,4,5，得到圖2.

從圖2 可以看出，對于固定的參數(shù)μ0, λ, μ1, R, C, N，單位時間內(nèi)社會收益函數(shù)因N 的不同而呈現(xiàn)出不同變化；但在x ≥N 部分的函數(shù)圖像是完全一致的，因?yàn)楫?dāng)x ≥N 時單位時間內(nèi)社會收益函數(shù)與N 無關(guān)且除了給定的參數(shù)只與x 有關(guān).當(dāng)x = N 時，單位時間內(nèi)的社會收益達(dá)到最大.此外，對于固定參數(shù)μ0, λ, μ1, R, C, x，單位時間內(nèi)社會收益函數(shù)隨著N 的增大而減小.

圖2 單位時間內(nèi)社會收益隨x, N 的變化

5 入場費(fèi)均衡策略

1) 當(dāng)緩沖器處于低速工作期時，為了保證緩沖器狀態(tài)的改變，需保證對任意x, x ∈[0,1,··· ,N)都有G0(x)=R-CS0(x)-p ≥0，即

2) 當(dāng)緩沖器處于高速工作期時，入場費(fèi)p 需滿足

綜合上述兩種情況，可以得到對決策者而言，最優(yōu)入場費(fèi)p*應(yīng)該滿足

因?yàn)棣?＜μ1，所以

所以得到

即

定理4 假設(shè)決策者決定向進(jìn)入緩沖器排隊(duì)的流體征收一個入場費(fèi)p，當(dāng)流體到達(dá)系統(tǒng)時觀察到緩沖器的狀態(tài)為(x,i)，則對入場費(fèi)的征收者而言，其單位時間內(nèi)的最大總收入可表示為

其中

證明 當(dāng)i=0 時，流體的凈收益為

G0(x)=R-CS0(x)-p, x ＜N-,

當(dāng)x=N-時

當(dāng)i=1 時，流體的凈收益為

根據(jù)定理4 中單位時間內(nèi)入場費(fèi)征收者的最大收益，由于其表達(dá)式的復(fù)雜性，下面給出直觀的數(shù)值分析，令R=10, C =1, μ0=1, λ=2, μ1=5, N =3，得到圖3.

從圖3 可直觀的看出，單位時間內(nèi)入場費(fèi)征收者的最大收益先增大再減小，在x*e=5 處取得最大值.綜上所述，如果以社會收益最大化為目標(biāo)，那么征收一定的入場費(fèi)是有益的.但是，若入場費(fèi)的征收者只是為了最大化自己的收益，則他就會向流體征收過高的入場費(fèi)，從而達(dá)不到社會收益最優(yōu).

圖3 單位時間內(nèi)入場費(fèi)征收者的最大收益隨的變化